量子力学(薛定谔方程与海森堡方程)

量子力学（薛定谔方程与海森堡方程）

量子力学是描写微观物质的一个物理学理论～与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱～许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。

19世纪末～经典力学和经典电动力学在描述微观系统时的不足越来越明显。量子力学是在20世纪初由马克斯〃普朗克、尼尔斯〃玻尔、沃纳〃海森堡、埃尔温〃薛定谔、沃尔夫冈〃泡利、路易〃德布罗意、马克斯〃玻恩、恩里科〃费米、保罗〃狄拉克等一大批物理学家共同创立的。通过量子力学的发展人们对物质的结构以及其相互作用的见解被化地改变。通过量子力学许多现象才得以真正地被解释～新的、无法直觉想象出来的现象被预言～但是这些现象可以通过量子力学被精确地计算出来～而且后来也获得了非常精确的实验证明。除通过广义相对论描写的引力外～至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子力学的框架内描写,量子场论,。

关键现象

光与物质的相互作用

黑体辐射

主条目:黑体辐射

19世纪末～许多物理学家对黑体辐射非常感兴趣。黑体是一个理想化了的物体～它可以吸收所有照射到它上面的辐射～并将这些辐射转化为热辐射～这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关,但从经典物理学出发～得出的有关二者间关系的公式,维恩公式和瑞利公式,与实验数据不符,被称作“ 紫外灾变”,。1900年10月～马克斯〃普朗克通过插值维恩公式和瑞利公式～得出了一个于实验数据完全吻合的黑体辐射的普朗克公式。但是在诠释这个公式时～通过将物体中的原子看作微小的量子谐振子～他不得不假设这些原子谐振子的能量～不是连续的～而是离散的,经典物理学的观点恰好相反,:

E = nhν n

这里 n 是一个整数～h 是一个自然常数。,后来证明正确的公式～应该以 n + 1 / 2 来代替 ～参见零点能量,。1900年～普朗克在描述他的辐射能量子化的n

时候非常地小心～他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。其值为

Js 。

光电效应

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1905年～阿尔伯特〃爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论～提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的～而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论～他得以解释光电效应。海因里希〃鲁道夫〃赫兹和菲利普〃莱纳德等人的实验～发现通过光照～可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度～只有当光的频率～超过一个临限值后～才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能～随光的频率线性升高～而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子,光子这个名称后来才出现,的理论～来解释这个现象。光的量子的能量为

在光电效应中这个能量被用来将金属中的电子射出,功函数,和加速电子,动Ew

能,:

这里 m 是电子的质量～v 是其速度。假如光的频率太小的话～那么它无法使得电子越过逸出功～不论光强有多大。照射时间有多长～都不会发生光电效应,而入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射.

原子结构

20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子

～像行星围绕太阳运转一样～围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。 首先～按照经典电磁学～这个模型不稳定。按照电磁学～电子不断地在它的运转过程中被加速～同时应该通过放射电磁波丧失其能量～这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱～由一系列离散的发射线组成～比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列,莱曼系,、一个可见光系列,巴耳麦系,和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。

1913年～尼尔斯〃玻尔提出了以他命名的玻尔模型～这个模型为原子结构和光谱线～给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量的轨道上运转。En

假如一个电子～从一个能量比较高的轨道,E,～跃到一个能量比较低的轨道,E,nm上时～它发射的光的频率为

通过吸收同样频率的光子～可以从低能的轨道～跃到高能的轨道上。

玻尔模型可以解释氢原子～改善的玻尔模型～还可以解释只有一个电子的离子～+2+3+即 He, Li, Be 等。但无法准确地解释其它原子的物理现象。 物质衍射

外村彰的衍射试验结果

1919年克林顿〃戴维森等人～首次成功地使用电子进行了衍射试验～路易〃德布罗意由此提出粒子拥有波性～其波长与其动量相关

。

简单起见这里不详细描写戴维森等人的试验～而是描写电子的双缝实验。通过这个试验～可以非常生动地体现出多种不同的量子力学现象。

右图显示了这个试验的结果:

, 打在屏幕上的电子是点状的～这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。

, 电子打在屏幕上的位臵～有一定的分布概率～随时间可以看出双缝衍射所

特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话～所形成的图像是单缝特有

的波的分布概率。

在图中的试验里～电子源的强度非常低,约每秒10颗电子,～因此电子之间的衍射可以被排除。显然电子同时通过了两个缝～与自己衍射导致了这个结果。对于经典物理学来说～这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看～电子的分布概率和衍射结果均可以通过 这两个通过两个栅的、叠加在一起的状态～简易地演算出来。这个试验非常明显地显示出了波粒二象性。 这个试验证实了薛定谔开发他的量子力学时所作的假设～即每个粒子也同时可以被一个波函数来描写～而这个波函数是多个不同状态的叠加。

数学基础

量子力学的数学基础是由埃尔温〃薛定谔～保罗〃狄拉克～帕斯库尔〃约当和约翰〃冯〃诺伊曼相继建立和严格化的。在这些数学框架下, 一个物理系统的量子力学描述有三个主要部分:量子态、可观察量和动力学,即其演化,. 此外物理对称性也是一个非常重要的特性。

历史

在1926年左右～出现了两种量子物理的理论～即海森堡～波恩和约当的矩阵力学和薛定谔的波动力学。1926年薛定谔第一个证明两者的等价性～虽然薛定谔的证明在数学上不够严谨。稍后狄拉克和约当给出了更为严谨的证明。但是他们的证明都使用了当时在数学上存在疑问的狄拉克delta函数。1927年冯〃诺依曼严格地证明了波动力学和矩阵力学的等价性。在这些证明过程中～尤其是冯〃诺依曼的证明～量子力学被构建在无穷维可分离的希尔伯特空间之中。冯〃诺依曼在其中引入勒贝格测度下的平方可积函数作为一组基。波动力学被视为量子力学在这一组基下的实现。1930年保罗〃狄拉克出版了他的著作《量子力学原理》,Principles of Quantum Mechanics,～这是整个科学史上的一个里程碑之作。狄拉克在书中引入了此后被广泛应用的左右矢记号和狄拉克delta函数。从而量子力学可以表示为不依赖特定基的形式。1936年～冯〃诺依曼和博克霍夫在研究量子力学的代数化方法的基础上发展了量子逻辑。量子逻辑中的格里森定理对量子力学测量问题有重要的意义。1948年左右～理查德〃费曼给出了量子力学的路径积分表述。

