4初中数学最值系列之胡不归教案

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V15BD的最小值是_______．5【分析】本题关键在于处理“55，故作BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sinABE

555BD．5DH⊥AB交AB于H点，则DH

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CDDHCHBE45．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．【练习3】【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB

3PD的最小值等于________．2【分析】考虑如何构造“33PD”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，22即可得PH=3PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．2当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．【练习4】如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，求解AM+1

BM的最小值。2【分析】考虑如何构11BM，已知∠ABC=60°菱形对角形互相平分，∠MBC=30°，sin30°=221

BM，转化为AM+MN最小值。2作MN⊥BC，可得MN=在Rt△ABN中，AN=AB•sin∠ABC=4×3=232∴AM+BM的最小值为23.【练习5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax(^2)+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则值为_________。、3）1

PB+PD的最小2【分析】考虑如何构造作PE⊥AB，可得PE=1

PB，当E、P、D三点共线有最小值。21

PB，A（-1，0），B（0，-2，连接AB，得∠ABO=30°3）Rt△AED中∠DAB=60°，AD=3

2DE=AD•sin60°=334【练习6】如图所示，点A为直线l外一定点，点B,C为直线L上两点，且AB=2，∠ABC=15°，点P为直线l上的动点，请确定点P的位置，使AP+1

BP最小，并求出这个最小值。2

【分析】考虑如何构30°角。从B点向外作射线PE，使∠CBE=30°，作PD⊥BE，可得11BP，而sin30°=所以我们构造221BP2【解答】此时∠ABD=15°+30°=45°∵AB=2∴AD=BD=2

∴Rt△ABD为等腰直角三角形即AP+1

BP的最小值为22

【练习7】如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠A＝30°，点D为AC边上一动点，则值___。1

AD+DB的最小2

【分析】有30°角可以转化111AD，作DE⊥AB交于点E，可得DE=AD，构造了AD222

【解答】作点E关于AC的对称点F，连接AF，DF。可得△AED≅△AFD∴AF⊥BD∠DAF=∠A=30°在Rt△ABF中∠ABF=30°AB=4∴FB=23

【练习8】如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y轴上有一动点G，求BG+小值.1

AG的最31AG，直接截取线311段构造sin∠OAC=即可以转化AG33【分析】难度在于构造【解答】在x轴正半轴上取点C使OC1

AC3连接AC在Rt△AOC中∵sin∠OAC=13∴tan∠OAC=OC1



OA221AG3∵OA=4∴OC=2

作GD⊥AC于点D即GD=当B、G、D三点共线时Rt△AOC∼Rt△BCDBDAO

BCAC

其中AC=32

整理得BD=2243