广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二下学期数学(理)练习题3

班别： 姓名： 座号： 成绩：

1．函数y＝f(x)＝(x－1)＋1在x＝－1处( )

A．有极大值 B．有极小值 C．无极值 D．无法判断极值情况

2．对于函数f(x)＝x－3x，给出命题，其中正确的命题有( ) ①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 3．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数

C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数 4．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 B．1 C．0 D．不存在

5．已知函数f(x)＝x·2，则下列结论正确的是( ) A．当x＝

11

时f(x)取最大值 B．当x＝时f(x)取最小值 ln2ln211

时f(x)取最大值 D．当x＝－时f(x)取最小值 ln2ln2

x3

2

2

3

C．当x＝－

6．观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，„，则a＋b＝( )

A．28 B．76 C．123 D．199

223344551010

7.在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于( ) A．18 B．22 C．37 D．46

8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

9．已知f(x)＝x－3bx＋3b在(0, 1)内有极小值，则实数b的取值范围是____________．

10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

3

11.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，

1f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g()0则不等式f(x)g(x)0的解集是

2 ___________________12．已知x…，求证：3x2„xlnx 13.设函数

122f(x)ax21xa,x(0,1],aR. 1）若

f(x)在(0,1]上是增函

数，求a的取值范围； 2）求f(x)在(0,1]上的最大值．

132

14.已知函数f(x)＝x＋ax－3x(a∈R)． 1)若x＝是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在

3上的最大值； 2)在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

15. 用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

廷锴纪念中学高二第二学期理科数学练习题（3）答案

一、 二、

选择题：CBCA DCDB 填空题 9. 022

12.证明：设f(x)=3x-2-x2-lnx(x?12)f'(x)=3-2x-1x=-2x2+3x-1x=-(2x-1)(x-1)x令f'(x)=0,x=12或x=1当1?x1,f'2(x)?o,f(x)当x>1,f'(x)<0,f(x)\\x=1,f(x)有唯一极值，且为极大值，则有最大值

\\f(x)max=f(1)=0即f(x)£0\\原命题成立13.解: 1）f(x)axx2110在上恒成立，

ax21x11x2在[0,1]恒成立󰀀, ∴a(11x2)min, 显然a(11x2)min=2, ∴0a2. 2）由1）当0a2时,f(x)在(0,1)上为增函数，

∴f(x)在(0,1]上的最大值为f(x)maxf(1)1(12)a, 当a2时, f(x)x21ax(1a2)x21x21x21(x21ax)x1a211

令f(x)0

当0x当1时,　f(x)0，f(x)　2a11x1时　f(x)0,f(x) a21x1,f(x)有唯一极值，且为极大值，则有最大值 ∴当 　12f(x)aa1 x　时　，max2a1

综上，当0a2,f(x)maxf(1)1(12)a,当a2,f(x)maxaa112a114解析：(1)由题意知f′＝0，即＋－3＝0，∴a＝4. 333

∴f(x)＝x＋4x－3x.

12

令f′(x)＝3x＋8x－3＝0得x＝或x＝－3.

3141∵f(－4)＝12，f(－3)＝18，f＝－，f(1)＝2， 273∴f(x)在上的最大值是f(－3)＝18.

3

2

22)函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x＋4x－3x＝bx恰有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴方程x＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．

Δ＝16＋43＋b>0，

∴

－3＋b≠0，

2

32

∴b>－7且b≠－3.

∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．

14.815.解析： 设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为h＝

4－x－(x＋0.5)＝3.2－2x(0于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x＋2.2x＋1.6x，其中0由V′(x)＝－6x＋4.4x＋1.6＝0，得x＝1或x＝－(舍去)．

15当x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；

3

2

x∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．

因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且是极大值点

所以，当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m)，h＝3.2－2＝1.2(m)．

3

即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m.

（测试4答案）16.解析： 设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，

3

y＝(10－x)＋ln x＝ln x－x＋1， y′＝－，由y′＝0⇒x＝4.

5x10

当x∈时，y′<0，y

所以当x＝4时，y取得唯一极值，且为极大值，则有最大值，

2

1

1102525110

ymax＝ln 4－0.4＋1≈1.2.