公设

非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下公设:

1. 一个物理系统于时间点 t 的状态可以由希尔伯特空间 中的一个归一

化矢量 来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可

积的线性矢量空间。

2. 每个可观测量 A 可以通过状态空间中的一个厄米算符 来表示～可观

测量 A 在状态 的期望值,即测量结果的平均值,为

。进一步的～对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成

希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该

算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上～对应的可观测量具

有唯一确定的测量值～即该本征态对应的本征值。对于任意的态～观测

量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的～测

量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。

3. 位臵算符和动量算符之间满足正则对易关系。由此对易关系可以确定动

量算符的表达式～而所有的其他算符都可以由位臵算符和动量算符表

出。由算符的对易式可导出不确定性原理:两个可观察量 和 之间

的不确定性为 。

4. 状态矢量 的动力学演化由薛定谔方程表示:

～在这里哈密顿算符 通

常对应于系统的总能量。

为了描写无法获得最多信息的量子状态物理学家创造了密度矩阵。密度矩阵包含了它所描写的系统通过测量可以获得的最多信息。

近年来数学家和物理学家才找到了一个非常广义的可观察量的数学描述～即广义量子测量,POVM,。这个理论在传统的教科书中基本上还未提到。完备正映射,completely positive maps,可以非常广泛、而且在数学上非常优美地描写量子系统的运算。这个新的描写方法扩展了上面所叙述的传统的诺伊曼方法～而且还可以描写上述方法无法描写的现象～比如持续性的不确定性的测量等等。 量子态

主条目:量子态

在经典力学中～一个拥有 f 自由度的物理系统及其随时间的发展～可以通过 f 对正则坐标 完全决定。在量子力学中～两个相互共轭的可观察量～从原则上～就无法无限精确地被测量。因此～如何相应有意义地～定义一个量子物理学的系统～是一个非常基本的问题。在量子力学中～一个物理系统仅通过同时可以被测量的可观察量来定义～是它与经典力学最主要的区别。只有通过彻底地使用这样的状态定义～才能够理论性地描写许多量子物理现象。 在量子力学中～一个物理状态 由最多 个同时可以被测量的可观察量定义。这些同时可以被测量的可观察量～称为相容可观察量。在测量时～一个可观察量～可以拥有一定的值。可能获得的测量值 n ～被称为可观察量的本征值。根据系统的不同～它可以是离散的～也可以是连续的。属于这些本征值的状态～被称为该可观察量的本征态。由于上面的定义中的可观察量～是相容的～因此它们互相之间不影响。通过使用适当的过滤～一个已知的量子物理系统～可以被预备到一个一定的状态。以上相容可观察量的本征态为

这样的状态常被称为“纯量子状态”。

值得注意的是不像经典系统那样～这样的量子状态中～并非所有可测量的特性均被确定。对于与上述相容可观察量不相容的物理量的本征值～只能给出获得一定测量值的概率～但是每个测量值肯定是其可观察量的本征值。这个原则性的不确定性～是从前面所提到的不确定性原理来的。它是量子力学最重要的结论～同时也是许多人反对量子力学的原因。

对于一个现有的量子物理学系统来说～一个可观察量的本征值～所构成的本征状态～组成一个线性的状态空间 。从数学的角度来看这个空间是一个希尔伯特空间。这个状态空间～表示了所有这个系统所可能拥有的状态。因此～即使是非常简单的量子力学系统～比如一个由量子谐振子组成的系统～它的状态空间就已经有无限多个维了。非常重要的是多个状态的线性组合～也是该状态空间的一部分～即使这个线性组合～不是可观察量的本征态。

这个现象被称为多个状态的叠加。比较直观地～这就好像一个平面内的两个矢量的和～依然是该平面内的一个矢量。

最简单的一个这样叠加的二态系统的例子是一个量子位元,或称量子比特,。 动力学演

化

量子态的动力学有不同的模型,也被称为“绘景”,来表示。通过重新定义算符和状态这些不同的模型可以互相转换～它们实际上是等价的。 薛定谔绘景对一个系统的动力学是这样描述的:一个状态由一个可导的、以时间 t 为参量的、希尔伯特状态空间上的函数定义。假如 是对一个时间点 t 的状态描述的话～那么以下的薛定谔方程成立:

这里～H 是哈密顿算符～相当于整个系统的总能量的可观察量～是一个紧凑地定义的、自伴算符～i 是虚数单位～ 是普朗克常数。

在海森堡绘景～状态本身不随时间变化～但是可观察量的算符随时间变化。随时间变化的海森堡运算符由以下微分方程定义:

通过数学演化～可以证明～假如可观察量 A 在薛定谔绘景中～不随时间变化的话～通过薛定谔绘景和海森堡绘景获得的 A 的期望值是相同的。 在相互作用绘景中～状态和算符均可随时间变化。但是～状态和算符的哈密顿算符不同。尤其在状态随时间的变化～有精确的解的情况下～这个绘景非常有用。在这个情况下～所有的数学计算～全部规限于

算符的时间变化上了。因此～对于状态的哈密顿算符被称为“自由哈密顿算符”～对可观察量的哈密顿算符被称为“相互作用哈密顿算符”。动力学的发展可以由以下两个公式来描写:

海森堡绘景最类似于经典力学的模型～从教育学的观点来看薛定谔绘景最容易理解。互相作用绘景常被用在摄动理论中,尤其是在量子场论中,。 有些波函数形成不随时间变化的概率分布。许多在经典力学中随时间动态变化的过程～在量子力学中形成这样的“定态波函数”。比如说～原子中的一颗电子～在其最低状态下～在经典力学中～由一个围绕原子核的圆形轨道来描写～而在量子力学中则由一个静态的、围绕原子核的球状波函数来描写。 薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程～只有在少数情况下～这些方程才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了。但是～实际上～有许多不同的技术来求得近似解。一个例子是摄动理论～它使用已知的简单的模型系统的解来计算更复杂的模型。尤其在复杂模型中的相互作用～可以被看作是对简单模型的“小”干扰时～这个技术特别有效。另一个技术是所谓的半经典近似～它尤其适用于量子效应比较小的系统中。 另一个计算量子力学系统的方法是理查德〃费曼的费曼图积分的方法。在这个技术中～一个量子力学系统的状态值～等于这个系统从一个状态过渡到另一个状态的所有可能的路径的可能性的和。

一个具体例子

在这里以一个自由粒子为例。一个自由粒子的量子态～可以被一个任意在空间分布的

波函数来表示。位臵和动量是该粒子的可观察量。位臵的本征态之一～是一个在一个特定的位臵 x ～拥有一个巨大的值～在所有其它位臵的值为 0 的波函数。在这个情况下～进行一次位臵测量的话～可以确定 100% 的可能性～该粒子位于 。与此同时～其动量的本征态是一个x

平面波。事实上～该平面波的波长为 / ～在这里 是普朗克常数～而 是hphp该本征态的动量。

一般来说～一个系统不会处于其任何一个可观察量的本征态上～但是假如我们测量一个可观察量的话～其波函数就会立刻处于该可观察量的本征态上。这个过程被称为波函数塌缩。假如～我们知道测量前的波函数是怎样的话～我们可以计算出它塌缩到不同本征态的机率。比如一般来说～上述自由粒子的波函数是一个波包～这个波函数分布于一个平均位臵 x 周围。它既不是位臵～也不是动量的本0

征态。但假如我们测量这个粒子的位臵的话～我们无法精确地预言测量结果～我们只能给出测量结果的可能性。可能我们测量到的位臵在 x 附近～因为这里的0

可能性最高。测量后该粒子的波函数倒塌到了一个位于测量结果 x 的位臵本征态。

使用薛定谔方程～来计算上述自由粒子～获得的结果～可以看出该波包的中心～以恒定的速度在空间运动～就像在经典力学中～一个不受力的粒子一样。但是随着时间的发展～这个波包会越来越弥散～这说明其位臵测量会越来越不精确。这也说明～随着时间的发展～本来非常明确的位臵本征态会不断弥散～而这个弥散的波包就已经不再是位臵的本征

态了。

物理意义

基础

测量过程

量子力学与经典力学的一个主要区别～在于测量过程在理论中的地位。在经典力学中～一个物理系统的位臵和动量～可以无限精确地被确定和被预言。至少在理论上～测量对这个系统本身～并没有任何影响～并可以无限精确地进行。在量子力学中～测量过程本身对系统造成影响。 要描写一个可观察量的测量～需要将一个系统的状态～线性分解为该可观察量的一组本征态的线性组合。测量过程可以看作是在这些本征态上的一个投影～测量结果是对应于被投影的本征态的本征值。假如～对这个系统的无限多个拷贝～每一个拷贝都进行一次测量的话～我们可以获得所有可能的测量值的机率分布～每个值的机率等于对应的本征态的系数的绝对值平方。

由此可见～对于两个不同的物理量 A 和 B 的测量顺序～可能直接影响其测量结果。事实上～不相容可观察量就是这样的～即 。

不确定性原理

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最著名的不相容可观察量～是一个粒子的位臵 x 和动量 p 。它们的不确定性 Δx 和 Δp 的乘积～大于或等于普朗克常数的一半:

这个公式被称为不确定性原理。它是由海森堡首先提出的。不确定的原因是位臵和动量的测量顺序～直接影响到其测量值～也就是说其测量顺序的交换～直接会[1]影响其测量值。

海森堡由此得出结论～认为不确定性是由于测量过程的导致的～至于粒子的特性是否真的不确定还未知。玻尔则将不确定性看作是物理系统的一个原理。今天的物理学见解基本上接受了玻尔的解释。不过～在今天的理论中～不确定性不是单一粒子的属性～而是一个系综相同的粒子的属性。这可以视为一个统计问题。不确定性是整个系综的不确定性。也就是说～对于整个系综来说～其总的位臵的不确定性 Δx 和总的动量的不确定性 Δp ～不能小于一个特定的值:

机率

通过将一个状态分解为可观察量本征态 的线性组合～可以得到状态在每一

2个本征态的机率幅 c 。这机率幅的绝对值平方 | c | 就是测量到该本征值 n iii的概率～这也是该系统处于本征态 的概率。c 可以通过将 投影到各本i

征态 上计算出来:

因此～对于一个系综的完全相同系统的某一可观察量～进行同样地测量～一般获得的结果是不同的,除非～该系统已经处于该可观察量的本征态上了。通过对系综内～每一个同一状态的系统～进行同样的测量～可以获得测量值 n 的统计分i布。所有试验～都面临着这个测量值与量子力学的统计计算的问题。

同样粒子的不可区分性和泡利原理

由于从原则上～无法彻底确定一个量子物理系统的状态～因此在量子力学中内在特性,比如质量、电荷等,完全相同的粒子之间的区分～失去了其意义。在经典力学中～每个粒子的位臵和动量～全部是完全可知的～它们的轨迹可以被预言。通过一个测量～可以确定每一个粒子。在量子力学中～每个粒子的位臵和动量是由波函数表达～因此～当几个粒子的波函数互相重叠时～给每个粒子“挂上一个标签”的做法失去了其意义。

这个全同粒子 (identical particles) 的不可区分性～对状态的对称性～以及多粒子系统的统计力学～有深远的影响。比如说～一个由全同粒子组成的多粒子系统的状态～在交换两个粒子“1”和粒子“2”时～我们可以证明～不是对称的

