第6卷第3期 贵阳学院学报(自然科学版) (季刊) JOURNAL OF GUIYANG COL】LEGE V01.6 No.3 2011年9月 Natural Sciences(Quarterly) Sep.2011 分数阶微分方程初值问题解的存在性 徐娜,肖立顺 (中国矿业大学理学院,江苏徐州221116) 摘要:利用Leray—Schauder度理论,证明了Caputo和Remann—Liouville分数阶微分方程初值问题解的存 在性。 关键词:分数阶微分方程;Leray—Schauder度;Kronecker;存在性定理 中图分类号:0175.15 文献标识码:A 文章编号:1673-6125(2011)03-0007-03 The Existenee of Solutions for Initial e Problems of Fracti0nal Difjferential Equations XU Na.XIAO Li—shun (College of Science,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221 1 16,China) Abstract:This paper obtained the existence of solutions for iniital value problems of Caputo and Remann・-LiouviUe frac・- tional diferential equations by Leray—Schauder degree theorem. Key words:Fractional Diferentila Equation;Leray—Sehauder Degree;Kronecker;Existence Theorem. 0引言 在此基础上,本文给出初值问题解的存在性的 近年来,分数阶微分方程初值问题解的存在性 另外一种证明方法,即利用Leray—Schauder度理 研究引起了许多学者的关注。其中文献[1]利用 论研究Caputo分数阶微分方程初值问题 Schauder不动点定理研究阶数在(0,1)上非线性 r;D u(t)=f(t,u(t)), Remann—Liouville分数阶微分方程D = £, ) { u (0)=u , (1) 解的存在性,函数 满足条件:I t, )一 £,y)I 【 k=0,1,…,1'1—1 ≤A(t)h(1 一Y I);文献[2]利用Banach压缩映 以及Remarm—Liouville分数阶微分方程初值 射原理和Sahauder不动点定理证明了线性Re- mann—Liouville分数阶微分方程 问题 fo u(t)=f(t,u(t)),n一1< ≤n 小, ,…, ) {【[ 0D 一 u(t. )]。:o=uI ,k=1,2,…,n (2) 解的存在性,其中, , (i=1,2,…, )是实数,0 解的存在性。 收稿日期:2011—05—29 作者简介:徐娜(1986一),女,山东枣庄人,在读硕士研究生,主要研究微分方程边值问题理论及其在实际问题中的应用。 ● 一7一 1预备知识 本节主要介绍一些分数阶微分方程的基础知 识和一些引理。首先我们做一些符号说明, deg 11",P)为,在 上关于P点的Leray— Schauder度。 定义1设 ∈c[o,+a。)n L[0,+00),贝0 Vt≥0, >0,称 。I u(t) (t—s)a-Iu(s)ds 为函数 (t)的0c阶Caputo分数阶积分子,。I 为 阶Caputo积分算子,其中,( )为Gamma函 数。 对上述条件,称 ;D u(t)=。 t- ̄D"u(t) 南 一 s) 一 一 U(“’(s)ds 为Caputo分数阶微分,算子;D 称为 阶Caputo 微分算子,其中n=[ ]+1,[ ]表示 的整数 部分, (t)为u(t)的n阶导数。称 u(t)=DoI,~u(t)= (盖) (t—s) u(s)ds 为Remann—Liouville分数阶微分,简称R—L微 分,算子。 称为 阶R—L微分算子。 注:若函数 还满足 (t)∈C“(0,∞),则 D,u(t)=。D,u(t)一kn一1 。 I1k● or(k— +1) t ~o 下面我们介绍一些引理,其中引理2出自文 献[3],引理3和引理4出自文献[4]。 引理2.Caputo分数阶微分方程初值问题(1) 等价于如下第二类非线性Vohegral积分方程 )=薹簪 + 圹 (s)) 且它的解连续。 