1.2数轴
【知识点-部分】要点一、数轴1、定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。要点诠释:(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;(2)长度单位与单位长度是不同的,单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段,而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等;(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定,但一经选定就不能改动。2、数轴与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理数,还可以表示其他数,比如。要点诠释:(1)一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示;(2)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。要点二、相反数1、定义:只有符号不同的两个数互为相反数;0的相反数是0。要点诠释:(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同;(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉;(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数;(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可。2、性质:(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称);(2)互为相反数的两数和为0。要点三、多重符号的化简1、多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4。要点诠释:(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5;(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。【典型例题-精选部分】【例1】已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧,点A,B表示的数分别是1,3,如图所示。若点B到点C的距离是点A到点B的距离的2倍,则点C表示的数是。-1-【例2】若数轴上点A表示的数是-3,则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是。【例3】数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是。【例4】已知-1<a<0<1<b,请按从小到大的顺序排列-1,-a,0,1,-b为。【例5】若a为正有理数,在-a与a之间(不含-a与a)有1997个整数,则a的取值范围是。若a为有理数,在-a与a之间(不含-a与a)有1997个整数,则a的取值范围是。【例6】如图,每相邻两点之间的距离都是1个单位长度.(1)如果点E与点K表示的数互为相反数,那么点T表示的数是什么?(2)如果点T与点A表示的数互为相反数,那么点S表示的数是什么?【例7】如图,数轴上A,B,C,D四点对应的数都是整数,若点A对应的数为a,点B对应的数为b,点C对应的数为c,且2c-3a=11.问:数轴上的原点是A,B,C,D四点中的哪个点?-2-【例8】某中学位于东西方向的人民路上,这天学校的王老师出校门去家访,她先向东走100米到聪聪家,再向西走150米到青青家,再向西走200米到刚刚家。(1)如果把这条人民路看做一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出这三名同学的家与学校的大概位置(一个单位长度表示50米);(2)聪聪家与刚刚家相距多远?(3)聪聪家向西200米是体育场,体育场所在的点表示的数是多少?【例9】已知在纸面上有一条数轴,折叠纸面。(1)若折叠后,数1对应的点与数-1对应的点重合,则此时数-2对应的点与数(2)若折叠后,数3对应的点与数-1对应的点重合,则此时数5对应的点与数对应的点重合;对应的点重合;若这样折叠后,数轴上有A,B两点也重合,且A,B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧),则点A表示的数为,点B表示的数为。【例10】两个小朋友玩跳棋游戏,游戏规则如下:先画一条数轴,棋子落在数轴上的K0点,第一步从K0点向左跳1个单位长度到K1点,第二步从K1点向右跳2个单位长度到K2点,第三步从K2点向左跳3个单位长度到K3点,第四步从K3点向右跳4个单位长度到K4点.如此跳12步,棋子落在数轴上的K12点。若K12点表示的数是18,则K0点表示的数是多少?请列算式解决这个问题。-3-【例11】电子跳蚤落在数轴上的某点k0处,第一步由k0向左跳1个单位长度到k1,第二步由k1向右跳2个单位长度到k2,第三步由k2向左跳3个单位长度到k3,第四步由k3向右跳4个单位长度到k4......按此规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是69.5,求电子跳蚤的初始位置点k0所表示的数。【例12】已知:在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车,快车长AB=2(单位长度),慢车长CD=4(单位长度),设正在行驶途中的某一时刻,如图,以两车之间的某点O为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车头A在数轴上表示的数是a,慢车头C在数轴上表示的数是b.若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶,且|a+8|与(b﹣16)互为相反数.2
(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?(2)从此时刻开始算起,问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度?(3)此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P,他发现行驶中有一段时间t秒钟,他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值(即PA+PC+PB+PD为定值).你认为学生P发现的这一结论是否正确?若正确,求出这个时间及定值;若不正确,请说明理由.-4-1.2数轴-参
【例1】设点C表示的数是x,由题意得x-3=2(3-1)解得x=7。【例2】1或-1【例3】若线段AB的端点与整数重合,则线段AB盖住2005个整点;若线段AB的端点不与整点重合,则线段AB盖住2004个整点。所以答案:2005或2004。【例4】-b<-1<0<-a<1【例5】;或【例6】【解】(1)∵数轴上的点E与点K表示的两个数互为相反数,[来源:学_科_网]∴E,K分别位于原点的两侧,且到原点的距离相等,∴点B为原点.∴点T表示的数为2.(2)∵点T与点A表示的数互为相反数,且点T与点A之间有3个单位长度,∴点T表示的数为1.5,∴点S表示的数为4.5.【例7】【解】由图可得c=a+4,∴2(a+4)-3a=11,∴2a+8-3a=11,∴a=-3,∴点B为原点.【例8】(1)如图所示:(2)150+200=350(米),即聪聪家与刚刚家相距350米。(3)体育场所在的点表示的数是-100。【例9】[答案](1)2(2)-3-3.55.5(1)数1对应的点与数-1对应的点重合,则这两点关于原点对称,求出-2关于原点的对称点2;(2)若折叠后,数3对应的点与数-1对应的点重合,则这两点一定关于数1对应的点对称,即此时数5对应的点与数-3对应的点重合.若这样折叠后,数轴上有A,B两点也重合,且A,B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧),则这两点到数1对应的点的距离均是4.5,即可得1+4.5=5.5或者1-4.5=-3.5。【例10】由题意得,第一步、第二步后,从K0点向右跳动了1个单位长度,跳12步后,从K0点向右跳动了12÷2=6(个)单位长度,则K0点表示的数是18-6=12。【例11】由题意得:k2在k0的右侧第1个单位长度处,k4在k0的右侧第个单位长度处,故点k100在点k0的右侧50个单位长度处,故点k100表示的数减去k0点表示的数等于50,即69.5-k0表示的数为50,所表示的数为19.5。【例12】解:(1)∵|a+8|与(b﹣16)互为相反数,∴|a+8|+(b﹣16)=0,∴a+8=0,b﹣16=0,解得a=﹣8,b=16.∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣(﹣8)=24单位长度;(2)(24﹣8)÷(6+2)=16÷8=2(秒).或(24+8)÷(6+2)=4(秒)答:再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度;(3)∵PA+PB=AB=2,当P在CD之间时,PC+PD是定值4,t=4÷(6+2)=4÷8=0.5(秒),此时PA+PC+PB+PD=(PA+PB)+(PC+PD)=2+4=6(单位长度).故这个时间是0.5秒,定值是6单位长度.-5-2
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