答：厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，

最多补贴约为1.2万元．

x2fxxe1ax)10. 设函数f( x25

（Ⅰ）若a=

1，求f(x)的单调区间； 2（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围

设f(x),g(x)分别是定义在

R

上的奇函数和偶函数，当x0时，

1f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g()0则不等式f(x)g(x)0的解集是

2 ___________________答案：(,)(0,)

1．函数y＝f(x)＝(x－1)＋1在x＝－1处( )

A．有极大值 B．有极小值 C．无极值 D．无法判断极值情况

f′(x)＝6x(x－1)＝6x(x－1)·(x＋1)虽有f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．故选C.

2

2

2

2

2

3

12122．对于函数f(x)＝x－3x，给出命题，其中正确的命题有( ) ①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个

3．函数f(x)＝x－x＋1在区间上的最值为( )

3

A．最大值为13，最小值为 B．最大值为1，最小值为4

4C．最大值为13，最小值为1 D．最大值为－1，最小值为－7

113

由y′＝2x－1＝0，得x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1，∴f(x)在上的最大值

2243

为13，最小值为.故选A.

4

4．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 B．1 C．0 D．不存在 1111－x－x y′＝－＝·

2x21－x2x·1－x11由y′＝0得x＝，在0，上y′>0，

22

11在，1上y′<0.∴x＝时y极大＝2，又x∈(0,1)，

22

∴ymax＝2.故选A.

5．已知函数f(x)＝x·2，则下列结论正确的是( )

11

A．当x＝时f(x)取最大值 B．当x＝时f(x)取最小值

ln2ln2C．当x＝－ D

f′(x)＝2＋x·2ln2， 1

令f′(x)＝0，得x＝－，

ln21

又当x<－时，f′(x)<0；

ln2

xxx2

32

11

时f(x)取最大值 D．当x＝－时f(x)取最小值 ln2ln2

1

当x>－时，f′(x)>0，

ln2

1

∴当x＝－时，f(x)取最小值．故选D.

ln26．函数f(x)＝sinx＋cosx ，x∈－

2，－1

π，π的最大、最小值分别是________．



22

f′(x)＝cosx－sinx＝0，

πππ∴tanx＝1，∵x∈－，，∴x＝， 422ππ

当－0，

24ππ

π

是函数f (x)的极大值点． 4

πππ∵f－＝－1，f＝1，f＝2. 224

∴f(x)的最大值为2，最小值为－1.

7．已知f(x)＝x－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．

(0,1)

∵f′(x)＝3x－3b＝3(x－b)． 因为函数f(x)在(0,1)内有极小值，

故方程3(x－b)＝0在(0,1)内有解，所以0设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πRL＝27π， ∴L＝

27

2

2

2

2

3

R2

，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，

2

2

∴S表＝πR＋2πRL＝πR＋2π∴S′(R)＝2πR－

54π

＝0，

27

，

RR2

∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．

9．已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

3

2

(2)若f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． (1)f′(x)＝－3x＋6x＋9＝－3(x－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)． 令f′(x)<0，则－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)令f′(x)＝0， ∵x∈，∴x＝－1.

当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0； 当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.

∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在上的最小值， 即f(x)min＝f(－1)＝a－5. 又函数f(x)的区间端点值为

2

2

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22， f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.

∵a＋22＞a＋2，

∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2. 此时f(x)min＝a－5＝－7.

x2fxxe1ax)10. 设函数f( x（Ⅰ）若a=

1，求f(x)的单调区间； 2（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围 解： （Ⅰ）a112x时，f(x)x(e1)x，f'(x)ex1xexx(ex1)(x1) 22当x,1时f'(x);当x1,0时，f'(x)0;当x0,时，f'(x)0 故f(x)在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。 （Ⅱ）f(x)x(x1ax)

令g(x)x1ax，则g'(x)ea

若a1，则当x0,时，g'(x)，g(x)为增函数，

axa而g(0)0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0. 若a，则当x0,lna时，g'(x)，g(x)为减函数， 而g(0)0，从而当x0,lna时g(x)＜0，即f(x)＜0. 综合得a的取值范围为,1

1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是( ) A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数

C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数

解析： 演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C. 答案： C

7．观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，„，则a＋b＝( )

A．28 C．123

nn10

2

2

3

3

4

4

5

5

10

B．76 D．199

解析： 记a＋b＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N，n≥3)，则

*

f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)

＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.

