专题07 三角恒等变换与解三角形(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料 Word版含解析

和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．

1．和差角公式

(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ； (2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； tanα±tanβ

(3)tan(α±β)＝1∓tanαtanβ. 2．倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα；

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tanα

(3)tan2α＝. 1－tan2α3．半角公式 α(1)sin2＝±α(2)cos2＝±α(3)tan2＝±

1－cosα2； 1＋cosα2； 1－cosα

；

1＋cosα

1－cosααsinα

(4)tan2＝＝sinα. 1＋cosα4．正弦定理

abc＝＝sinAsinBsinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 5．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 6．面积公式

111

S△ABC＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC.

7．解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；

(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解； (4)已知三边，利用余弦定理求解．

8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.

考点一 三角函数概念，同角关系及诱导公式

例1、【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin【答案】1，cos()=___________. 37 9

π3

【变式探究】 (1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋4＝5，则



πθ－tan

4＝________.

πππ

解析：基本法：将θ－4转化为θ＋4－2. 

π3

由题意知sinθ＋4＝5，θ是第四象限角，所以





ππcosθ＋4>0，所以cosθ＋4＝







π4

1－sin2θ＋4＝5. 



1πππtanθ－4＝tanθ＋4－2＝－π tanθ＋4



4πcosθ＋454

＝－＝－＝－π33. sinθ＋45



4答案：－3 ππ

速解法：由题意知θ＋4为第一象限角，设θ＋4＝α， π

∴θ＝α－4，

πππ∴tanθ－4＝tanα－2＝－tan2－α.













3

如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝5可得， BC＝3，AB＝5，AC＝4， π4

∴∠B＝2－α，∴tan B＝3， 4

∴tan B＝－3. 4

答案：－3 (2)若tan α＞0，则( )

A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0

答案：C

考点二 三角函数的求值与化简

例2、(1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) 33

A．－2 B.2 11C．－2 D.2

1

解析：基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝2，故选D.

速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式． 1

又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝2. 答案：D

1＋sin βππ (2)设α∈0，2，β∈0，2，且tan α＝cos β，则( )



ππ

A．3α－β＝2 B．3α＋β＝2 ππ

C．2α－β＝2 D．2α＋β＝2

α1－cos α

速解法一：∵tan 2＝sin α，

1＋sin β

由tan α＝cos β知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2απ－β＝2.

π

把β＝2α－2代入 π1＋sin2α－2

1＋sin β

＝cos βπ cos2α－2



1－cos 2α

＝sin 2α＝tan α，题设成立．故选C.

π1－cos2＋β

1＋sin βπ＋β

速解法二：cos β＝＝tan

42πsin2＋β





πβ∴tan α＝tan4＋2



πβππ又∵α∈0，2，β∈0，2，∴2∈0，4，



πβπππβ∴4＋2∈4，2，∴α＝4＋2，



ππ

∴2α＝2＋β，∴2α－β＝2.故选C. 答案：C

考点三 解三角形

例3、(2016·天津，3，易)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4

π1【变式探究】(2016·课标Ⅲ，8，易)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos

43A＝( )

3101010310

A. B. C．－ D．－

10101010答案：C 解析：如图，作AD⊥BC于D.

π

设AD＝1，∵B＝，∴BD＝1.

41

又∵AD＝BC，∴CD＝2，

3∴AC＝5，AB＝2， ∴sin α＝cos β＝

211，cos α＝，sin β＝， 552

1， 2

∴cos A＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝

112110×－×＝－. 105252

考点四 正、余弦定理的应用

例 4、【2017课标II，理17】ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

sinAC8sin2B， 2（1）求cosB；

（2）若ac6，ABC的面积为2，求b。 【答案】(1)cosB15； (2) b=2 17

（2）由，故

又

由余弦定理 及

得

所以b=2.

【变式探究】（1）在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________.

3π

（2）在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD

4的长．

【解析】 (1)如图，在△ABD中，由正弦定理， 得

ADAB2

＝，∴sin∠ADB＝. sin Bsin∠ADB2

∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC＝30°，∠C＝30°， ∴BC＝AB＝2.

在△ABC中，由正弦定理， 得

ACBC

＝，∴AC＝6. sin Bsin ∠BAC

(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC 3π

＝(32)2＋62－2×32×6×cos

4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝310.

【举一反三】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．

解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1.

又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线， 所以BD＝BA.

