第２５卷第１期 ２０１０年２月 成都信息工程学院学报 Ｖｌ０１．２５ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２Ｏ１０ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＥＮＧＤＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ 文章编号：１６７１．Ｉ７４２（２０１０ ＪＯｌ一００２２—０４ 一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法 崔得龙， 肖 明， 左敬龙 （茂名学院计算机与电子信息学院，广东茂名５２５０００） 摘要：针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足，设计了一种基于分数阶傅里叶变换和 混沌系统的图像加密新算法。图像加密过程分两个步骤：首先将原始图像的分数阶傅里叶变换系数经过双随机相 位加密，然后利用｝昆沌系统生成的置乱矩阵对图像进行置乱加密后得到最终的加密图像。方案的安全性依赖于随 机相位掩膜、分数阶傅里叶变换阶数以及混沌系统的初始参数。理论分析和模拟实验结果表明该方案具有良好的 图像加密效果。 关键词：信息安全；图像加密；分数阶傅里叶变换；双随机相位；混沌系统；置乱矩阵 文献标识码：Ａ 中图分类号：ＴＰ３９１ 分数阶傅里叶变换（ＦＲＦＴ，Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）作为传统傅里叶变换的广义形式，其实质是一种统 一的时频变换，与常用二次型时频分布不同的是它没有交叉项困扰，且可以理解为ｃｈｉｒｐ基分解，因此，ＦＲＦＴ成 为近十多年来信号处理领域的研究热点之一。目前，ＦＲＦＴ作为一种崭新的时频分析工具和旋转算子为信号处 理领域的研究人员所广泛接受，在目标检测、信息安全和信号处理Ｉ１ ｊ等领域已得到了初步应用。 针对目前基于分数阶傅里叶变换图像加密算法的不足，设计了一种基于ＦＲＦＴ的改进图像加密新算法。算 法重新设计了基于ＦＲＦＴ图像加密算法的流程图，将经过ＦＲＦＴ加密后的图像再进行置乱加密。理论分析和实 验结果表明该算法在不增加算法复杂性的同时，提高了其安全性。 １分数阶傅里叶变换理论 信号ｚ（ｔ）的ＦＲＦＴ定义为【 ｊ： ｘｐ（ｕ） （ ）（“） ｊ一。。ｘ（ｔ）Ｋｐ（ｔ，ｕ）ｄｔ 的算子符号；Ｋｐ（ｔ，“）为Ｆ 的变换核： 式中：Ｐ为ＦＩ Ｔ的阶，可以为任意实数；ａ＝ｐｚｒ／２为Ｆ ｆ 丁 Ｋｐ（ｔ，“）＝ （ｔ一“） Ｌ （ｔ＋Ｕ） ＦＲＦｒ的逆变换为： ｅｘｐｊ￣ｒ（ｔ２ｃｏｔａ一２ｕｔｃｓｃａ＋ｕ２ｃｏｔａ） 口＝２ｍｒ ａ＝（２ｎ＋１）丌 口≠ 玎 ｚ（￡）：Ｆ一户 （ ）＝Ｉ （“）Ｋ一 （ ，“）ｄｕ 域的特例。 ＦＲＦＴ域也称为Ｕ域，而时域和频域则可视为Ｆ 离散形式的分数阶傅里叶变换（ＤＦＲＦＴ，Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）需通过限定输入输出采样间 隔来保持ＤＦＲＦＴ变换核的正交性，从而使经过正反两次变换后得到的序列和原序列完全一致［５５。即对ＦＲＦＴ ］的输入输出分别以间隔 和△“进行取样，当ＦＲＦＴ域的输出采样点数Ｍ≥时域采样点数，并且采样间隔满足： △“・Ａｔ＝Ｉ Ｓ Ｉ・２７ｒ・ｓｉｎｇ／Ｍ时，ＤＦＲＦＴ可以表示为： ｆＡ。・ｅｘｐ（（ｊ／２）ｃｏｔａ・ｍ ・Ａｕ ）・ ￣‘ｅｘｐ（（ｊ／２）ｃｏｔａ・ ・Ａｔ ） ｌ一 （ ）：Ｊ ｅｘｐ（＿ ・ ｌｚ（ ）ａ＝２Ｄ丌 ） ｎ≠Ｄ７ｒ ｌ （一 ） ａ＝（２Ｄ＋１）７ｌ＂ 收稿日期：２００９．０９．０７；修订日期：２００９．１０ １０ 第１期 崔得龙等：一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法 ２３ 其中ｌ ｓ Ｉ是与Ｍ互质的整数（常取为１）， Ａ ＝ ｆｓｇｎ（ｓｉｎａ）＂（ｓｉｎａ－ｃｏｓａ）Ｍ，Ｄ为整数。 为了简化计算，通常取Ｍ＝Ｎ，这样，当ａ≠Ｄｒｒ时，上式可以写成如下矩阵形式： Ｘ＝ ‘ｚ 其中Ｘ＝（ｘ口（０），Ｘａ（１），…， （Ｎ一１））Ｔ，２．７＝（．／７ （０），ｚ。（１），…，ｚ （Ｎ一１））Ｔ， 为Ｎ×Ｎ矩阵，其元素为： （ ， ）＝Ａ。・ｅｘｐ（（ｊ／２）ｃｏｔａ・ｍ －Ａｕ ）・ｅｘｐ（（ｊ／＇２）ｃｏｔａ・ｒｔ２￣ 。）