掌握数学建模,感悟数学思想方法

1、 教材分析

1、教材所处的地位和作用

本节课选自华东师大版九年级上册25.3《解直角三角形》第一课，它是在学生学习了勾股定理和锐角三角函数的基础上，以实际问题为载体,探究解直角三角形的一般方法和思路。它是前面知识的综合运用。通过本节课学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验,而且还让学生进一步体会数学与现实生活的密切联系，同时为本章的后续学习作了铺垫，它是本章的一个重要学习内容。2、教学目标（1）知识目标

①让学生感受解直角三角形的必要性，理解解直角三角形的概念及相关知识。

②让学生初步掌握运用三角函数及勾股定理的知识、解直角三角形的思想与方法。

③让学生经历观察、操作、探究、实践，培养学生运用知识解决实际问题的能力，实现从感性到理性、从未知到已知，从已知到新知的矛盾特征的转化过程，形成新的知识网络。（2）能力目标

①通过对实际问题的探究与解决，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生自主探索的能力，发展应用知识。

②会把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，感知数学建模的思想和过程，形成解决问题的基本策略与能力。

③通过课堂为学生提供的充分从事数学活动的机会，让学生理解并掌握基本数学知识与技能，了解数形结合的思想方法，培养转化、化归的思想方法，进而获得广泛的数学活动的经验。（3）情感目标

①让学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类发展的作用。体验数学活动充满着探索与创造，从而激发学生学习的好奇心与求知欲。②通过学习，让学生在学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难，战胜困难的意志，建立自信心。

③在学生充分参与知识形成过程中，学会与人合作、交流的学习方法，形成大胆质疑、实是求是的科学态度，感受数学的严谨性及数学结论的确定性。

3、教材的重点和难点

重点：熟练地运用三角函数解直角三角形。

难点：把实际问题抽象为数学问题，建立合适的数学模型，探索解决问题的有效方法。

4、 教学设备或教辅工具：

多媒体、三角板、计算器。5、教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高二、教学过程(一)温故知新：bBCAac

1、直角三角形的理论依据：（提问学生）① 三边之间关系：

② 角之间关系： ∠A+∠B=90°

③ 边角之间关系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；tanA=cotB=；cotA=tanB=

2、例题:在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝，　b＝，求c，∠A，∠B

（教师讲解，规范学生解题步骤。答案：∠A=60°，∠B=30°，c=12）（二）新知探究

1、定义:（教师讲解后，直接引入定义）

解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2、提问：上面的例子是给了两条边。那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？

练习:在Rt△ABC中，∠C＝90°, b＝15，　∠A＝30°，解这个直角三角形?

分析：题目实际是要求∠B,a,c的值（答案：∠B=60°，a=5，c=10）

设计意图：让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。

3、探究：

（1）通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？

（2）通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？

(教师引导学生观察上述两道例题，结合两个探究问题，开展合作交流探究，学会初步知识归纳总结)

探究结果：

（1）解直角三角形，只有下面两种情况：①已知两条边；

②已知一条边和一个锐角

即：“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”

（2）已知两角的直角三角形大小不能确定，因此不能求解

设计意图：激发学生的合作探究热情，培养学生类比和归纳总结能力，掌握解直角三角形的类型和条件，体会解直角三角形的需已知其中2个元素（至少要有一条边）。

（三）应用示例

▲例1（课件展示）．如图，一棵大树在一次强烈的地震中断倒下，试问你能通过测量哪些元素，从而知道大树原来的高度？（精确到1米）

（充分征集学生想法, 引导学生首先懂得将实际问题的图形抽象为数学图形进行研究。让学生观察思考解直角三角形应该知道哪些元素，结合刚才探究结论：解直角三角形的需已知其中2个元素(至少要有一条边)，进行寻找需要的测量条件，巩固本节课教学重点）BCA

测量条件一：(已知两条边)