ABAC在△ABC中，＝，

sin∠BCAsin∠ABCACsin 60°

即AB＝，

sin 15°又sin 15°＝sin(60°－45°) ＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45° ＝

6－23212

×－×＝， 22224

ACsin 60°32＋6所以AB＝＝，

sin 15°2032＋6因此，BD＝≈0.33(km)．

20故B，D的距离约为0.33 km.

1.【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是

（A）a2b （B）b2a （C）2 （D）2 【答案】A

【解析】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC 所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，选A.

2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的

终边关于y轴对称.若sin【答案】1，cos()=___________. 37 9

3.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】1510 ,24

4.【2017课标II，理17】ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

sinAC8sin2B， 2（1）求cosB；

（2）若ac6，ABC的面积为2，求b。 【答案】(1)cosB15； (2) b=2 17【解析】b=2（1）由题设及

，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理 及

得

所以b=2.

1.【2016高考新课标2理数】若cos(4)35，则sin2（ ）（A）

725 （B）15 （C）15 【答案】D

2.【2016高考新课标3理数】若tan34 ，则cos22sin2（ (A)

64481625 (B) 25 (C) 1 (D)25 【答案】A

D）725

） （ 【解析】

33434，得sin,cos或sin,cos，所以45555161264cos22sin24，故选A．

252525由tan3.【2016年高考四川理数】cos2ππsin2= . 88【答案】2 22【解析】由二倍角公式得cos2. sin2cos4288π1，BC边上的高等于BC,则cosA=431.【2016高考新课标3理数】在△ABC中，B=（ ）

（A）3101010310 （B） （C）- （D）- 10101010【答案】C

【解析】设BC边上的高为AD，则BC3AD，所以ACAD2DC25AD，

理

，

知

AB2AD．由余弦定

AB2AC2BC22AD25AD29AD210，故选C． cosA2ABAC1022AD5AD2.【2016高考新课标2理数】若cosAABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，

4，5cosC5，a1，则b ． 1321 1345，且A,C为三角形的内角，所以,cosC513【答案】

【解析】因为cosA312sinA,sinC，

513sinBsin[π(AC)]sin(AC)sinAcosCcosAsinC6365，

又

因

为

ab，所以 sinAsinBasinB21b.

sinA133.【2016高考天津理数】在△ABC中，若AB=13,BC=3，C120 ,则AC= （ ） （A）1 【答案】A

【解析】由余弦定理得139AC23ACAC1,选A.

4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则

（B）2

（C）3

（D）4

tanAtanBtanC的最小值是 ▲ .

【答案】8.

1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且（I）证明：sinAsinBsinC； （II）若bca222cosAcosBsinC. abc6bc，求tanB. 5【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】

Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc===k(k>0)． sinAsinBsinC则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． 代入

cosAcosBsinC+=中，有 abccosAcosBsinC+=，变形可得

ksinAksinBksinCsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 所以sin Asin B=sin C．

2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.

（I）证明：A=2B；

a2（II）若△ABC的面积S=，求角A的大小.

4

【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，

故2sinAcosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinB， 于是sinΒsinAΒ．

又，B0,π，故0ABπ，所以BπAB或BAB， 因此Aπ（舍去）或A2B， 所以，A2B．

2或

4．

3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】

tanAtanB. cosBcosA1 22（Ⅰ）由题意知（sinAsinBsinAsinB）， cosAcosBcosAcosBcosAcosB化简得2sinAcosBsinBcosAsinAsinB， 即2sinABsinAsinB. 因为ABC,

所以sinABsinCsinC. 从而sinAsinB=2sinC. 由正弦定理得ab2c. （Ⅱ）由（Ⅰ）知c22ab, 22所以 cosCabc2aba2b2（ab2）3ba112（），

8ab422ab当且仅当ab时，等号成立.

故 cosC的最小值为

1. 2【2015高考四川，理12】sin15sin75 . 【答案】6. 2

【2015高考浙江，理11】函数f(x)sinxsinxcosx1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．

【答案】，[237k,k]，kZ. 88【解析】f(x)单调递减区间为

1cos2xsin2x231sin(2x)，故最小正周期为，22242[37k,k]，kZ. 88【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数fxsin2xsin2x，6xR

(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间[-pp,]上的最大值和最小值. 34【答案】(I); (II) f(x)max【解析】(I) 由已知，有

31,f(x)min. 421cos2x11cos2x3311f(x)cos2xsin2xcos2x

222222311sin2xcos2xsin2x. 44262. 2所以f(x)的最小正周期T(II)因为f(x)在区间[-pppp,-]上是减函数，在区间[-,]上是增函数， 3664pp113，所以f(x)在区间[-,]上的最大值为f(),f(),f()3462443431，最小值为. 42【2015高考重庆，理18】 已知函数fxsin （1）求fx的最小正周期和最大值； （2）讨论fx在xsinx3cos2x 22,上的单调性. 632-23；（2）f(x)在[【答案】（1）最小正周期为p，最大值为5,]上单调递增；

612f(x)在[52,]上单调递减. 123

2x[,]02x63时，有3（2）当，从而

02x当

32时,即6x512时，f(x)单调递增，

52时，f(x)单调递减， x23123552综上可知，f(x)在[,]上单调递增；f(x)在[,]上单调递减.

