八年级数学下册解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法(附答案)

——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝1，则BC的长为________．

2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形 3．如图，在△ABC中，BP平分点P，连接CP.若△PBC的面积为2，( )

A．3 B．4 C．5 D．6

4．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.

∠BAC，且AP⊥BP于则△ABC的面积为

◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等

5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.

◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

6．(·郑州校级月考)如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA边长为6，则DE的长为【方

A．2 B．3 C．4 D．不能确定

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.

＝CQ，连接PQ交AC于点D.若△ABC的法8】( )

参考答案与解析 1．2

1

2．证明：过点E作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝

2AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.

3．B

4．证明：延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，1

∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝MC.∵△ABC是等腰直角三

2角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.

5．证明：连接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.

6．B 解析：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形．∴PA＝PF.又∵PA＝CQ，∴PF＝QC，∴△PFD≌△QCD，∴DF＝CD.∵PE⊥AC，111

∴AE＝EF，∴DE＝EF＋DF＝AF＋CF＝AC.又∵AC＝6，∴DE＝3.

222

7．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.1

又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°

2－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.