一１ｖ 誊 疆ＳＨＵＸＵＥＩＩＡｏＹＵ ｌ图形计数的方法 ●浙江省永嘉县城西中学季建微 摘要：在数学竞赛和中考试题中，经 常会出现一些有趣的几何计数问题，所谓 几何计数，是指计算满足～定条件的图形 ３个 ＡＯＢ、／ＡＯＣ、 ＡＯＤ、／＿ＡＯＥ共４个 和ＭＤ也都分别对应着６个长方形，所以 般的，类似于这样的长方形（平行 ６＝１８个长方形． 同样还有：ＬＢＯＣ、ＬＢＯＤ、ＬＢＯＥ共 共有３Ｘ 的个数．为了准确计数，同学们必须要有 ＣＯＤ、 ＣＯＥ共２个 ＤＯＥ共１个 四边形），若其横边上共有ｎ条线段，纵边 上共有ｍ条线段，则图中共有长方形（平 行四边形）ｍｎ个． 套计数的方法，否则越数头绪越杂乱， 很难得出准确的结果．本文就谈谈简单的 图形计数的方法． 关键词：图形一合计有４＋３＋２＋ｉ＝１０（个） 数线段我们采用的方法是分类法 这里采用的方法是对应法，这也是计 平行四边形：平行四边形就要用分割 法了． 计数方法探究 、问题的提出 数中常用的方法，这种方法实际上是数学 使用对应法时，总是在原图形中（有 时需添加辅助线）找出它的某一部分作对 ３．数三角形． 假设分为如下图所示的两块，那么每 块中的平行四边形的个数都是２Ｏ个． 夜晚，我如往常一样认认真真地做着 的一种思想——转化思想的运用．数学题目．正当进行得一帆风顺的时候， 我却被一道图形计数的题目难倒了：“这 始翻阅各种书籍，搜寻解答此类题型的种 么多的图形！谁数的过来啊７”于是我就开 应图形． 种方法，终于功夫不负有心人，我找到了 很多方法． 二、问题的解决 可用数线段和数角的方法来数三角 形的个数．如图所示的三角形（分类法和 对应法）． 在初中学习期间我已经学会了很多 方法： １．数线段． Ａ Ｂ Ｕ Ｅ Ｆ 于是我思考： 原图中平行四边形的个数是否等于 ６０７ 数线段时，可以从线段的左端点进行 分类，逐类分别数出线段条数后相加． Ａ日、ＡＣ、ＡＤ、ＡＥ、ＡＦ共５条 ＢＣ、ＢＤ、ＢＥ、ＢＦ共４条 ＣＤ、ＣＥ、ＣＦ共３三条 ＤＥ、ＤＦ共２条 ＥＦ共１条 由分类法知ＤＥ上有１５条线段，每 条线段的两端点与点Ａ相连，可构成一个 三角形，共有ｌ ５个三角形，同样一边在 ＢＣ上的三角形也有１ ５个，所以图中共有 ３０个三角形． 如最右侧的图形中也有３０个平行四 边形，那么原图中平行四边形的个数是否 是３Ｘ ３０＝９０７ 不是９０，还应减去如下图所示的两 本题的解决，既有分类法又有对应法． ４．数长方形、平行四边形和正方形． 个“田字格”中的各９个平行四边形，因为 这１８个平行四边形已经包含在前６０个 之中．所以，原图形中平行四边形的个数 合计有５＋４＋３＋２＋１＝１５（条） 如果一条线段上有ｎ＋１个点（包括 两个端点）（或含有ｎ个“基本线段”），那 么这ｎ＋１个点把这条线段分成的线段总 数为， ＋（ｎ一１）＋．．．＋２＋１；旦 ［ ２．数角． 至Ｅ宦 是９Ｏ一１８＝７２． 田田 在使用分类计数法时，一定要注意是 正方形：如左、中、右三图，各包含多 否有遗漏或重复计数的！ 少个正方形？ 数角与数线段相似，角图形中的边类 似于线段图形中的点． 口以ＯＡ为一条边的角有 础 为便于叙述，我们设一个小正方形的 边长为１，那么左图中边长为１的正方形 的个数是３×２＝６ 边长为２的正方形的个数是２×ｌ＝２ ２０１３・１４ ＳＨＵＸＵＥＴＩＡｏＹＵ 如何构建 【ｌ】学数学高效课堂 ■河北省雄县 孟文兴 摘要：充分发挥学生的自主地位，注 重合作交流，建立民主、平等的师生关 系，才能提高课堂效率，构建真正的高效 课堂。 ３．课堂教学设计的拟定。