・ｅｘｐ（－ｊ・ ） 同样，逆变换可以写为： ＝Ｆ一。。Ｘ 其中Ｆ一 ＝ ，Ｈ为共轭转置。 ２ 目前算法存在的不足 文献［６］提出一种基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法，算法将原始图像乘以随机相位掩膜后进行 ２ＤＦＲＦＴ变换得到加密图像。文献［７］提出一种基于分数阶傅里叶变换的指纹图像加密算法，算法中使用４次随 机相位掩膜和５次ＦＲＦＴ变换得到加密图像。目前此类算法的安全性只取决于ＦＲＦＴ阶数和用户密钥生成的随 机相位掩膜，所存在的不足主要有： （１）密钥空间小。分数阶傅里叶变换的阶数以４ Ｊ为周期，其密钥空间为ｌＯ３，抵抗穷举攻击的能力较差； （２）加密图像对密钥的敏感性较差。以图ｌ为例进行说明，图１（ａ）为ＦＲ丌的加密图像，图１（ｂ）为错误随机 密钥下恢复的解密图像，可见即使在错误的随机相位掩膜下，仍可恢复原始图像的部分信息。 （３）／Ｊｎ密图像的系数分布均匀性差。根据Ｗａｌｓｈ图像置乱程度评价函数，加密图像的系数分布越均匀，即加 密图像的Ｗａｌｓｈ变换能量越集中左上角一点处，图像加密的效果越好。图１（Ｃ）为利用ＦＲＩ 加密图像中心区域 １／４系数恢复的原始图像，图１（ｄ）为利用ＦＩ Ｔ加密图像中心区域１／１６系数恢复的原始图像。从图中可见，只 利用加密图像中很少一部分系数即可恢复出原始图像的大部分内容，ＩＩ￣ＩＩ密图像的系数分布均匀性差。 ■■墨■ （ａ）ＦＩ ＦＴ变换加密图像 （ｂ）错误随机相位恢复的图像 （ｃ）１／４系数恢复的图像 （ｄ）１／１６系数恢复的图像 图１ ＦＲＦＴ图像加密算法安全性分析 ３改进的图像加密算法 针对目前算法存在的不足，设计了一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密新方案。方案的加密／解密流 程图如图２所示。 香藿— 卜 Ｈ 覆 蛰 原始 图像 ｌ ＭＡＳＫｌ ｌ ｌ ＭＡＳＫ２ Ｉ （ｂ）图像解密过程 图２图像加密／解密流程图 加密过程描述如下： （１）将原始图像Ｉ如图３（ａ）所示进行ＦＲＦＴ域双随机相位加密，即首先将Ｉ与随机相位掩膜ＭＡＳＫｌ＝ｅｘｐ 第１期 崔得龙等：一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法 （ａ）正确解密图像 （ｂ）错误置乱下的解密图像 （ｃ）错误变换阶数下的解密图像 （ｄ）错误密钥下的解密图像 图４解密图像示例 ５ 结束语 针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足，设计了一种图像加密改进算法。算法重新 设计了基于ＦＲＯＧ＇图像加密算法的流程图，将原始图像经过双随机相位加密后再进行混沌置乱映射。理论分析 和模拟实验结果表明该方案不仅解决了之前算法存在的不足，而且具有密钥空间巨大、加密图像对密钥敏感等特 性，是一种安全、有效的图像加密方案。 参考文献 Ｓｕｎ Ｈｏｎｇｂｏ，Ｌｉｕ Ｇｕｏｓｕｉ，Ｇｕ Ｈｏｎｇ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓ ｆｏｒｍ ｔＯ ｍｏｖｉｎｇ ｔａｒｇｅｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ａｉｒｂｏｒｎｅ ＳＡＲ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ Ｏｎａｅｒｏ ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００２，３８（３）：１４１６—１４２４． Ｉｇｏｒ Ｄｊｕｒｏｖｉｃ．Ｓｒｄｊａｎ Ｓｔａｎｋｏｖｉｃ Ｂａｎｎｉｓ Ｐｉｔａｓ．Ｄｉｇｉｔａｌ ｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｏ— ｍａｉｎ［Ｊ］。Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，２４：１６７—１７３． ［３］ ＳｏｏＣｈａｎｇ Ｐｅｉ，ＪｉａｎＪｉｕｎ Ｄｉｎｇ．Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ，２００１，４９（８）：１６３８—１６５５． ［４］ 陶然。齐林，王越．