6121231【2015高考上海，理14】在锐角三角形C中，tan，D为边C上的点，

2当

2x时,即

D与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则

DDF ．

【答案】16 15

【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，

，【答案】．

，则 .

【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，故应填入．

，由正弦定理得即解得xπ【2015高考湖北，理12】函数f(x)4cos2cos(x)2sinx|ln(x1)|的零点个数

22为 ．

【答案】2

xπ【解析】因为f(x)4cos2cos(x)2sinx|ln(x1)|

22 2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)|

sin2x|ln(x1)|

所以函数f(x)的零点个数为函数ysin2x与y|ln(x1)|图象的交点的个数， 函数ysin2x与y|ln(x1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数f(x)有2个零点.

【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.

【答案】1006

【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.

【答案】6

【解析】由正弦定理得

23ABAD，即，解得sinADBsin120sinADBsinBsinADB2，ADB45，从而BAD15DAC，所以2C1801203030，AC2ABcos306. 【2015高考福建，理12】若锐角ABC的面积为103 ，且AB5,AC8 ，则BC 等于________．

【答案】7

【解析】由已知得ABC的面积为

1ABACsinA20sinA103，所以2sinA3，A(0,)，所以A．由余弦定理得223BC2AB2AC22ABACcosA49，BC7．

【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）

ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．

(Ⅰ) 求

sinB；

sinC(Ⅱ)若AD1，DC【答案】(Ⅰ)

2，求BD和AC的长． 21；(Ⅱ)1． 2

【2015高考浙江，理16】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A4，b2a2=

12c. 2（1）求tanC的值；

（2）若ABC的面积为7，求b的值. 【答案】（1）2；（2）b3. 【解析】

b2a2（1）由

1211csin2Bsin2C2及正弦定理得22，

A4，即

∴cos2BsinC，又由

2BC34，得

cos2Bsin2C2sinCcosC，

sinC255cosC5，5，

解得tanC2；（2）由tanC2，C(0,)得

31022sinBcbsinBsin(AC)sin(C)10，由正弦定理得34又∵，∴，

A又∵

1bcsinA34，2，∴bc62，故b3.

3,AB6,AC32,点D在BC边上，4【2015高考安徽，理16】在ABC中，AADBD，求AD的长.

【答案】10 【解析】如图，

【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量ma,3b与ncos,sin平行．

（I）求； （II）若a7，b2求C的面积．

【答案】（I）

3；（II）33． 2

133bcsinA=2． 故C的面积为27sin解法二：由正弦定理，得从而sinB=32sin，

21， 727. 7又由a>b，知A>B，所以cosB=故sinCsinABsin321 sinBcoscosBsin33314所以C的面积为

133. bcsinA=221. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC的内角满足sinA2sinB2sinC，则

cosC的最小值是 .

【答案】62 4

【考点】正弦定理与余弦定理．

2. 【2014全国1高考理第16题】已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，

a2，且2b(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为____________．

【答案】3 【解析】由

a2，且

2b(sinAsinB)(cb)sinC，故

(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，又根据正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，化简得，b2c2a21，所以A600，又b2c2bc4bc，bcabc，故cosA2bc2222故SBAC1bcsinA3． 2【考点定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式． 3. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2 ，则2AC=( ) A. 5 B. 【答案】B 【解析】由面积公式得：2sinB当B45o时， 由余弦定理得：AC1222cos45=1，所以AC1，又因为AB=1，BC=2，所以此时ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B135o，由余弦定理得：2o5 C. 2 D. 1 1221，解得sinB，所以B45o或B135o，22AC21222cos135o=5，所以AC5，故选B. 【考点定位】余弦定理及三角形的面积公式、解三角形 4. 【2014山东高考理第12题】在ABC中，已知ABACtanA，当A的面积为________. 【答案】6ABC时，1 6

【考点定位】 三角形的面积. 5. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosCccosB2b，则a . b【答案】2. 【解析】

bcosCccosB2b，由边角互化得sinBcosCsinCcosB2sinB，

即sinBC2sinB，即sinA2sinB，所以a2ba2. b【考点定位】正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数， 6. 【2014全国1高考理第8题】设(0, （A） 3【答案】C

【解析】由已知得，tan1sin（ ） ,则),(0,),且tan22cos （C）22 （B）322 （D）22

sin1sin，去分母得，coscossincoscoscossin，所以

sincoscossincos，sin()cossin()，又因为

2202，

22，所以2，即22，选C．

【考点定位】和角的正弦公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式．

7. 【2014高考福建卷第12题】在ABC中，A60,AC4,BC23,则ABC的面积等于_________.

