２０１３年第１１期 ９ 放缩法在证明数列型不等式中的应用 傅善林 （天津市第一中学，３０００５１） 中圉分类号：０１２２．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１３）ＩＩ—ＯＯＯ９—０４ 数列型不等式的证明，能全面而综合地 考查学生的数学能力，是各级各类数学竞赛 命题的极好素材．本文通过举例说明放缩法 在证明数列型不等式中的应用． １利用重要不等式放缩 挖掘不等式的结构特征，把欲证不等式 变形构造，然后利用重要的不等式和常用结 论进行放缩证明（如均值不等式、柯西不等 式、贝努利不等式、绝对值不等式等）． 例１设整数ｎ≥３，正实数口 ，ａ３，…，口 满足ａ，２ｎ３…０ ＝１．证明： （１＋ａ２） （１＋口３） …（１＋ａ ） ＞ｎ ．［ ① （第５３届ＩＭＯ） 证明对ｋ＝２，３，…，ｎ，由均值不等式有 （１＋ａｋ （由＋ ·＋击 ） （ ） 故（１＋口２）２（１＋０３） …（１＋口 ） ＞２￣２ａ２ ｘ３３（ ）２ ４ （÷） ·× ｎ （ ）一‘。 ＝ ． 当 （ ＝２，３，…，站）时，上式等 号成立，这与０，ａ …０ ＝Ｉ矛盾． 收稿日期：２０１３—０４—０８修回Ｅｌ期：２０１３—０９—０６ 因此，式①成立． 例２已知数列｛０ ｝： １＜ａ ＜√７（ｉ＝１，２，…，ｎ，正整数乃≥２）． 证明：（１）对于一切的正整数ｉ，均有 ＋ ≥了； （２）令口 ＝口。．则 二Ｔ ３ （ｚｏｏ８，全国高中数学联赛四川省预赛） 证明（１）对于一切的正整数ｉ有 ＋ ≥ ６ ＝ · （２）由柯西不等式知 志≥ 高２ ≥ ｎ ２一 一一 而—一２ 当口ｌ＝０２＝…：口 ＝２时，等号成立． 例３证明： · （，＋÷）（－＋ ·（－＋ １） ＞ 『『（ｎ∈Ｎ＋）． 中等数学 证明 由贝努利不等式知 （１＋ｘ） ＞１＋ ， 是显而易见又很重要的不等式． ２利用函数单调性放缩 根琚不等式的结构特，仳，构遁特殊的单 其中，ｎ∈Ｎ＋，，ｌ≥２， ＞一１， ≠０． 令ｎ＝３，ｚ：上３ｋ－２．则 调函数，再进行放缩加以证明． １＋ ） ＞－＋３× ｊ ＋ ＿＞ ＝蕊 Ｈｎ（－＋ ）＞竹￣砸／３ｋ２＝ －－，（，＋÷）（ ·（ ＋ ） ＞ 丽． 例４给定整数ｎ（１＂ｔ＞２），设正实数ａ ａ２，…，ａ 满足ａ ≤１（ｋ＝１，２，…，ｎ）．记 Ａｋ＝ （ · ． 证明：Ｉ∑口 一∑Ａ ｌ＜旦 ．心 （２０１０，全国高中数学联合竞赛） 证明 由０＜ａ ≤１，知对１≤ ≤凡一１，有 ０＜∑ｎ ≤｜ｊ｝，０＜∑口ｉ≤ｎ—ｋ． 注意到，当 、Ｙ＞０时，有 ｌ —Ｙ｛＜ｍａｘ｛ ，Ｙ｝． 于是，对１≤ ≤ｎ一１，有 Ｉ Ａｎ－ ＝ ｌ￣－ｄａｉ＂＋ （ 一 ）蜜 ＜ｍａｘ｛ ｎ ｎ ，（ １一 ｎ＼Ｊ ｉ＝ｌ ０ ≤ｍａｘ｛ ｃ ｎ一 ，（ １一 ） ）：·一鲁． 