所以a＋b＝123. 答案： C

6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x＋2f′(2)x＋3，则( ) A．f(0)f(6)

B．f(0)＝f(6) D．无法确定

2

10

10

解析： f′(x)＝2x＋2f′(2)⇒f′(2)＝4＋2f′(2)⇒f′(2)＝－4. 从而f(x)＝x－8x＋3，其对称轴为x＝4，则f(0)>f(6)． 答案： C

11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) C．(－∞，－1)

解析： 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，

2

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

则m′(x)＝f′(x)－2>0， ∴m(x)在R上是增函数．

∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}， 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案： B

9．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若

n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于( )

A．18 C．37

解析： f(3)＝7，

B．22 D．46

f(4)－f(3)＝4， f(5)－f(4)＝5，

„

f(n)－f(n－1)＝n.

以上各式相加：

∴f(n)＝7＋4＋5＋„＋n ∴f(9)＝7＋4＋5＋„＋9＝7＋答案： D

12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有恒成立，则不等式f(x)>0的解集为( )

A．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析： 由题意知g(x)＝

B．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)

且

6×4＋9

＝46.

2

xf′x－fx

>0x2

fx

在(0，＋∞)上是增函数，xg(1)＝0，

∵f(x)是R上的奇函数， ∴g(x)是R上的偶函数．

f(x)

的草图如图所示： x由图象知：当x>1时，f(x)>0， 当－10.

∴不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．

22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x＋ax－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析： (1)f′(x)＝3x＋2ax－3， ∵f(x)在上的最大值是f(－3)＝18.

(3)若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x＋4x－3x＝bx恰有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴方程x＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．

Δ＝16＋43＋b>0，∴－3＋b≠0，

2

3

2

2

32

∴b>－7且b≠－3.

∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 设函数f(x)ax21xa,x(0,1],aR. （1） 若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围； （2） 求f(x)在(0,1]上的最大值．

解: f(x)axx1210在上恒成立，ax21112, xx∴a(11),∴0a2. 2minx2时,f(x)在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1]上的最大值为

（1） 当0aymaxf(1)1(12)a,

当a2时, f(x)x21axx12(1a2)x21x1(x1ax)22 0x11时,　f(x)0，　x1时　f(x)0 22a1a1

∴当 　12f(x)aa1. x　时　，max2a1

已知函数f(x)12xlnx 2（1）求函数f(x)在区间上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间（1，）上，函数f(x)图象在函数g(x)（3）设函数h(x)f(x)，求证：[h(x)]n2≥h(xn)2n．

23x图象的下方； 31x21

解:（1）f(x)x=，令f(x)0，得x0

xx

当x时，f(x)0，则f(x)在区间上是增函数

1e21„„„„„„„„4分 ∴ 当x1时，f(x)有最小值；当xe时，f(x)有最大值

2212231(1x)(1x2x2)2（2）设F(x)=xlnxx，则F(x)x2x

23xx∵ x1， F(x)0

∴ F(x)在区间（1，）上是减函数 „„„„„„„„„„„„7分

10 612231223∴ xlnxx0，即xlnxx，x(1,)

232323∴在区间（1，）上，函数f(x)图象在函数g(x)x图象的下方„„„„„„„„„„

3又∵ F(1)9分

（3）当n1时，左边=x当n2时，

112，右边=x2，不等式成立； xx11[h(x)]nh(xn)(x)n(xnn)

xx11n21112n1n2)Cn(xn4n4)Cn(n2xn2)] =[Cn(x2xxx由已知，x0

∴ [h(x)]h(x)≥CnCnCnnn12n12n2

∴ [h(x)]n2≥h(xn)2n． „„„„„„„„„„„„14分

用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

14.8

解析： 设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为h＝

4－x－(x＋0.5)＝3.2－2x(0于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x＋2.2x＋1.6x，其中0由V′(x)＝－6x＋4.4x＋1.6＝0，得x＝1或x＝－(舍去)．

15

因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；

3

2

x∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．

所以，当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m)，h＝3.2－2＝1.2(m)．

即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m.

3

3