【答案】23 【解析】由正弦定理可得sinB1,B90.所以ABC的面积等于23. 【考点定位】正弦定理、三角形的面积.

8. 【2014江西高考理第4题】在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，若

0c2(ab)26,CA.3 B.【答案】C

3,则ABC的面积（ ）

9333 C. D.33 22

【考点定位】余弦定理

9. 【2014四川高考理第13题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，

cos370.80，31.73）

【答案】60 【解析】

AC92，ABABBCABsin3746，,BC60. sin30sin37sin30cos67【考点定位】解三角形.

10. 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面行射击训练.已知点到墙面的距离为

，某目标点沿墙面的射击线

的墙面前的点处进移动，此人为了准确

瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若

则

的最大值 .

【答案】53 9

【考点定位】解三角形,求最值.

11．【2014重庆高考理第10题】

已知ABC的内角A，B,C满足sin2Asin(ABC)sin(CAB)1，面积2S满足

1S2，记a,b,c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.bc(bc)8 B.ac(ab)16D.12abc24

【答案】A

2 C.6abc12

【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.

12. 【2014天津高考理第12题】在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知b-c=1a，2sinB=3sinC，则cosA的值为_______． 41【答案】．

4【解析】∵

2sinB=3sinC,\\2b=3c,\\b=13c,代入b-c=a得a=2c，由24b2+c2-a21余弦定理得cosA==-．

2bc4【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论．

13. 【2014大纲高考理第3题】设asin33,bcos55,ctan35,则 （ ） A．abc B．bca C．cba D．cab 【答案】C． 【

解

析

】

asin33b,cos55scin35,sin35tan35cos35故选Ccsain3b5,． ,【考点定位】三角函数基本关系式

14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b3,c1,A2B.

（1）求a的值； （2）求sin(A4)的值.

【答案】（1）a（2）23；42. 6

【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.

15. 【2014高考北京理第15题】如图，在ABC中，B边上，且CD2，cosADC（1）求sinBAD； （2）求BD，AC的长.

3,AB8，点D在BC1. 7

【答案】（1）

33；（2）7. 14

【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理. 16. 【2014高考福建理第16题】已知函数

1f(x)cosx(sinxcosx).

2（1）若0（2）求函数 【答案】(1)

2，且sin2，求f()的值； 2f(x)的最小正周期及单调递增区间.

13 ;(2) ,[k,k],kZ 288

【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.

17. 【2014高考广东理第16题】已知函数fxAsinx，xR，且453f. 122（1）求A的值； （2）若ff3，0,，求223f. 4【答案】（1）A【

解

（2）3；析

30. 4】

（

1

）

23355fAsinAsinAsinAsinA，

3332212124所以A3，fx3sinx；

4（2）ff3sin3sin 443sincoscossin3sincoscossin

44446cos3， 2cos6， 426102， 0,，sin0，则sin1cos1442310303f3sin+=3sin3sin344444.

【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数 18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系；

f(t)103cos12tsin12t,t[0,24).

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？

【答案】（1）4C；（2）在10时至18时实验室需要降温.

（2）依题意，当f(t)11时实验室需要降温. 由（1）得f(t)102sin(所以102sin(12t3)，

1t)11，即sin(t)， 1231232711又0t24，因此，即10t18， t61236故在10时至18时实验室需要降温.

【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD中,AD1,CD2,AC(1)求cosCAD的值; (2)若cosBAD7.

721,sinCBA,求BC的长. 146

【答案】(1) cosCAD27 (2)3 7

【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式 20. 【2014高考江苏第15题】已知5. ，，sin25)的值；

45（2）求cos(2)的值.

6（1）求sin(【答案】（1）10334；（2）． 1010

【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式． 21. 【2014高考辽宁理第17题】在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知BABC2，cosB（1）a和c的值； （2）cos(BC)的值.

1，b3，求： 3【答案】（1）a=3，c=2；（2）

23. 27【解析】（1）由BABC2212得，cacosB2，又cosB，所以ac=6.