～就是反对称的 。对称状态的粒子被称为玻色子～反对称状态的粒子被称为费米子。此外自旋的对换也形成对称:自旋为半数的粒子,如电子、质子和中子,是反对称的～因此是费米子,自旋为整数的粒子,如光子,是对称的～因此是玻色子。

这个深奥的粒子的自旋、对称和统计学之间关系～只有通过相对论量子场论才能导出～但它也影响到了非相对论量子力学中的现象。费米子的反对称性的一个结果是泡利不相容原理～即两个费米子无法占据同一状态。这个原理拥有极大的实用意义。它表示在我们的由原子组成的物质世界里～电子无法同时占据同一状态～因此在最低状态被占据后～下一个电子必须占据次低的状态～直到所有的状态均被满足为止。这个现象决定了物质的物理和化学特性。

费米子与玻色子的状态的热分布也相差很大:玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计～而费米子则遵循费米-狄拉克统计。

量子纠缠

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往往一个由多个粒子组成的系统的状态～无法被分离为其组成的单个粒子的状态～在这种情况下～单个粒子的状态被称为是纠缠的。纠缠的粒子有惊人的特性～这些特性违背一般的直觉。比如说～对一个粒子的测量～可以导致整个系统的波泡利刻塌缩～因此也影响到另一个、遥远的、与被测量的粒子纠缠的粒子。这个现象并不违背狭义相对论～因为在量子力学的层面上～在测量粒子前～你不能定义它们～实际上它们仍是一个整体。不过在测量它们之后～它们就会脱离量子纠缠的状态。

量子退相干

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作为一个基本理论～量子力学原则上～应该适用于任何大小的物理系统～也就是说不仅限于微观系统～那么～它应该提供一个过渡到宏观“经典”物理的方法。量子现象的存在提出了一个问题～即怎样从量子力学的观点～解释宏观系统的经典现象。尤其无法直接看出的是～量子力学中的叠加状态～如何应用到宏观世界上来。19年～爱因斯坦在给马克斯〃波恩的信中～就提出了怎样从量子力学的角度～来解释宏观物体的定位的问题～他指出仅仅量子力学现象太“小”无法解释这个问题。

这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔的猫的思想实验。 直到1970年左右～人们才开始真正领会到～上述的思想实验～实际上并不实际～因为它们忽略了不可避免的与周围环境的相互作用。事实证明～叠加状态非常容易受周围环境的影响。比如说～在双缝实验中～电子或光子与空气分子的碰撞或者发射辐射～就可以影响到对形成衍射非常关键的各个状态 之间的相位的关系。在量子力学中这个现象～被称为量子退相干。它是

由系统状态与周围环境影响的相互作用导致的。这个相互作用可以表达为每个系统状态 与环境状态 的纠缠。其结果是只有在考虑整个系统时,即实验系统+环境系统,叠加才有效～而假如孤立地只考虑实验系统的系统状态 的话～那么就只剩下这

个系统的“经典”分布[2][2] 量子退相干时间,秒,了。

自由电子 10微米的尘埃 保龄球

-12-18-26右表列出了不同物体和300K～标准气压 10 10 10

-4-12环境里～量子退相干的300K～高真空 10 10 10 速度。显然即使在非常9-10-18阳光,地球表面, 10 10 10 弱的环境影响下～一个7-12-20热辐射,300K, 10 10 10 宏观物体也已经在极短9-7-18宇宙微波辐射,2.73K, 10 10 10 的时间里退相干了。

在上面的这个叙述中～有一个内在的假设～即退相干后的系统～自然地是我们所熟悉的经典系统。但是～这个假设并不是那么理所当然。比如说～退相干后的宏观系统～一般是我们所熟悉的位臵状态明确的状态～而微观系统则往往退相干为位臵状态不明确的状态,比如能量特征状态,～这是为什么呢,这个问题的答案也来自周围环境对系统的影响。事实上～只有不被退相干过程直接摧毁的状态～[2][3]才提供一个坚固的、退相干后的可观察量。

[3]量子退相干是今天量子力学解释宏观量子系统的经典性质的主要方式。 对于量子

计算机来说～量子退相干也有实际意义。在一台量子计算机中～需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。退相干时间短是一个非常大的技术问题。

应用

在许多现代技术装备中～量子物理学的效应起了重要的作用。从激光、电子显微镜、原子钟到核磁共振的医学图像显示装臵～都关键地依靠了量子力学的原理和效应。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明～最后为现代的电子工业铺平了道路。在核武器的发明过程中～量子力学的概念也起了一个关键的作用。 在上述这些发明创造中～量子力学的概念和数学描述～往往很少直接起了一个作用～而是固体物理学、化学、材料科学或者核物理学的概念和规则～起了主要作用～但是～在所有这些学科中～量子力学均是其基础～这些学科的基本理论～全部是建立在量子力学之上的。

以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用～而且～这些列出的例子～肯定也非常不完全。实际上～在现代的技术中～量子力学无处不在。 原子物理和化学

任何物质的化学特性～均是由其原子和分子的电子结构所决定的。通过解析包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程～可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中～人们认识到～要计算这样的方程实在太复杂～而且在许多情况下～只要使用简化的模型和规则～就足以确定物质的化学特性了。在建立这样的简化的模型中～量子力学起了一个非常重要的作用。

一个在化学中非常常用的模型是原子轨道。在这个模型中～分子的电子的多粒子状态

～通过将每个原子的电子单粒子状态加到一起形成。这个模型包含着许多不同的近似,比如忽略电子之间的排斥力、电子运动与原子核运动脱离等等,～但是它可以近似地、准确地描写原子的能级。除比较简单的计算过程外～这个模型还可以直觉地给出电子排布以及轨道的图像描述。

通过原子轨道～人们可以使用非常简单的原则,洪德定则,来区分电子排布。化

幻数,也很容易从这个量子力学模型中推导出来。 学稳定性的规则,八隅律、

通过将数个原子轨道加在一起～可以将这个模型扩展为分子轨道。由于分子一般不是球对称的～因此这个计算要比原子轨道要复杂得多。理论化学中的分支～量子化学和计算机化学～专门使用近似的薛定谔方程～来计算复杂的分子的结构及其化学特性的学科。

