初三-几何问题之角平分线题型

实用标准文案 （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 ABDFEDFBRFIQECO图1CAO 图2CAB图3PD 2.角平分线性质定理的逆定理： （1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）定理的数学表示：如图2，已知点F在AOB的内部，且FCOA于C，FDOB于D，若FDFC，则点F在AOB的平分线上。 （3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 （4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。 3.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 定理的数学表示：如图3，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DIEIFI。 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。 （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。 4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 文档

实用标准文案 二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示） 1.已知角平分线，构造全等三角形； 2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段； 3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。 AEAEFCAPNDP BDBDC BEC 三.角平分线性质定理之联想： 1.由角平分线的性质联想两线段相等； 2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形； 3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。 模块一.角平分线的对称性： 基本图形 例1.如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。 文档

例题1 实用标准文案 【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 【解答】：EFAD，且EGFG 证明：QAD平分BAC DEAB，DFAC，垂足分别是E，F ∴DEDF DEDF在RtDEA和RtDFA中：Q ADAD∴RtDEARtDFA ∴ADEADF DEDF在DGE和DGF中：QGDEGDF DGDG∴DGEDGF ∴EGFG，DGEDGF90o ∴EFAD，且EGFG。 ►点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。 例题2 如图，BECF，DFAC于F，DEAB于E，BF和CE交于点D。 求证：AD平分BAC。 文档

实用标准文案 【分析】：要证AD平分BAC，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。 【证明】：QDFAC于F，DEAB于E ∴DEBDFC90o 在BDE和CDF中 DEBDFCQBDECDF ∴BDECDF BECF∴DEDF 又QDFAC于F，DEAB于E ∴AD平分BAC。 ►点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DEDF或DFAC，DEAB，那么得出AD平分BAC这一结论是错误的。 例3.如图，在ABC中，C90o，AD平分BAC，DEAB于E，F在AC上，BDDF。求证：CFEB。 例题3 【分析】：由已知条件很容易得到DCDE；要证明CFEB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。 【证明】： QAD平分BAC，C90o，DEAB ∴DCDE 在RtFCD与RtBED中 文档

实用标准文案 DCDEQ DFBD∴RtFCDRtBED ∴CFEB。 ►点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更决问题的关键。 是解 1.如图，12，PDOA于D，PEOB于E，下列结论中错误的是(D ) (A). PDPE (B). ODOE (C). DPOEPO (C). PDOD 2.如图，ABC中，ABC120，C26，且DEAB，DFAC，DEDF 求ADC的度数。137 ooo

3.已知：12，34，求证：AP平分BAC。 【提示】过点P作PEAB、PFAC，利用角平分线性质可得PEPF。 文档

实用标准文案 4.如图，D是ABC的外角ACE的平分线上一点，DFAC于F，且交BC的延长线于E。求证：CECF。 【证明】 QCD是ACE的平分线，DFAC于F，DEBC于E DEBC于E，∴DECDFC90o，DEDF 在RtDEC和RtDFC中 DCDCQ DEDF∴RtDECRtDFC ∴CECF 5.如图，在ABC中，D为BC的中点，DEBC交BAC的平分线AE于E， EFAB于F，EGAC交AC延长线于G。求证：BFCG \\ 【证明】连接BE、EC，由DEBC，BDDC， ∴BEEC，AE•平分BAC，EFAB，EGAC， ∴EFEG ∴RtBFE≌RtCGE，∴BFCG 6.如图，AB//CD，B90o，E是BC的中点，DE平分ADC。求证：AE平分DAB。 【证明】：过点E作EFAD于F QDE平分ADC，ECDC，EFFD ∴CEEF 又QCEBE ∴EFBE 又QEFAF，BEAB 文档

实用标准文案 ∴AE平分DAB。 ——角平分线性质定理的逆定理 例题4 如图，已知在ABC中，BDDC，12。求证：AD平分BAC。 【分析】：有两种方法证明AD平分BAC：一是直接利用定义证明BADCAD；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。 仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。 【证明】：过点D作DEAB于E，DFAC于F ∴BEDCFD90o BEDCFD在BDE与CDF中： Q12 BDCD∴BDECDF ∴DEDF 文档