如测量得树的底端A到折断处C的长度AC=11米，树顶落在地面B处离树的底端A距离AB=25米，求大树在折断之前高多少？（精确到1米）

学生分析思考：

(1)求大树折断倒下部分BC的长度；解：如图，在Rt△ABC中，

∠CAB=90°,AC=11,AB=25∴BC= =

≈27（米）

∴BC+AC≈27+11≈38(米)

答：大树在折断之前高为38米。

测量条件二：（已知一条边和一个锐角）

如测量得树顶落在地面B处离树的底端A的距离AB=25米，倒下的树径CB与地面的夹角∠ABC=24° 求大树在折断之前高多少？（精确到1米）

学生分析思考：

(1)求大树折断倒下部分BC的长度；

（2）求大树的底端到折断处部分AC的长度；

解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,∠ABC=24°,AB=25米（1）∵cos∠ABC=

∴BC==≈27（米）即大树折断倒下部分BC的长度约为27米.

(2) (关于AC的求解)

方法一:∵tan∠ABC=

∴AC=AB·tan∠ABC=25·tan24°≈11.1(米）∴BC+AC≈27+11.1≈38（米）答：大树折断之前高约为38米.方法三

在Rt△ABC中,BC=27,AB=25∴由勾股定理AC= =

≈10.1（米）

方法二

∵sin∠ABC=

∴AC= sin∠ABC·BC

= sin24°·27≈11.0

引导学生观察思考: 可以用三种方法求出的AC值，它们的值各不同，哪种方法好呢?

设计意图：巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，让学生感受在解直角三角形的计算中要尽量使用原始数据，减少计算误差。”测量条件二的题目”是今年泉州市的中考题,让学生明确中考题其实很多直接是课本题目的变式题,所以一定要重视课本,不放过课本的任何一个题目.(四)拓展提升

▲例2、如图，在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=60°,AB=6,求BC的长？ABCD///D

解：如图，过点A作AD⊥BC于点D∵在Rt△ABD中, ∠B=45° AB=6

cos∠ABD=

∴BD= cos∠ABD·AB

= cos45°·6=3

∴AD=BD=3

又∵在Rt△ACD中, ∠C=60°AD=3tan∠ACD=

∴DC===

∴BC=BD+DC=3+

练习：等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm,则它底边的长为 .

(答案:2)

设计意图：在学生掌握解直角三角形的知识基础上，让学生了解对于一些斜三角形的题目，我们可以通过添加辅助线，转化构造为直角三角形进行相关求解,感悟数学化归的思想方法。（五）课堂小结：

（1）掌握解直角三角形类型及所需条件。

（2）学会将简单的实际问题转化为数学问题，养成“先画图，再求

解”的习惯运用直角三角形知识解决生活中的问题。（数形结合和数学建模的思想）

（3）对于有些斜三角形题目可以通过添加辅助线，转化为解直角三角形

问题来求解。(化归思想)（六）作业布置：

课本79页练习题的第1题。课本P82,习题1（2）（3）练习册P104，基础过关▲教学反思：

新课程改革提出的要求是：让学生通过交流、合作、讨论的方式，积极探索，改进学习方法，提高学习质量，并学会将数学知识应用于生活实际,逐步形成正确地数学价值观。本着这一基本理念，在本课的教学中，我始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题,让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。将解直角三角形的知识始终与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，不断提高他们运用数学方法分析、解决实际问题的能力。在重视课本例题的基础上，适当对题目进行延伸，结合中考试题，使例题的作用更加突出。在整个教学过程中，我让学生领会从简单到复杂的数学问题之间的关系,教学过程围绕1、什么是解直角三角形？2、由什么条件可解直角三角形？3、用什么方法来解直角三角形？ 4、对于斜三角形怎么办等几个知识点展开,层层深入。教学过程要学生掌握数学建模,感悟多种数学思想方法,会把图形语言、文字语言

与数学符号语言有机地结合起来，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。