故 一∑Ａ ｌ＝＝ｌ Ｉ Ｉ ＩｎＡ 一∑Ａ＝１ ＝ｌ∑（Ａ 一Ａｋ）Ｉ≤∑ —Ａ ｌ ＜鏊（·一告）＝ ． 【评注】当 ＞０，Ｙ＞０时， Ｉｘ—ＹＩ＜ｍａｘ｛ ，Ｙ｝和Ｉ ＋ｙＩ＞ｍｉｎ｛ ，Ｙ 例５证明：不等式 ｌ＜ ＿ｌｎ ｎ≤ １（ 一，２，…）．｝ （２００９，全国高中数学联合竞赛） 证明首先证明： ＜ｌｎ（１＋ ）＜ （ ＞ｏ）· ① 事实上，令ｈ（ｘ）＝ —ｌｎ（１＋ ）， ｇ（ ）：ｌｎ（１＋ ）一 · 则对 ＞０，有 （ ）＝１一 ＞０， ｇ ）＝ １一 ＝ ＞。． 于是， （ ）＞ （０）＝０，ｇ（戈）＞ｇ（Ｏ）＝０． 在式①中取 ： ，得 ＜ｌｎ １＋ １）＜ｉ１． ② 令 ·则 ｌ ｌ ， 一 － ｚ －－Ｘｎ＿Ｉ＝ “＋１＋ １） ） ＜ ＜— —一一——：一■—百———■一＜Ｕ．ｎ：一 ｎ １＜０． ｎ ＋ｌ ｎ（ ‘＋ ） 因此， ＜Ｘｎ－Ｉ＜…＜ ： ． 故 ＝ｋ ｎ －Ｉ 一ｔｎ（·＋ ） ２０１３年第１１期 １１ ｌＩ ＞ ∑ ∑㈨ 尼一＋矗一＋ 一 一 ≥一－ｎ １＋ ）】＋ ：争（１＋ｎ）｛＜（１＋２ ０ｌ２）矗西 ）＝一 １、Ｊ＞ｉ （芝 ０ｌ １３ ） 叫 ． 蓦 １Ｉ 几Ｔ ，ｎ ：一１＋上．ｎ ＞一１． 则（禹＋熹 ．＋ ｎ ２ ＋ ｎ 例６给定整数ｎ（ｎ＞２０１２），正实数 ｔ， ２，…， 满足 ｌ＋ ２＋…＋ ＝１．证明： ≥（ ）÷＞（志） ． 从而，命题得证． ３利用递推关系放缩 （南＋惫＋．．．＋ｉ 每） ＞（ ） ． （１＋ｎ）、 ，ｌ 莩’ ｎ＞ｍ＞ｏ时’ ①设函数 ）＝ （ ）． 妣 ： ． 由例５知 ＜ｈ（１＋ ）．所以， 一（ ＋１）ｌｎ（ｘ＋１）＜０， 即ｇ （ ）＜Ｏ，ｇ（ ）在（０，＋∞）上单调递减． 又，ｌ＞ｍ＞０。则 ｇ（ｎ）＜ｇ（ｍ） 。 ！望（！± ＜ 里 １１， ｍ ａｒｉｎ（１＋／＿Ｉ ｇ＇）＜ｎｌｎ（１＋ｍ） （１＋／ｔ＇） ＜（１＋ｍ）／＇ｔ． 由 ｌ＋ ２＋…＋ ＝１，及柯西不等式得 （禹＋熹 ．＋惫２）（１＋ｎ ≥慨． · ．＋ ＾√＋筷１． ～瓜） Ｊ ＝（ ｌ＋ ２＋…＋ ） ＝１． 故（ ２＋熹 ·＋熹 １ （ ２＋熹＋．．．＋禹）÷≥（ ）÷ 又，ｌ＞２ ０１２，由式①知 （１十ｎ） 。 ＜（１＋２ ０１２） 利用递推关系放缩是放缩法与裂项求和 的完 器鬣 晶童～刖 ～ … 孚 。 ３ 证明： ｎ（口 一口…）（ ＋：一１）＜÷．［４］ （２０１０。全国高中数学联赛江苏赛区复 赛） 证明：由ａ ＋ｌ＝ａ：一３口：＋３ａ ＝争口 ＋１—１＝（口 一１）３． 令ｂ ＝口 一１，有 ０＜ｂＩ＜１，ｂ ＋ｌ＝ｂ：＜ｂ ，０＜ｂ ＜１． 