第十一章稳恒电流的磁场(一)作业标准答案

第十一章 稳恒电流的磁场（一） 一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度

0Idlr毕奥—萨法尔定律：dB

4r3II1.有限长载流直导线的磁场B0(cos1cos2),无限长载流直导线B0

4a2aI 半无限长载流直导线B0,直导线延长线上B0

4a0IR20I0I2. 圆环电流的磁场B，圆环中心，圆弧中心 BB2(R2x2)322R2R2qqq电荷转动形成的电流：I

T22【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a通有相同电流I．如图若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为 (A) 1∶1 (B) 解法： 2∶1 (C) 2∶4 (D) 2∶8

Bo10I2a1,Bo240I4a22cos450cos1350220I,a2由Bo1Bo2,得a12a28 【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上

均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点的磁感强度B的大小为

(A)

0I2(ab)． (B)

0I2aln0IIabab．(C) 0ln． (D) ．

(a2b)b2bbIdr,a解法：

在距离P点为r处选取一个宽度为dr的电流元(相当于一根无限长的直导线)，电流为dI它在P处产生的dB0dI,方向垂直纸面向内；根据BdB,B的方向也垂直纸面向内，2r0dI0Ibadr0IabB的大小为：Bln2r2ar2abb 【 】自测提高2、通有电流I的无限长直导线有如图三种形状，则P，Q，O各点磁感

强度的大小BP，BQ，BO间的关系为 (A) BP > BQ > BO . (B) BQ > BP > BO． BQ > BO > BP． (D) BO > BQ > BP． 解法：

1

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根据直线电流的磁场公式B0I(coss2)和圆弧电流产生磁场公式1co4aB0IIII22)0(1) 可得 BP0、BQ20(14a22a22a22aBO20I0I0I(1) 4a4a2a2【 】自测提高7、边长为a的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷．此正

方形以角速度绕AC轴旋转时，在中心O点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以角速度绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感应强度的大小为B2，则B1与B2间的关系为 (A) B1 = B2． (B) B1 = 2B2． (C) B1 = 解法：

设正方形边长为a,AOOCb(式中b1B2． (D) B1 = B2 /4． 22a)， 2两种情况下正方形旋转时的角速度相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 Iq 2当正方形绕AC轴旋转时，一个点电荷在O点产生的磁感应强度的大小为B0I2b，实际上有两个点电荷同时绕AC旋转产生电流，在O点产生的总磁感应强度的大小为

B12B20I2b0Ib 同理，当正方形绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感应强度的大小为

B24B40I2b20I b故有B22B1 基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy轴放置，电流沿y正向．在原点O处

取一电流元Idl，则该电流元在(a，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向

为 。 解法：

0Idle0IdlIdlji0rk 根据毕奥-萨伐尔定律 B22244a4ar自测提高19、将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D

点的磁感强度B的大小。

解法：

其中3/4圆环在D处的场 B130I/(8a) AB段在D处的磁感强度 B2[0I/(4b)](

2

12) 2编号 ____________姓名 __________ 《大学物理Ⅱ》答题纸 第十一章 BC段在D处的磁感强度 B3[0I/(4b)](B1、B2、B3方向相同，可知D处总的B为

12) 2B0I342a(2) b基础训练23如图所示，半径为R，线电荷密度为 (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向． 解法：圆线圈的总电荷 q2R ,转动时等效的电流为

Iq2RR， T2/代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得

BBy0R32(R2y2)3/2

方向沿y轴正向。

二、利用安培环路定律求对称性分布的电流周围的磁场

安培环路定理：Bdl0Ii

1.无限长载流圆柱导体rR，B2.长直载流螺线管B0IIr。rRB02 2r2R0nI内 外0内外0NI3.环形载流螺线管B2r0

4.无限大载流导体薄板B0nI2，两块无限大载流导体薄板B两板外侧0

0nI两板之间【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a、b，电流在导体截面上

均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r的关系定性地如图所

示．正确的图是

解法：

0Ir2a2根据安培环路定理：当 ra 时B0 当bra时 B 2rb2a2当rb时 B0I且ra时B0和bra时，曲线斜率随着r增大。 2r 3

编号 ____________姓名 __________ 《大学物理Ⅱ》答题纸 第十一章 自测提高16、如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度0绕z轴转动，则沿着z轴从－∞到＋∞磁感强度的线积分等于____________________． 解法：

q0由安培环路定理 BdlBdl0I，而 I ，

200q故 Bdl

2π基础训练18、将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度

为h ( h << R)的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i，则管轴线磁感强度的大小是 （提示：填补法） 解法：

根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b、c的圆筒状导线组成，如图11-42所示。在两导线中有等值反向的电流I通过，求： (1) 内导体中任一点(r(3) 外导体中任一点(bc)的磁感应强度。 解法：

用安培环路定理Bdl0I求解。磁感应强度的方向与内LL内导线的电流成右手螺旋关系。其大小满足：

B2r0I （r为场点到轴线的距离）

L内B2r(1)ra: 0I2r,2aB0Ir 22a0I 2r(2)arb: B2r0I， B0Ic2r2(r2b2)B2r0(3)brc: I(c2b2)I B2rc2b2 (4)rc: B2r0，B0

三、磁通量的计算



dS，dmBdS，mdm

高斯定理：dm0

4

编号 ____________姓名 __________ 《大学物理Ⅱ》答题纸 第十一章

基础训练11、均匀磁场的磁感强度B与半径为r的圆形平面的法线n的

夹角为，今以圆周为边界，作一个半球面S，S与圆形平面组成封闭面如图11-31．则通过S面的磁通量 = 。（提示：填补法） 解法：

根据磁场的高斯定理，通过S面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量。

当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S面的磁通量为负值。

自测提高13、一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I．若作一个半径为R = 5a、高为l的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线

的轴平行且相距3a．则B在圆柱侧面S上的积分BdS_______．

S解法：

根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练22.、一无限长圆柱形铜导体(磁导率0)，半径为R，通有均匀分布的电流I．今取一矩形平面S (长为1 m，宽为2 R)，位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解法：

根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感应强度的大小为： 0IBr(rR)2 2R

因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为

1d1

在导体外

R00Il30Ilrdr8（详见同步辅导与复习自测例题12-3） 2R4B

穿过导体外矩形截面的磁通量为 2RIIl0 2BdSldr0ln2R2r2

故总的磁通量为

IlIl0ln20

28

附加题

自测提高26、 均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为，绕垂直于直线的轴O以角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)．如图11-43所示，求：

 O (1) O点的磁感强度B0； a  (2) 系统的磁矩pm；

b A 0I(rR)2r 5

图11-43

B 编号 ____________姓名 __________ 《大学物理Ⅱ》答题纸 第十一章 (3) 若a >> b，求B0及pm． 解法：

（1）将带电细杆分割为许多电荷元。在距离o点r处选取长为dr的电荷元，其带电

dqdr 该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：

dIdqdqdr T2/2它在O点产生的磁感应强度为

0dr,方向垂直于纸面向内。 2r4r根据B0dB0，B0的方向也是垂直于纸面向内，B0的大小为

dB0Boab0dIa0abdr0ln 4r4adr,方向垂直于纸面向内； 2（2） dq所等效的圆电流dI的磁矩为dpmSdIr2根据pmdpm，pm的方向也是垂直于纸面朝内，pm的大小为

pmabar2ab3a3 dr26 2（3）a>>b时，AB杆可近似看作点电荷：电量为b，等效的圆电流：Ib在o点产生的磁感应强度为

B0I2a0b 4ab2a2ba系统的磁矩 pmIS 22★★★★布置的作业中遗漏

（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩pm与电m)

解：设电子绕核运动的轨道半径为R，匀速圆周运动的速率为v。 核外电子绕核运动等效的圆电流为

子轨道运动的动量矩L大小之比，并指出和L方向间的关系．(电子电荷为e，电子质量为

I电流的磁矩

eev 2R2RvevevR R22R2PmIS电子轨道运动的动量矩

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编号 ____________姓名 __________ 《大学物理Ⅱ》答题纸 第十一章

LmvR

可见

Pme L2m两者的方向相反。

N

B（自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在． S证明：用反证法.

假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B．作 矩形有向闭合环路如图所示，其ab边在磁场内，其上各点的磁感强度为B，

cd边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：BdlBab0 L N 因 ab0．所以 B = 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．

B S a d b c 7