32由余弦定理，得a又b=3，所以a2cb2accosB.

2c92213.

ac6解2，得a=2，c=3或a=3，c=2. 2ac13因为a>c,∴ a=3，c=2.

【考点定位】解三角形、三角恒等变换.

22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量a(m,cos2x)，b(sin2x,n)，设函数

2f(x)ab，且yf(x)的图象过点(,3)和点(,2).

123（Ⅰ）求m,n的值；

（Ⅱ）将yf(x)的图象向左平移（0）个单位后得到函数yg(x)的图象.若yg(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调增区间.

【答案】（I）m3,n1.

（II）函数yg(x)的单调递增区间为[k【解析】

2,k],kZ.

（1）由题意知：f(x)abmsin2xncos2x. 因为yf(x)的图象过点(12,3)和(2,2)， 33msinncos66所以，

2msin4ncos433133mn22即， 23m1n22解得m3,n1.

【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质. 23. 【2014高考四川第16题】已知函数f(x)sin(3x（1）求f(x)的单调递增区间； （2）若是第二象限角，f()4).

34cos()cos2，求cossin的值. 54【答案】（1）【解析】 （1）522（2）2,. kxk(kZ)；

24312322k3x4422k22kxk(kZ)； 43123（2）由题设得：sin(即sincos)4cos()cos2， 544(cossin)(cossin)(sincos)，. 5若sincos0，则cossin2，

若sincos0，则145. (cossin)2cossin52【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.

24.【2014高考浙江理第18题】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

ab,c3，cos2A-cos2B3sinAcosA-3sinBcosB.

（I）求角C的大小； （II）若sinA4，求ABC的面积. 5【答案】（1）C3；（2）S8318． 25

（2）由c3，sinA4ac8，得a，由ac，得AC，从而5sinAsinC5cosA3，故 5sinBsinACsinAcosCcosAsinC18318． acsinB225433，所以ABC的面积为 10S【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式

25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数

fx3sinx0，的图像关于直线x对称，且图像上相邻

322两个最高点的距离为.

（I）求和的值； （II）若f323，求cos的值. 24632【答案】（1）2,6；（2）315 8

（2）由（1）得f3 3sin22264所以sin由

1. 6462得0, 3622151所以cos1sin21.

6644因

此

3cos2=

sinsinsin666cos6 cos66sin13151315 42428【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.

1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )

A．－4 B.43 3 C．－443或0 D.3或0

解析：基本法：∵

2sin 2α＝1＋cos 2αsin22α＋cos2

2α＝1

， sin 2α＝4∴sin 2α＝0

5，

cos 2α＝－1



或cos 2α＝35.

∴tan 2α＝0或tan 2α＝4

3. 答案：D

cosα－3π2．若tan α＝2tanπ10



5，则sinπ

α－5



＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C

3．已知tan β＝45

3，sin(α＋β)＝13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(55460112)

A.63B.3313633365 65 C.65 D.65或65

)(导学号 435π

解析：依题意得sinβ＝5，cos β＝5.注意到sin(α＋β)＝132(否则，ππ

若α＋β≤2，则有0<β<α＋β≤2，0答案：A

11π

4．函数f(x)＝2sin 2x＋2tan3cos 2x的最小正周期为( ) π

A.2 B．π C．2π D． 4π π13解析：∵f(x)＝2sin 2x＋2cos 2x＝sin2x＋3， 2π

∴函数f(x)的最小正周期T＝2＝π. 答案：B

11

5．已知tan(3π－α)＝－2，tan(β－α)＝－3，则tan β＝________.

6．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. 2sin αcos α－cos2α2tan α－1

∴2sin αcos α－cosα＝＝＝sin2α＋cos2αtan2α＋1

2

－

－－1－5

＝5＝－1. 2＋1

答案：－1

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________．

解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝1

b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－2，又A为三角形的内角，故A＝120°.

答案：120°

8.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．

解析：如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.

∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°. BDAD

由正弦定理，可得＝.

sin∠DABsin∠ABD∴

400AD

＝，得AD＝4003(米)．

sin 30°sin 120°

在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×1 3，解得AC＝40013(米)．故索道AC的长为40013米．

答案：40013

tan Atan B9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值．

a＋b

(2)解：由(1)知c＝2，[ a＋b－c

∴cos C＝2ab＝3ab11＋8ba－4≥2，

当且仅当a＝b时，等号成立， 1

故cos C的最小值为2. 2

2

2

a2＋b2－

a＋b2

2

2ab

＝