原子核物理学

原子核物理学是研究原子核性质的物理学分支。它主要有三大领域:研究各类次原子粒子与它们之间的关系、分类与分析原子核的结构、带动相应的核子技术进展。

重要主题

, 放射性衰变

, 核反应

o 核裂变

o 核聚变

, 原子核模型

o 液滴模型

o 壳层模型

o 集体模型

固体物理学

主条目:固体物理学

为什么金刚石硬、脆和透明～而同样由碳组成的石墨却软而不透明,为什么金属导热、导电～有金属光泽,发光二极管、二极管和三极管的工作原理是什么,铁为什么有铁磁性,超导的原理是什么,

以上这些例子～可以使人想象出固体物理有多么多样性。事实上～凝聚态物理学是物理学中最大的分支～而所有凝聚态物理学中的现象～从微观角度上～都只有通过量子力学～才能正确地被解释。使用经典物理～顶多只能从表面上和现象上～提出一部分的解释。

以下列出了一些量子效应特别强的现象:

, 晶格现象:音子、热传导

, 静电现象:压电效应

, 电导:绝缘体、导体、半导体、电导、能带结构、近藤效应、量子霍尔效

应、超导现象

, 磁性:铁磁性

, 低温态:玻色-爱因斯坦凝聚、超流体、费米子凝聚态

, 维效应:量子线、量子点

量子信息学

目前研究的焦点在于一个可靠的、处理量子状态的方法。由于量子状态可以叠加的特性。理论上～量子计算机可以高度平行运算。它可以应用在密码学中。理论上～量子密码术可以产生完全可靠的密码。但是～实际上～目前这个技术还非常不可靠。另一个当前的研究项目～是将量子状态传送到远处的量子传送。 与其它物理理论的关系

与经典物理的界限

1923年～尼尔斯〃玻尔提出了对应原理～认为量子数,尤其是粒子数,高到一定的极限后的量子系统～可以很精确地被经典理论描述。这个原理的背景是～事

实上～许多宏观系统～可以非常精确地被经典理论～如经典力学和电磁学来描写。因此一般认为在非常“大”的系统中～量子力学的特性～会逐渐退化到经典物理的特性～两者并不相抵触。

因此～对应原理是建立一个有效的量子力学模型的重要辅助工具。量子力学的数学基础是非常广泛的～它仅要求状态空间是希尔伯特空间～其可观察量是线性的算符。但是～它并没有规定在实际情况下～哪一种希尔伯特空间、哪些算符应该被选择。因此～在实际情况下～必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言～在越来越大的系统中～逐渐近似经典理论的预言。这个大系统的极限～被称为“经典极限”或者“对应极限”。因此可以使用启发法的手段～来建立一个量子力学的模型～而这个模型的极限～就是相应的经典物理学的模型。

与相对论的结合

量子力学发展初期动力学理论与相对论并不相容。比如说～在使用量子谐振子模型的时候～特别使用了一个非相对论的谐振子。但这并不是因为早期的物理学家们忽视了相对论。实际上薛定谔得到的第一个波动方程正是相对论协变形式的克莱因-高登方程。但由于解释不了当时的实验光谱结果～薛定谔被迫放弃协变形式的波动方程。究其原因在于初期人们拘泥于相对论量子力学的协变形式～而未能理解相对论以洛仑兹群表示的形式与量

子力学结合。随后发展的量子场论方法才将这个问题解决。

早期的将量子力学与狭义相对论联系到一起的试图～包括使用相应的克莱因-高登方程～或者狄拉克方程～来取代薛定谔方程。这些方程虽然在描写许多现象时已经很成功～但它们还有缺陷～尤其是它们无法描写相对论状态下～粒子的产生和消灭。通过量子场论的发展产生了真正的相对论量子理论。量子场论不但将可观察量如能量或者动量量子化了～而且将媒介相互作用的场量子化了。第一个完整的量子场论是量子电动力学～它可以完整地描写电磁相互作用。 一般在描写电磁系统时～不需要完整的量子场论。一个比较简单的模型～是将带电荷的粒子～当作一个处于经典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的一开始～就已经被使用了。比如说～氢原子的电子状态～可以近似地使用经典的 1 / r 电压场来计算。这就是所谓的半经典方法。但是～在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下～,比如带电粒子发射一颗光子,这个近似方法就失效了。

强相互作用和弱相互作用

强相互作用的量子场论是量子色动力学～这个理论描述原子核所组成的粒子,夸克和胶子,之间的相互作用。弱相互作用与电磁相互作用结合在电弱相互作用中。 万有引力

试图描写引力的量子模型被称为量子引力。人们推测～承载引力相互作用的基本粒子应该自旋为2～被称为引力子。然而至今为止～万有引力仍无法使用量子的相互作用模型来描述。作为一级近似～人们发展了弯曲时空的量子场论。考虑强引力场引起的粒子产生消灭的理论被称为半经典引力。在强引力场比如黑洞附近～或者将整个宇宙作为整体来看的话～量子力学可能遇到了其适用边界。目前使用量子力学～或者使用广义相对论～均无

法解释～一个粒子到达黑洞的奇点时的物理状况。广义相对论预言～该粒子会被压缩到密度无限大,而量子力学则预言～由于粒子的位臵无法被确定～因此～它无法达到密度无限大～而可以逃离黑洞。因此 20 世纪最重要的两个新的物理理论～量子力学和广义相对论互相矛盾。 寻求解决这个矛盾的答案～是目前理论物理学的一个重要目标,量子引力,。但是至今为止～找到引力的量子理论的问题～显然非常困难。虽然～一些亚经典的近似理论有所成就～比如对霍金辐射的预言～但是至今为止～无法找到一个整体的量子引力的理论。目前～这个方面的研究包括回圈量子引力、弦理论及M理论等。

解释和哲学观点

量子力学可以算作是被验证的最严密的物理理论之一了。至今为止～所有的实验数据均无法推翻量子力学。大多数物理学家认为～它“几乎”在所有情况下～正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此～量子力学中～依然存在着概念上的弱点和缺陷～除上述的万有引力的量子理论的缺乏外～至今为止对量子力学的解释存在着争议。

解释

物理学中未解决的问题: 哪一种量子力学的诠释最为正确,量子理论对于实际自然的描述～包括量子态叠加、波函数坍缩、量子退相干等等～怎样解释作实验观测到的实际自然,

假如～量子力学的数学模型～是它的适用范围内的完整的物理现象的描写的话～那么

～我们发现测量过程中～每次测量结果的机率性的意义～与经典统计理论中的机率～意义不同。即使完全相同的系统的测量值～也会是随机的。这与经典的统计力学中的机率结果不一样。在经典的统计力学中～测量结果的不同～是由于实验者无法完全复制一个系统～而不是因为测量仪器无法精确地进行测量。在量子力学的标准解释中～测量的随机性是基本性的～是由量子力学的理论基础获得的。由于量子力学尽管无法预言单一实验的结果～依然是一个完整的自然的描写～使得人们不得不得出以下结论:世界上不存在通过单一测量可以获得的客观的系统特性。一个量子力学状态的客观特性～只有在描写其整组实验所体现出的统计分布中～才能获得。

爱因斯坦,“量子力学不完整”～“上帝不掷骰子”,与尼尔斯〃玻尔是最早对这个问题进行争论的。玻尔维护不确定原理和互补原理。在多年的、激烈的讨论中～爱因斯坦不得不接受不确定原理～而玻尔则削弱了他的互补原理～这最后导致了今天的哥本哈根诠释。

今天～大多数物理学家～接受了量子力学描述所有一个系统可知的特性～以及测量过程无法改善～不是因为我们的技术问题所导致的的见解。这个解释的一个结果是～测量过程打扰薛定谔方程～使得一个系统塌缩到它的本征态。除哥本哈根诠释外～还有人提出过一些其它解释方式。其中比较有影响的有:

, 戴维〃玻姆提出了一个不局部的～带有隐变量的理论,隐变量理论,。在

这个解释中～波函数被理解为粒子的一个引波。从结果上～这个理论预

言的实验结果～与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样～因此～使用

实验手段无法鉴别这两个解释。虽然～这个理论的预言是决定性的～但

是～由于不确定原理无法推测出隐变量的精确状态。其结果是与哥本哈

根诠释一样～使用这来解释实验的结果～也是一个概率性的结果。至今

为止～还不能确定这个解释～是否能够扩展到相对论量子力学上去。路

易〃德布罗意和其他人也提出过类似的隐藏系数解释。

, 休〃艾弗雷特三世提出的多世界诠释认为～所有量子理论所做出的可能性

的预言～全部同时实现～这些现实成为互相之间一般无关的平行宇宙。

在这个诠释中～总的波函数不塌缩～它的发展是决定性的。但是由于我

们作为观察者～无法同时在所有的平行宇宙中存在～因此～我们只观察

到在我们的宇宙中的测量值～而在其它宇宙中的平行～我们则观察到他

们的宇宙中的测量值。这个诠释不需要对测量的特殊的对待。薛定谔方

程在这个理论中所描写的也是所有平行宇宙的总和。

, 另一个解释方向是将经典逻辑改成一个量子逻辑来排除解释的困难。 以下列举了对量子力学的解释～最重要的实验和思想实验:

, 爱因斯坦-波多斯基-罗森悖论以及相关的贝尔不等式～明显地显示了～量

子力学理论无法使用“局部”隐变量来解释,但是～不排除非局部隐藏

系数的可能性。在1982年阿斯派克特实验及之后的一系列有关“EPR佯

谬”的实验中～“贝尔不等式”被突破～使得隐变量理论前途暗淡。

, 双缝实验是一个非常重要的量子力学试验～由托马斯〃杨作出～从这个试

验中～也可以看到量子力学的测量问题和解释的困难性～这是最简单而

明显地显示波粒二象性的试验了。

, 薛定谔的猫薛定谔于1935年提出的悖论～使得量子叠加态的现象从微观

拓展到宏观。通过一只处在“生——死叠加状态”的猫来表达对“哥本

哈根诠释”的怀疑。

哲学问题

量子力学的许多解释～涉及到一般的哲学问题～这些问题又涉及到本体论、认识论和科学哲学的基本概念和理论。以下为一些这些问题:

, 决定论:自然是偶然的还是自然规律是严格决定性的, , 局部性/可分离性:所有的相互作用都是局部性的还是有远程相互作用, , 因果

, 现实

, 完全性:存在一个万有理论吗,

重要主题

, 波粒二象性 , 角动量理论 , 相对论性量子力学

, 密度矩阵、量子, 量子场论 , 不确定关系

统计 , 矩阵力学、波动力学、, 薛定谔方程 , 量子测量 路径积分 , 量子态、态矢量、, 量子缠结 , 决定论

波函数 , 量子脱散 , 因果律 , 算符、本征态、本, 二次量子化 , 自由意志

征值 , 量子多体问题

, 微扰理论 (量子力

学)

, 量子散射

, 全同粒子

埃尔温〃鲁道夫〃约瑟夫〃亚历山大〃薛定谔,Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger～1887年8月12日,1961年1月4日,～又译薛丁格～生于维也纳埃德伯格,Wien Erdberg,～卒于维也纳。奥地利理论物理学家～量子力学的奠基人之一。1933年和英国物理学家狄拉克共同获得了诺贝尔物理学奖～被称为量子物理学之父。

他的父亲鲁道夫〃薛定谔是生产油布和防水布的工厂主同时也是一名园艺家。她的母亲格鲁吉亚娜〃艾米莉〃布兰达是维也纳高等技术大学的教授亚历山大〃鲍尔的女儿。

生平

早年薛定谔1887年出生在奥地利维也纳附近的埃德伯格～18年进入了文理高中～从1906年至1910年在维也纳大学学习物理与数学并在1910年取得博士学位。此后在维也纳物理研究所工作～他当时的同事包括弗兰茨〃瑟拉芬〃埃克斯纳,Franz Serafin Exner,～弗雷德里希〃哈瑟诺尔,Friedrich Hasenöhrl,和柯劳什,Kohlrausch,。在大学期间薛定谔还同园艺家弗朗茨〃弗利摩尔,Franz Frimmel,保持了很深密的友谊。他的母亲

血统是一半奥地利和一半英国～英国的一方是来自利明顿。薛定谔几乎是在同一个时间学习英语和德语～因为他的父母二人都在家讲这两种语言。他的父亲是一位天主教的信徒～而母亲是一位路德教派的信徒。在1911年薛定谔成为埃克斯纳的助理。在薛定谔幼年时期～他深受叔本华的影响～因此～他广泛阅读叔本华的作品～他的一生对色彩理论、哲学、东方宗教深感兴趣。特别是印度教。中年薛定谔在1914年至1918年参加了第一次世界大战。此后在耶拿大学、斯图加特大学、布雷斯劳大学和苏黎世大学教书。特别是在苏黎世大学他所担任的理论物理学的教授以前曾由爱因斯坦和马克思〃冯〃劳恩担任过。在这里他提出了著名的薛定谔方程～创立了波动力学学说用以来描述量子力学。

1920年4月6日他同安娜玛丽〃贝特尔,Annemarie Bertel,结婚。在同一年～薛定谔在耶拿成为马克思维也纳的助理～并在1920年9月他获得了AO的地位。1921年～在布雷斯劳(今弗罗次瓦夫他成为O.教授( Ordenticher教授～即全教授)。 1921年～他搬到了苏黎世大学。1926年一月～薛定谔发表在Annalen DER Physik 公司的文件“Quantisierung ALS Eigenwertproblem ”做为量化特征值问题～也就是和波动力学以及现在所知的薛定谔方程有关的问题。在本文中～他发表了衍生的波动方程是时间的系统～并表明它给了正确的能量的特征值得类氢原子。本文在二十世纪被认为最重要成就～创造出量子力学的。第二个文件在四个星期后就交出～并给出了一个新的推导薛定谔方程。在五月的第三个文件显示～他的做法等同于该海森柏格～并给了斯达格效应。第四个文件在这个最显著的系列中说明了如何处理问题～该系统随时间而有所变化～如:散射问题。这些文件在物理界被公认为意义重大～对他的职业生涯和成就具有重大的意义。1927年薛定谔迁往柏林～接替马克斯〃普朗克在洪堡大学担任理论物理学教授～并成为了普鲁士科学院院士。在那里他感受到了自由进行科学研究的浓厚气氛。当时在柏林汇聚了世界顶尖的物理学家～比如他的同事维克托〃维斯科普夫。在纳粹党1933年夺取

政权后～薛定谔决定离开德国移居英国牛津～在马格达伦学院担任访问学者～同年他获得了诺贝尔物理学奖。

1934年～薛定谔在普林斯顿大学讲学～校方希望能够聘请他～但薛定谔拒绝了。之后～他要前往爱丁堡大学当讲师～但签证延误～最后～1936年他只好在奥地利格拉次的大学授课。1938年薛定谔由于德奥并合而离开奥地利并迁往爱尔兰都柏林～在那里他于1940年建立了理论物理学院并一直担任主任。 除了量子力学之外～1944年著有“生命是什么,”,What is Life?,。发现DNA双螺旋的瓦森,James D. Watson,与克里克 ,Francis Crick,表示受薛定谔影响颇深。

1956年薛定谔返回维也纳～在维也纳大学理论物理研究所教学直到去世。当他

,举行的高校活动后～由于当地风景优美而决参加完在阿尔卑包赫村,Alpbach

定死后葬在此地。薛定谔因患肺结核在1961年1月4日病逝于维也纳～死后如愿被埋在了阿尔卑包赫村～他的墓碑上刻着以他命名的薛定谔方程。 成果与荣誉

1926年他提出著名的薛定谔方程～为量子力学奠定了坚实的基础。方程的提出只是稍晚于沃纳〃海森堡的矩阵力学学说～此方程至今仍被认为是绝对的标准～它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。这使薛定谔一举成名～他还在同年证明了自己的波动力学是与海森堡和玻恩的矩阵力学在数学上是等价的。 1937年被授予马克斯〃普朗克奖章。

1944年薛定谔出版了《生命是什么》～此书中提出了负熵,Negentropie,的概念。他自己发展了分子生物学～想通过用物理的语言来描述生物学中的课题。他还发表了许多的

科普论文～它们至今仍然是进入到广义相对论和统计力学的世界的最好向导。

最著名的思想实验是薛定谔的猫～在这个试验中他把量子力学中的反直观的效果转嫁到日常生活中的事物上来～并想以此来表达他对想要用一般的统计学说来解释量子物理的拒绝。

此外薛定谔还发表了50余本著作涉及到不同的题目～还进行了统一的语义场论的努力。

逸闻

杨振宁曾表示～他不曾当面见过薛定谔～据说薛定谔有很多～且乐于让人知[1]道～此举不见容于普林斯顿。他有不少私生子。薛定谔赴英国牛津大学任教时～要求牛津大学聘任亚瑟〃马胥,Arthur March,为其助理～因为薛定谔爱上了马胥之妻希尔妲,Hilde,。希尔妲曾为薛定谔产下一女。薛定谔也和两名爱尔兰籍女子有私生子。他的妻子安妮也和薛定谔的朋友赫尔曼威尔,hermann weyl,有暧昧的关系。2001年11月～剧作家Matthew Wells的作品《薛定谔的女朋友》,Schrodinger's Girlfriends,在旧金山著名的Fort Mason Center首演。《薛

定谔的女朋友》说:“到底是波-粒子的二象性难一点呢～还是老婆-情人的二象性更难,”

参见

维基共享资源中相关的多媒体资源:

埃尔温〃薛定谔

, 薛定谔方程

, 薛定谔的猫

注释

1. ^ 杨振宁谈笑风生 细数二十世纪重要物理学家 、

维尔纳〃海森堡,Werner Heisenberg～1901年12月5日,1976年2月1日,～德国物理学家～量子力学的创始人之一～“哥本哈根学派”代表性人物～1932年获得了诺贝尔物理学奖。

他对物理学的主要贡献是给出了量子力学的矩阵形式,矩阵力学,～提出了“测不准原理”,又称“不确定性原理”,和S矩阵理论等。他的《量子论的物理学基础》是量子力学领域的一部经典著作。

生平

维尔纳〃海森堡1901年12月5日出生于德国维尔茨堡～1920年从慕尼黑的一所中学毕业后～在慕尼黑大学学习物理学～师从阿诺〃索末菲、威廉〃维恩等～1922年冬天转去哥廷根大学～师从马克斯〃玻恩,19年诺贝尔物理学奖,、詹姆斯〃弗兰克,1925年诺贝尔物理学奖,和大卫〃希尔伯特。1923年他在慕尼黑大学获得博士学位～并去哥廷根大学担任玻恩的助手～1924年获得大学任教资格。

从1924年至1927年～海森堡在哥廷根担任讲师。1924年9月17日至1925年5月1日～由于一项国际教育委员会洛克菲勒基金会奖学金的支持～海森堡与哥本哈根大学物理主任玻尔进行研究。之后他回到哥廷根和尼尔斯〃玻尔,1922年诺贝尔物理学奖,共事并共同发表了矩阵力学。1926年又前往哥本哈根大学教授理论物理学。1927年～发展了海森堡不确定性原理～为后来知名的哥本哈根诠释奠定了基础～于同年～年仅26岁的海森堡被任命为莱比锡大学的教授～他的第一篇论文发表于莱比锡。1929年～他又前往美国、日本和印度巡回讲学。1941年成为柏林洪堡大学的物理学教授和物理研究所主任。

第二次世界大战结束后～他和其他德国物理学家作为囚犯～被美国送往英国。1946年重返德国后～他和他的同事们重建了哥廷根物理研究所～该研究所在1948年改名为马克斯-普朗克物理学研究所。1948年他在英国剑桥讲学数月～1950年和19年又应邀前往美国讲学～1955年冬天他在苏格兰的圣安德鲁斯大学教书～这些课程后来出版成书。1955年作为马克斯-普朗克物理学研究所的主任～与研究所一起迁往慕尼黑～1958年成为慕尼黑大学的物理学教授～他的研究所被改名为“马克斯-普朗克物理学和天体物理学研究所”,现为马克斯-普朗克天体物理学研究所,。

海森堡爱好经典音乐～是个出色的钢琴手～1937年与伊丽莎白〃舒马赫,Elisabeth Schumacher,结婚～生有7个孩子～居住在慕尼黑。海森堡在1976年2月1日因癌症于家中逝世。

研究

海森堡的名字一直都和他的量子力学理论联系在一起～这一理论发表时他年仅23岁～他也因为提出这一理论及其应用,尤其是氢同位素的发现,～获得了1932年的诺贝尔物理学奖。

海森堡提出的新理论～是完全基于对原子辐射的观察～他认为～在某一个给定的时间点～一个电子所处的位臵是无法确定的～也无法跟踪它的轨迹～所以玻尔假定的电子轨道并不存在,诸如位臵、速度等力学量～无法用通常的数字来描述～但可以用抽象的数学结构即矩阵来表达～海森堡用矩阵形式给出了他的新理论,矩阵力学,。

此后～海森堡又提出了著名的“不确定性原理”,又称“海森堡测不准原理”,～在一个量子力学系统中～一个运动粒子的位臵和它的动量不可被同时确定～位臵的不确定性Δx和动量的不确定性Δp是不可避免的～它们的乘积不小于h / 4

π,h为普朗克常数,～这些误差对于人类来说虽然是微小的～但是在原子研究中并不能被忽略。

在莱比锡期间～海森堡为原子核物理学做出了重要贡献～为基本粒子理论引入了内部对称量子数,1932年～1933年,～发展了一种铁磁性理论,1928年,～和沃尔夫冈〃泡利对

量子场论进行了开创性研究工作。海森堡和John Archibald

Wheeler同为S矩阵,1942年～1944年,之父～他很早就研究了量子场论的基本长度模型,1938年,。1940年代～他还研究了宇宙射线及其产生的离子碎片～导致不久后在英国发现了第一个介子。

1957年起～海森堡的研究兴趣转向了等离子体物理和高热原子核反应问题～并与日内瓦国际原子物理研究所紧密合作～他担任该研究所的科学委员会～并一直是该委员会的成员。在他于1953年成为洪堡基金会后～为基金会做了很多促进工作～他邀请各国科学家来德国～并协助他们在德国开展研究工作。

1953年起～他的理论工作偏向基本粒子的统一场论～这对于他来说～是理解基本粒子物理学的关键。

荣誉

除了获得马克斯〃普朗克奖章、德国联邦十字勋章等奖章～诺贝尔物理学奖等奖项外～海森堡还被布鲁塞尔大学、卡尔斯鲁厄大学和布达佩斯大学授予荣誉博士头衔。他是伦敦皇家学会的会员、以及哥廷根、巴伐利亚、萨克森、普鲁士、瑞典、罗马尼亚、挪威、西班牙、荷兰、罗马、美国等众多科学学会的成员～德国科学院和意大利科学院的院士。1953年成为洪堡基金会的。 参考资料

, Nobel Lectures, Physics 1922-1941, Elsevier Publishing Company,

Amsterdam, 1965.

, Werner Heisenberg - Biography. The Nobel Foundation. ,诺贝尔官

方网站关于维尔纳〃海森堡简介,

, Ivan Todorov: Werner Heisenberg. Institut für Theoretische Physik,

Universität Göttingen. Göttingen, Germany.

外部链结

, \"Remarks on the origin of the relations of uncertainty\" 全文翻译