第６卷第３期 贵阳学院学报（自然科学版） （季刊） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＩＹＡＮＧ ＣＯＬ】ＬＥＧＥ Ｖ０１．６ Ｎｏ．３ ２０１１年９月 Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ） Ｓｅｐ．２０１１ 分数阶微分方程初值问题解的存在性 徐娜，肖立顺 （中国矿业大学理学院，江苏徐州２２１１１６） 摘要：利用Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度理论，证明了Ｃａｐｕｔｏ和Ｒｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分方程初值问题解的存 在性。 关键词：分数阶微分方程；Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度；Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ；存在性定理 中图分类号：０１７５．１５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－６１２５（２０１１）０３－０００７－０３ Ｔｈｅ Ｅｘｉｓｔｅｎｅｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｉｎｉｔｉａｌ ｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉ０ｎａｌ Ｄｉｆｊｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＸＵ Ｎａ．ＸＩＡＯ Ｌｉ—ｓｈｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｍｉｎｉｎｇ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ ２２１ １ １６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｉｎｉｉｔａｌ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｃａｐｕｔｏ ａｎｄ Ｒｅｍａｎｎ・－ＬｉｏｕｖｉＵｅ ｆｒａｃ・－ ｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｙ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｌｅｒａｙ—Ｓｅｈａｕｄｅｒ Ｄｅｇｒｅｅ；Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ；Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ． ０引言 在此基础上，本文给出初值问题解的存在性的 近年来，分数阶微分方程初值问题解的存在性 另外一种证明方法，即利用Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度理 研究引起了许多学者的关注。其中文献［１］利用 论研究Ｃａｐｕｔｏ分数阶微分方程初值问题 Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理研究阶数在（０，１）上非线性 ｒ；Ｄ ｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｕ（ｔ））， Ｒｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分方程Ｄ ＝ ￡， ） ｛ ｕ （０）＝ｕ ， （１） 解的存在性，函数 满足条件：Ｉ ｔ， ）一 ￡，ｙ）Ｉ 【 ｋ＝０，１，…，１＇１—１ ≤Ａ（ｔ）ｈ（１ 一Ｙ Ｉ）；文献［２］利用Ｂａｎａｃｈ压缩映 以及Ｒｅｍａｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分方程初值 射原理和Ｓａｈａｕｄｅｒ不动点定理证明了线性Ｒｅ－ ｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分方程 问题 ｆｏ ｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｕ（ｔ）），ｎ一１＜ ≤ｎ 小， ，…， ） ｛【［ ０Ｄ 一 ｕ（ｔ． ）］。：ｏ＝ｕＩ ，ｋ＝１，２，…，ｎ （２） 解的存在性，其中， ， （ｉ＝１，２，…， ）是实数，０ 解的存在性。 收稿日期：２０１１—０５—２９ 作者简介：徐娜（１９８６一），女，山东枣庄人，在读硕士研究生，主要研究微分方程边值问题理论及其在实际问题中的应用。 ● 一７一 １预备知识 本节主要介绍一些分数阶微分方程的基础知 识和一些引理。首先我们做一些符号说明， ｄｅｇ １１＂，Ｐ）为，在 上关于Ｐ点的Ｌｅｒａｙ— Ｓｃｈａｕｄｅｒ度。 定义１设 ∈ｃ［ｏ，＋ａ。）ｎ Ｌ［０，＋００），贝０ Ｖｔ≥０， ＞０，称 。Ｉ ｕ（ｔ） （ｔ—ｓ）ａ－Ｉｕ（ｓ）ｄｓ 为函数 （ｔ）的０ｃ阶Ｃａｐｕｔｏ分数阶积分子，。Ｉ 为 阶Ｃａｐｕｔｏ积分算子，其中，（ ）为Ｇａｍｍａ函 数。 对上述条件，称 ；Ｄ ｕ（ｔ）＝。 ｔ－￣Ｄ＂ｕ（ｔ） 南 一 ｓ） 一 一 Ｕ（“’（ｓ）ｄｓ 为Ｃａｐｕｔｏ分数阶微分，算子；Ｄ 称为 阶Ｃａｐｕｔｏ 微分算子，其中ｎ＝［ ］＋１，［ ］表示 的整数 部分， （ｔ）为ｕ（ｔ）的ｎ阶导数。称 ｕ（ｔ）＝ＤｏＩ，～ｕ（ｔ）＝ （盖） （ｔ—ｓ） ｕ（ｓ）ｄｓ 为Ｒｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分，简称Ｒ—Ｌ微 分，算子。 称为 阶Ｒ—Ｌ微分算子。 注：若函数 还满足 （ｔ）∈Ｃ“（０，∞），则 Ｄ，ｕ（ｔ）＝。Ｄ，ｕ（ｔ）一ｋｎ一１ 。 Ｉ１ｋ● ｏｒ（ｋ— ＋１） ｔ ～ｏ 下面我们介绍一些引理，其中引理２出自文 献［３］，引理３和引理４出自文献［４］。 引理２．Ｃａｐｕｔｏ分数阶微分方程初值问题（１） 等价于如下第二类非线性Ｖｏｈｅｇｒａｌ积分方程 ）＝薹簪 ＋ 圹 （ｓ）） 且它的解连续。 Ｒ—Ｌ分数阶微分方程初值问题（２）等价于如 下第二类非线性Ｖｏｌｔｅｇｒａｌ积分方程 一８一 ＝薹 “ ｓ） ｓ， （ｓ）） 且它的解连续。 引理３．（Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ存在性定理）设 为实线 性赋范空间，力为 中的有界开集，ｆ∈ｃ（ ，Ｘ）， Ｐ∈Ｘ，当Ｐ隹 ）时，ｄｅｇ ，Ｐ）＝０。因此， 若ｄｅｇ ，Ｐ）≠０，则方程 ）＝Ｐ在 内存在 解。 引理４．（紧同伦不变性）设Ｘ为实线性赋范 空间， 为Ｘ中的有界开集，ｆ∈Ｃ（ ，Ｘ），Ｐ∈Ｘ， 若Ｈ： ×［０，１］＿＋ 紧连续， 。（ ）＝ 一日（戈，ｔ）； 设Ｐ：［０，１］＿＋Ｘ连续且ｐ（￡）芒ｈ （加），则 ｄｅｇ（ｈ ， ，Ｐ（ｔ））与ｔ无关。 ２主要结果 定理１．若 ￡， ）在［０，ｂ］×Ｒ上连续有界， （ｔ）∈Ｃ（［０，ｂ］，Ｒ），则初值问题（１）及（２）的解 在［０，ｂ］上存在。 证明．由引理２，Ｃａｐｕｔｏ分数阶微分方程初值 问题（１）的解等价于积分方程 ）＝墓簪 ＋ 弧， （ｓ）） 的解。取ｃ［０，６］上的范数０ Ｉｌ＝ 躏ｌ Ｉ。 作映射 ：Ｃ［０，ｂ］ Ｃ［０，ｂ］， （ｔ）＝蓑普 ＋ 【＿ （ｔ—ｓ） ｓ， （ｓ）） ， 再作函数ｒ（ｔ）：Ｆ＝ —Ｔｕ，则初值问题（１）的解 转化为求函数Ｆ（ｔ）的零解。 由已知条件可得，Ｖｆ∈［０，ｂ］×Ｒ，了常数 １，使得ｌ厂（ｔ， ）ｌ≤Ｍｌ。 