则（口Ｉ—ｏ ＋１）（ａ ＋２—１） ＝（ｂ＾一ｂ ）ｂ ＋２＝（ｂ 一ｂ ）６：＋· ＜÷（ — ＋。）（ ＋ ＋ ＋ ＋，＋ ＋ ） １＝ 。４ 一 ）． 故∑（口＝Ｉ 一 ）（ ：一１） ＜÷塞（’＾ Ｉ ６：一６：＋。）＝ －１（ｒ ６：一６４＋１） ＜扣＜÷． 【评注】不等式 ａｋ＋１）（ ＋２一１）＜ １。４－Ｉ＿６：＋．） 是本题进行递推放缩的关键 例８设｛口 ｌ（／／，∈Ｎ）满足 ｌ２ 中等数学 Ⅱｏ：÷，且 ，＝ ｎ：（Ｊ｝＝０， ”，ｎ－１）． 此加强命题，问题将迎刃而解． ｎ 思维探索其加强命题，再用数学归纳法证明 例９已知数列｛ ｝满足 证明：１一一１＜ａ ＜１． （１９８０，芬兰、英国、匈牙利、瑞典四国数 ｌ ｌ ’ ｎ＋ｌ＝Ｘｎ＋ ： 学奥林匹克） 证明易证 ａｎ＞ａｎ—ｌ＞…＞ａＩ＞ａ０＞０ ｎ ＝。 ＋ 口 ２＜口 ＋ 口 口 １ １ １ ’ ——一——＜—— ａｋ ａｋ．１ ｎ １１一 ＝鍪 ｌ ）＜ｎ白－１ｉｌ＝· ＞ 一１：１ ｎ ＜１． ａｎ ａ０ 由 ＝ １２ ＝ 。 ｎ ｎ ｎ ＞ ＿『０ 口川＝ ＋ 口２ ＞口 ＋ 。 · 口… ｌ 口 ＋ 口 ｎ ＋ ｊ．１ １ １ ～— ＞ ａｋａｋ １· ｎ＋ｌ １１一 ＝鏊（ 一 １） ＞ ＝ ｊ ＜ 一 ｎ ＝ ａｎｊ ａ ＞ ＝·一 ＞·一 一 ＜ｎ ＜ 【评注】本题多次用到放缩法，很经典． 将ａ 变形为ａｋａ㈩用到了部分放缩，继而得 到关系式 ＜一１１一一几十ｌ ａｋ ａｋ １ ＜ 是进行递推放 ｎ ４转化为加强命题放缩 当所证不等式右边为常数时，运用逆向 ｎ‘ 证明： ２ ０ｌ３＜１ ００７． 证明将命题加强为 ≤ ． 下面用数学归纳法证明． （１）当ｎ＝１时， ： １，结论成立． （２）假设当ｎ＝｜ｉ｝时结论成立，即 ≤妻． 则当ｎ＝ｋ＋１时，有 ： ＋紊≤ ｋ＋ １ Ｉ ｋ） ｋ １ ｋ＋１ ＋ ＜丁’ 此时，结论也成立． 因此，对一切 ∈Ｎ＋，有ｘ ≤ ． 所以＂￣２ ０１３≤ ＜１ ００７． 【评注ｌ当出现年号数时，往往证其一般 性结论．考虑到２ ０１３与１ ００７的关系，将命 题加强能便于运用数学归纳法． 放缩法的本质是利用不等式的传递性， 化繁为简，化难为易，是证明不等式的一种重 要方法．除以上的解题技巧外，还有诸如部分 放缩、换元放缩、添项减项放缩等．解题时，需 要准确把握放缩尺度，不断在解题过程中积 累、丰富和提升放缩经验、能力． 参考文献： ［１］第５３届ＩＭＯ试题解答［Ｊ］．中等数学，２０１２（９）． ［２］２０１０年全国高中数学联合竞赛［Ｊ］．中等数学，２０１０ （１２）． ［３］２ｏｏ９年全国高中数学联合竞赛［Ｊ］．中等数学，２００９ （１２）． ［４］２０１０，全国高中数学联赛江苏赛区复赛［Ｊ］． 中等数 学，２０１１（３）．