R—L分数阶微分方程初值问题(2)等价于如 下第二类非线性Voltegral积分方程 一8一 =薹 “ s) s, (s)) 且它的解连续。 引理3.(Kronecker存在性定理)设 为实线 性赋范空间,力为 中的有界开集,f∈c( ,X), P∈X,当P隹 )时,deg ,P)=0。因此, 若deg ,P)≠0,则方程 )=P在 内存在 解。 引理4.(紧同伦不变性)设X为实线性赋范 空间, 为X中的有界开集,f∈C( ,X),P∈X, 若H: ×[0,1]_+ 紧连续, 。( )= 一日(戈,t); 设P:[0,1]_+X连续且p(£)芒h (加),则 deg(h , ,P(t))与t无关。 2主要结果 定理1.若 £, )在[0,b]×R上连续有界, (t)∈C([0,b],R),则初值问题(1)及(2)的解 在[0,b]上存在。 证明.由引理2,Caputo分数阶微分方程初值 问题(1)的解等价于积分方程 )=墓簪 + 弧, (s)) 的解。取c[0,6]上的范数0 Il= 躏l I。 作映射 :C[0,b] C[0,b], (t)=蓑普 + 【_ (t—s) s, (s)) , 再作函数r(t):F= —Tu,则初值问题(1)的解 转化为求函数F(t)的零解。 由已知条件可得,Vf∈[0,b]×R,了常数 1,使得l厂(t, )l≤Ml。 作 (t)=A (t)的先验估计,其中A∈[0, 1], ≤墓 - ≤薹= n0晤 : j L‘岳 T‘, ≤ f(t,u2( 一f(t,ul㈤)I< , 墓悟 + 记 =∑::oI I bku ̄/k!I+b"M1/F(a+1),于是 V£E[0,b] V ∈D, =0,1,2…设11, 在D中收敛于 u。,故存在自然数Ⅳ,使得当n≥Ⅳ时,有 u 一 有8 ㈤II≤ 。 作同伦变换h (£)=11,(t)一)tTu(£),A E[0, 1]。取C[O,b]中的有界开集D={ (£)∈c[o, 6]:《u(£)《<M+1},贝4 0隹 (aD)。 对c[o,6]中的任意有界集,不妨取为D一。下 证 是列紧的。 V ∈ ,t1,t2∈[0,6],假定£l≤t2,我们可 以得到 I ru( t)一ru(t2) ( s) s, 。。 一一 s) s,u(s))ds I +t —s) s,u(s))ds一 (t2一s) (s)) I 。≤ P;o , : ] I+ 一s)"-'ds I= 【f(t2一t1)“+(t1) 一(t2) l+(t2一t1) 】, 所以 (D)是一个等度连续集合,它也是一致 有界的。由Ascoli—Arzela定理可以得到 (D) 是相对紧致的。再证 是连续的: 由于厂在[O,b]X[一M一1,M+1]上—致连续, 即对V占>0,j >0,ul, E D,当I u2一 1 I<艿 时,恒有 0 fl< ,于是 I Tu.- l≤志Il(t I f( )) ㈤)一 < ~ 则 是连续的,于是 是完全连续的。 由引理4,deg(h^(t),D,0)=deg(id,D,0) =deg(F,D,0)=1。由引理3,F(t)=u(t)一 ru(t)=0在D上有解,从而初值问题方程(1)在 [0,6]上有解。 对R—L分数阶微分方程初值问题(2)解的存 在性证明同上,在这里不再赘述。 参考文献: [1]ChengY,GuozhuG.Existence offractional diferential e. quations[J].J.blath.Ana1.App1.,2005(310):26— 29. [2]EI—Sayed AlVIA.Linear diferential equations Of frae- tional orders[J].Apllied Mathematics and Computation, 1993(55):l—l2. [3]Diethelm K.The Analysis of Fractional Diferential Equa- tions,*An Application—oriented Exposition Using Difer- ential Operators of Caputo Type[M].nt ̄rlin.,Springer Verlag,2010. [4]钟承奎,范先令.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰 州大学出版社,1998. 一9一