作 （ｔ）＝Ａ （ｔ）的先验估计，其中Ａ∈［０， １］， ≤墓 － ≤薹＝ ｎ０晤 ： ｊ Ｌ‘岳 Ｔ‘， ≤ ｆ（ｔ，ｕ２（ 一ｆ（ｔ，ｕｌ㈤）Ｉ＜ ， 墓悟 ＋ 记 ＝∑：：ｏＩ Ｉ ｂｋｕ￣／ｋ！Ｉ＋ｂ＂Ｍ１／Ｆ（ａ＋１），于是 Ｖ￡Ｅ［０，ｂ］ Ｖ ∈Ｄ， ＝０，１，２…设１１， 在Ｄ中收敛于 ｕ。，故存在自然数Ⅳ，使得当ｎ≥Ⅳ时，有 ｕ 一 有８ ㈤ＩＩ≤ 。 作同伦变换ｈ （￡）＝１１，（ｔ）一）ｔＴｕ（￡），Ａ Ｅ［０， １］。取Ｃ［Ｏ，ｂ］中的有界开集Ｄ＝｛ （￡）∈ｃ［ｏ， ６］：《ｕ（￡）《＜Ｍ＋１｝，贝４ ０隹 （ａＤ）。 对ｃ［ｏ，６］中的任意有界集，不妨取为Ｄ一。下 证 是列紧的。 Ｖ ∈ ，ｔ１，ｔ２∈［０，６］，假定￡ｌ≤ｔ２，我们可 以得到 Ｉ ｒｕ（ ｔ）一ｒｕ（ｔ２） （ ｓ） ｓ， 。。 一一 ｓ） ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ Ｉ ＋ｔ —ｓ） ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ一 （ｔ２一ｓ） （ｓ）） Ｉ 。≤ Ｐ；ｏ ， ： ］ Ｉ＋ 一ｓ）＂－＇ｄｓ Ｉ＝ 【ｆ（ｔ２一ｔ１）“＋（ｔ１） 一（ｔ２） ｌ＋（ｔ２一ｔ１） 】， 所以 （Ｄ）是一个等度连续集合，它也是一致 有界的。由Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌａ定理可以得到 （Ｄ） 是相对紧致的。再证 是连续的： 由于厂在［Ｏ，ｂ］Ｘ［一Ｍ一１，Ｍ＋１］上—致连续， 即对Ｖ占＞０，ｊ ＞０，ｕｌ， Ｅ Ｄ，当Ｉ ｕ２一 １ Ｉ＜艿 时，恒有 ０ ｆｌ＜ ，于是 Ｉ Ｔｕ．－ ｌ≤志Ｉｌ（ｔ Ｉ ｆ（ ）） ㈤）一 ＜ ～ 则 是连续的，于是 是完全连续的。 由引理４，ｄｅｇ（ｈ＾（ｔ），Ｄ，０）＝ｄｅｇ（ｉｄ，Ｄ，０） ＝ｄｅｇ（Ｆ，Ｄ，０）＝１。由引理３，Ｆ（ｔ）＝ｕ（ｔ）一 ｒｕ（ｔ）＝０在Ｄ上有解，从而初值问题方程（１）在 ［０，６］上有解。 对Ｒ—Ｌ分数阶微分方程初值问题（２）解的存 在性证明同上，在这里不再赘述。 参考文献： ［１］ＣｈｅｎｇＹ，ＧｕｏｚｈｕＧ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅ． ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ．ｂｌａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．，２００５（３１０）：２６— ２９． ［２］ＥＩ—Ｓａｙｅｄ ＡｌＶＩＡ．Ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｏｆ ｆｒａｅ－ ｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒｓ［Ｊ］．Ａｐｌｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， １９９３（５５）：ｌ—ｌ２． ［３］Ｄｉｅｔｈｅｌｍ Ｋ．Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａ－ ｔｉｏｎｓ，＊Ａｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ—ｏｒｉｅｎｔｅｄ Ｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｄｉｆｅｒ－ ｅｎｔｉａｌ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ Ｃａｐｕｔｏ Ｔｙｐｅ［Ｍ］．ｎｔ￣ｒｌｉｎ．，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖｅｒｌａｇ，２０１０． ［４］钟承奎，范先令．非线性泛函分析引论［Ｍ］．兰州：兰 州大学出版社，１９９８． 一９一