实用标准文案 又QDEAB于E，DFAC于F ∴AD平分BAC。 ►点评： 1.当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线； 2.用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等角形中。 时要的三作垂 如图，已知在四边形ABCD中，BD180o，AC平分BAD，CEAD，E为垂足。求证：ABAD2AE。 例题5 【证明】：延长AB，过C作CHAB，H为垂足 QAC平分BAD，且CEAD，CHAB ∴CHCE 又QHCA190o，ECA290o，12 ∴HCAECA HCAECA在ACH与ACE中： QHAEC90o ACAC∴ACHACE ∴AHAE 又QABCHBC180o，ABCD180o ∴HBCD 在RtBHC与RtDEC中， HBCDQBHCDEC90o HCEC∴RtBHCRtDEC ∴HBDE ∴ABADABAEEDABAEBHAHAE2AE ∴ABAD2AE 文档

实用标准文案 例题6 o如图1，RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D。AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F。 （1）求证：CECF。 （2）将图2中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图2所示。试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。 CFEAD图1CFGEADA'E'图2D'B''''' 【解析】（1）证明: QCDAB, oADC90.oQACB90,oCAFCFA90o,DAEAED90. QAF平分CAB. CAFDAE. CFAAEDCEF. CECF. （2）解：BECF. 证明：如图2，过点E作EGAC于点G. 又QAF平分CAB，EDAB，EDEG. '' 由平移的性质可知：DEDE，DEGE. oo''' QACB90，ACDDCB90. o QCDAB于D.BDCB90.ACDB. 在RtCEG与RtBED中， ''QGCEB,CGEBD'E',EGE'D',CEGBE'D'.CEBE'.由（1）可知CECF， 文档

实用标准文案 CFBE'. （1）如图1所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由。 （2）如图2所示，AD是ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PCPB与ACAB的大小，并说明理由。 EAPBC图1D例题7 APC图2EBD 【解析】（1）PBPCABAC，理由如下： 在BA的延长线上截取AEAC，连接PE，如图1 QAD是BAC的外角平分线， CAPEAP. 在ACP和AEP中，ACAE，CAPEAP，APAP. ACPAEP， 在BPE中，PBPEBE， QBEBAAEABAC, PBPCABAC. （2）PCPBACAB，理由如下： 在AC上取一点E，使AEAB，连接PE，如图2 QAD平分BAC， EAPBAP. QAEAB，APAP， APEAPB， PEPB. 在EPC中，，PCPEEC即PCPBACAE， PCPBACAB. 7.如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FGMN，SPFGSPMN，试问点P是否在AOB的平分线文档

实用标准文案 上？ 【证明】：过点P作PDOA于D，PEOB于E QSPFGADC11FGPD，SPMNMNPE， 22而SPFGSPMN 11∴FGPDMNPE 22 又QFGMN ∴PDPE 又QPDOA于D，PEOB于E ∴P在AOB的平分线上。 8.如图，在ABC中，AB3AC，BAC的平分线交BCBEAD，垂足为E，求证：ADDE. 证明：如下图，延长BE交AC延长线于F，取CF中点M， QAD平分BAC，AEBE，AEAE， BE于点D，过点B作连接EM. BAEFAEASA. E是BF中点，ABAF. QM是CF中点， ME∥BC. QAB3AC， AF3AC. ACCM，CD∥ME， D是AE中点. ADDE. 文档

实用标准文案 ADCMFBE 【横向拓展】 9.求证：三角形的三条角平分线相交于一点。 证明：如图，设角平分线AD与BE相交于点O。点O到三边AB、BC、CA的距离分别是d1、d2、d3 ∵O在A平分线AD上， ∴d1d3 ∵O在B平分线BE上， ∴d1d2，∴d2d3 ∵d2、d3是点O到C两边的距离， ∴点O在C的平分线CF上 ∴AD、BE、CF交于一点O。 （**分钟） 1.本次课学习了角平分线的性质和判定 2.要会综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题 3.垂直平分线、等腰三角形、四边形知识要熟练应用 文档

实用标准文案 （临下课前的结束语建议：） 教师：你有哪些收获和感悟？

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