高效课堂 需要活跃的课堂状态，教师要善于根据 使数学课堂变成自己的课堂 三、建立朋友式的师生 新的学习模式要求教 具体教学情况，灵活运用各种教学方 法，精心设计调动学生课堂学习主动性 友型师生关系，与学生合作、 合作交流 数学 的方法；要重视营造民主平等的课堂氛 生学习方法。教师是合作者 学习，引导学生积极参与、独立思考、自 你信任学生，真正地放开学： 由表达、愉快合作，最大限度地让每个 他们能自主学习，学生才能 学生都动起来。 二、培养学生自主学习是打造高效 关键词：高效遵循“课程标准”的教学理念，初中数 围，引导学生自主学习、合作学习、探究 人，教师是伙伴、朋友。信任 学教学应构建数学高效课堂。 一、拟定好导学案。是打造数学高效 课堂的前提 新型的师生关系，应对待学 １．教学内容的拟定。讲求课堂高效， 出能调动学生学习积极性的前置性情境 和要求。教师首先要明确每节课教学的重 点与难点，有的放矢而不可面面俱到；还 要体会、解决学生学习过程中的困难，使 学生轻松学习。 是将“备学生”的要求落实到位。一节课 分学生自主学习、合作交流和积极展 示，而学生是我们提高课堂效率的一个 重要因素。 碗水端平。真心地对待每 教师就要根据教学内容、学生情况，设计 数学课堂的关键 学生学习方式的转变，是提高教学质 量的关键，教得好不如学得好，会教不如 习的重要方式，在课堂上要积极营造适合 学生发展的学习氛围，让学生在课堂上想 仅要及时发现闪光点，还要Ｆ 真诚地指出学生的错误或提 特别是要挖掘“学困生”的闪 心，让他们热爱数学。只有这 生朝着共同的目标努力，确侈 率的提高。 会学。自主探究与合作交流是高效课堂学 获得成功的体验，同时培 ２．教学对象拟定。拟定教学对象就 说、能说、会交流、会合作、会展示，让学生 在互动的氛围中激活思维、发展能力、培 高效是学生取得优异成 的成功与否，是看这节课能否引领大部 养个性，真正让学生乐学、想学，从而为提 们广大数学教师在数学教聿 高教学水平提供保障。数学教学讲究教法 读教材，精心设计教学环节． 灵活多样一得当，能促使学生大胆地动 友、合作者，不断提升教学能 脑，灵活地思维，大胆地展示与交流，进而 高效课堂。 所以左图中共有正方形３×２＋２ Ｘ １＝８（个） 如果一横行有ｍ个小正方形，一竖 行有ｎ个（假设ｍ≥ｎ）小正方形， 那么图中正方形的个数是ｒａｎ＋ （ｍ一１）（ｎ－１）＋・・・＋（ｍ—ｎ＋１）（ｎ—ｎ＋１） 图形个数： ［ 中图中边长为１的正方形的个数是 ４Ｘ ３＝１ ２ ２．长方形、平行四边形ｆ 横边上共有ｎ条线段，纵边 线段，则图中共有长方形（ ｍｎ个： 边长为２的正方形的个数是３×２＝６ 边长为３的正方形的个数是２Ｘ １＝２ 所以，中图里共有正方形４Ｘ ３＋３Ｘ ２＋２Ｘ１＝２０（个） 这样，计数方法就可以列出： １．分类计数法． （１）按照包含同一图形分类； （２）按照图形所包含的“基本图形”的 个数分类： （３）按照图形的大小分类； （４）按照图形的形状分类； ３．正方形的计数公式：女【 ｍ个小正方形，一竖行有ｎ— ）小正方形，那么图中正方 ｍｎ＋（ｍ一１）（ｎ－１）＋・・ 右图里边长为ｌ的正方形的个数是 ６Ｘ ４＝２４ 边长为２的正方形的个数是５ Ｘ ３＝１ ５ （ｎ－－ｎ＋１） 一ｍ ＋（ｍ一１）（凡一１）＋・・－＋（ 边长为３的正方形的个数是４Ｘ ２＝８ （５）按照图形所处的位置分类． ２．对应计数法． 几个计算公式： 学习了这么多图形计数ｊ 边长为４的正方形的个数是３Ｘ １＝３ 所以中图中共有正方形６ Ｘ ４＋５ Ｘ ４＋４Ｘ ２＋３Ｘ １＝５０（个） 很轻松就解决了书上的题目 法对做题目是非常有用的． 不断地学习，才能取得成功Ｊ １．线段、角的计数公式： ２０１３・１４