分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的原理与应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４． ［５］ Ｓｏｏ－Ｃｈａｎｇ Ｐｅｉ，Ｊｉａｎ－Ｊｉｕｎ Ｄｉｎｇ．Ｃｌｏｓｅｄ．ｏｆｒｍ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｆｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｆｆｉｎｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ［Ｊ］，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０００，４８（５）：１３３８—１３５３． ［６］ 张兆祥，田沛．基于分数阶傅立叶变换的图像加密研究［Ｊ］，仪器仪表用户，２００７，１４（５）：８７—８８． ［７］ 刘家胜．基于混沌的图像加密技术研究［Ｄ］．合肥：安徽大学，２００７． Ａ Ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｉｍａｇｅ Ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ＣＵＩ Ｄｅ－ｌｏｎｇ，ＸＩＡＯ Ｍｉｇｎ，ＺＵＯ Ｊｉｎｇ—ｌｏｎｇ （ＣＤ１ｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｍａｏｍｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍａｏｍｉｎｇ ５２５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃｏｐｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔａｇｅ ｏｆ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａ ｎｏｖｅｌ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｌｏｎ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｐｒｏ。 ｃｅｓｓ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｗｏ ｓｔｅｐｓ：ｆｉｒｓｔ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｅｎｃｒｙｐｔｅｄ ｂｙ ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｈｒｏｕｇｈ ｄｏｕｂｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｐｈａｓｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｅｎｃｒｙｐｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｃｉＤｈｅｒ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ ｏｆ Ｄｈａｓｅ ｍａｓｋ，ｔｈｅ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ＦＲＦＴ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｈａｓ ａ ｇｏｏｄ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｅｓｃｕｒｉｔｙ；ｉｍａｇｅ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｄｏｕｂｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｐｈａｓｅ；ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓ— ｔｅｍ；ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ
