7年级-上册-数学-第1章《有理数》1.2 数轴

1.2数轴

【知识点-部分】要点一、数轴1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等；（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动。2、数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如。要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示；（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。要点二、相反数1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可。2、性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）；（2）互为相反数的两数和为0。要点三、多重符号的化简1、多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4。要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5；（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。【典型例题-精选部分】【例1】已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，如图所示。若点B到点C的距离是点A到点B的距离的2倍，则点C表示的数是。-1-【例2】若数轴上点A表示的数是－3，则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是。【例3】数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是。【例4】已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为。【例5】若a为正有理数，在－a与a之间(不含－a与a)有1997个整数，则a的取值范围是。若a为有理数，在－a与a之间(不含－a与a)有1997个整数，则a的取值范围是。【例6】如图，每相邻两点之间的距离都是1个单位长度．（1）如果点E与点K表示的数互为相反数，那么点T表示的数是什么？（2）如果点T与点A表示的数互为相反数，那么点S表示的数是什么？【例7】如图，数轴上A，B，C，D四点对应的数都是整数，若点A对应的数为a，点B对应的数为b，点C对应的数为c，且2c－3a＝11.问：数轴上的原点是A，B，C，D四点中的哪个点？-2-【例8】某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家。（1）如果把这条人民路看做一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出这三名同学的家与学校的大概位置(一个单位长度表示50米)；（2）聪聪家与刚刚家相距多远？（3）聪聪家向西200米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？【例9】已知在纸面上有一条数轴，折叠纸面。（1）若折叠后，数1对应的点与数－1对应的点重合，则此时数－2对应的点与数（2）若折叠后，数3对应的点与数－1对应的点重合，则此时数5对应的点与数对应的点重合；对应的点重合；若这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧)，则点A表示的数为，点B表示的数为。【例10】两个小朋友玩跳棋游戏，游戏规则如下：先画一条数轴，棋子落在数轴上的K0点，第一步从K0点向左跳1个单位长度到K1点，第二步从K1点向右跳2个单位长度到K2点，第三步从K2点向左跳3个单位长度到K3点，第四步从K3点向右跳4个单位长度到K4点．如此跳12步，棋子落在数轴上的K12点。若K12点表示的数是18，则K0点表示的数是多少？请列算式解决这个问题。-3-【例11】电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一步由k0向左跳1个单位长度到k1，第二步由k1向右跳2个单位长度到k2，第三步由k2向左跳3个单位长度到k3，第四步由k3向右跳4个单位长度到k4......按此规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是69.5，求电子跳蚤的初始位置点k0所表示的数。【例12】已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）互为相反数．2

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．-4-1.2数轴-参

【例1】设点C表示的数是x，由题意得x-3=2（3-1）解得x=7。【例2】1或－1【例3】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点。所以答案：2005或2004。【例4】－b＜-1＜0＜-a＜1【例5】；或【例6】【解】（1）∵数轴上的点E与点K表示的两个数互为相反数，[来源:学_科_网]∴E，K分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，∴点B为原点．∴点T表示的数为2.（2）∵点T与点A表示的数互为相反数，且点T与点A之间有3个单位长度，∴点T表示的数为1.5，∴点S表示的数为4.5.【例7】【解】由图可得c＝a＋4，∴2(a＋4)－3a＝11，∴2a＋8－3a＝11，∴a＝－3，∴点B为原点．【例8】（1）如图所示：（2）150＋200＝350(米)，即聪聪家与刚刚家相距350米。（3）体育场所在的点表示的数是－100。【例9】[答案]（1）2（2）－3－3.55.5（1）数1对应的点与数－1对应的点重合，则这两点关于原点对称，求出－2关于原点的对称点2；（2）若折叠后，数3对应的点与数－1对应的点重合，则这两点一定关于数1对应的点对称，即此时数5对应的点与数－3对应的点重合．若这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧)，则这两点到数1对应的点的距离均是4.5，即可得1＋4.5＝5.5或者1－4.5＝－3.5。【例10】由题意得，第一步、第二步后，从K0点向右跳动了1个单位长度，跳12步后，从K0点向右跳动了12÷2＝6(个)单位长度，则K0点表示的数是18－6＝12。【例11】由题意得：k2在k0的右侧第1个单位长度处，k4在k0的右侧第个单位长度处,故点k100在点k0的右侧50个单位长度处，故点k100表示的数减去k0点表示的数等于50，即69.5-k0表示的数为50，所表示的数为19.5。【例12】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）互为相反数，∴|a+8|+（b﹣16）=0，∴a+8=0，b﹣16=0，解得a=﹣8，b=16．∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）=24单位长度；（2）（24﹣8）÷（6+2）=16÷8=2（秒）．或（24+8）÷（6+2）=4（秒）答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；（3）∵PA+PB=AB=2，当P在CD之间时，PC+PD是定值4，t=4÷（6+2）=4÷8=0.5（秒），此时PA+PC+PB+PD=（PA+PB）+（PC+PD）=2+4=6（单位长度）．故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．-5-2

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