初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】 考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

1

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

A

B M C 例2．已知，如图，CD是直径，EOD84，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。

例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？

例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,CEA30， 求CD的长．

例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为2,3，求BAC的度数．

2

E B D O C A C A · O

E B D

例7.如图，已知在ABC中，A90，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．

A

B C

D

例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。

CAB.思考题

D如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.

二．垂径定理及其推论

【考点速览】 考点1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

3

C E

A · O

P F B D

③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对

的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】

例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且AMNCNM． 求证：AB=CD．

例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。求证：CE=DF．

BA M B · O

C N D

BOAECHDFOECAAOBlHFDl

ECHDFl

问题一图1

问题一图2 问题一图3 例3 如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。 （1）求证：AE＝BF

（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证

4

F

B

明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成45角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问：PCPD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

B

C

例5.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.

M

A C E

B ·O

F N

A

P 。O

D

220D

例6.（思考题）如图，o1与o2交于点A，B，过A的直线分别交o1，o2于M,N，

5

M C A

C为MN的中点，P为O1O2的中点，求证：PA=PC.

三．圆周角与圆心角

【考点速览】 考点1

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．

Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

6

考点2

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

Eg: 如下三图，请证明。

13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．

（1）求证：DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：ACO=BCD．

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

C B O E D A 7

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。 （1）求证：AC＝AE；

（2）求△ACD外接圆的半径。

A

E C

D B

16.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？ A A

B O C B P 图① D 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

【考点速览】

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

O C P 图②

D 8

推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

（务必注意前提为：在同圆或等圆中）

例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．

E

P

A 12CDOB F 例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。

9

例3．如图所示，在ABC中，∠A=72，⊙O截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.

·O

B

C

A 例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE．

E O· D C B A 例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=120，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E． 求证：ODE是等边三角形．

A D

B

E C

O ·

例6.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。 （1）试说明△ODE的形状；

10

（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。

AA DED E BOCBOC

例7弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G. （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF的长. E D A · O F B C G

例8已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。

六．会用切线，能证切线

考点速览： 考点1

直线与圆的位置关系

11

图形 公共点个数 d与r的关系 直线与圆的位置关系 0 1 2 d>r 相离 d=r 相切 d考点2

切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言

O∵ OA⊥ l 于A， OA为半径

∴ l 为⊙O的切线

Al 考点3

判断直线是圆的切线的方法：

①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）

1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与

AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O的半径．

12

D E A2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半

圆O 于点E，交AC于点C，使BEDC．

（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；

C

E

A

3.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB

为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求DE的长；

A D O· B

E C CFOBD

O

B

4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线

交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；

13

1 （2）求证：BC=2AB；

5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；

C （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数

D

E G

A B F O

6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，

（1）若∠AED＝45º．试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．

（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O半径。

D

C

A

O B E

7.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.

（1）求线段AD的长度；

14

（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由. A

D

C

O B

8.如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⌒AB 的中点，过点D作

直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F （1）求证：EF⊙是O的切线；

E

（2）若AB＝8，EB＝2，求⊙O的半径．

B D

C · F O A

AB，PO过AC的如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥

中点M，求证：PC是⊙O的切线。

15

20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C． （1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，

求⊙O的半径．

16

20．在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联

F结AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上. C（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.

（2）若OB=BD=2,求CE的长．

AOEB

20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长． CE

FA O20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E， 联结EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．

（20题图） DDB 17

20. 如图，AB是O的直径，BAC30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于

点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE.

E（1）证明CF是O的切线

(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.

M，过点M作MN//OB交CD于N 求证 MN是圆O切线

当OB=6cm，OC=8cm时，求圆O的半径及MN的长

七．切线长定理

考点速览： 考点1

切线长概念：

经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别

FNAMOBC21.如图，AB BC CD分别与圆O切于E F G且AB//CD，连接OB OC，延长CO交圆O于点

18

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，

①PA=PB ②PO平分APB． 考点3 两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：

例1 已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13㎝，PED的周长为24㎝， 求：①⊙O的半径；②若APB40，EOD的度数．

例2 如图，⊙O分别切ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BCa,ACb,ABc． （1）求AD、BE、CF的长；（2）当C90，求内切圆半径r．

A

A

D · O

19

AP· OCDBE C P D A · O B F F · O D

例3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？

3x3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点Cm,n是第4二象限内任意一点，以点C为圆心与圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.

例4 如图甲，直线y（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；

（2）如图乙，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r； （3）求m与n之间的函数关系式；

（4）在⊙C的移动过程中，能否使OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？

20

八．三角形内切圆

考点速览

考点1

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

考点2

三角形外接圆与内切圆比较：

名称 确定方法 图形 性质 （1）OA=OB=OC； 外心（三角形三角形三边外接圆的圆心） 中垂线的交点 （2）外心不一定在三角 形的内部． （1）到三边的距离相等； 内心（三角形三角形三条（2）OA、OB、OC分别平内切圆的圆心） 角平分线的分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 交点 （3）内心在三角形内部．

考点3

求三角形的内切圆的半径

Aabc1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为r.

2

2、一般三角形

①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.

cOBbECaDAFBODEC2Sr

abc（海伦公式S△＝s(sa)(sb)(sc) ， 其中s=

例1．如图，△ABC中，∠A=m°．

abc) 2 21

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数； （2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

例2．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，

求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

考点速练2

1．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ） A．（

2n2n－11n1n－1

）R B．（）R C．（）R D．（）R 2222 22

3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，

CE=4．

（1）求△ABC的三边长；

（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的

周长．

十．圆与圆位置的关系

考点速览：

1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d） 外离 外切 相交 内切 内含 23

图形 公共点 d、r、R的关系 外公切线 内公切线 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 0个 1个 2个 1个 0个 dRr 2条 2条 dRr 2条 1条 RrdRr 2条 0条 dRr dRr 1条 0条 0条 0条 2．有关性质：

（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁

外公切线 内公切线

3．相交两圆的性质

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质

定理：相切两圆的连心线经过切点

经典例题：

例1、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于为N. （1）过点A作AE//CN交⊙O1于点E.求证：PA=PE. （2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长.

C

24

P B · O

2D ·O1 N

例2 如图，在ABC中，BAC90,ABAC22，圆A的半径为1，若点O在BC

边上运动（与点B、C不重合），设BOx,AOC的面积为y. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当圆⊙O与⊙A相切时，求AOC的面积.

课堂练习：

1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）

A．0d1 B．d5 C．0d1或d5 D．0≤d1或d5 3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 5.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是

A．11 B．7 C．4 D．3

25

A B

O

C

十一.圆的有关计算

考点速览：

【例题经典】 有关弧长公式的应用

例1 如图，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度．

有关阴影部分面积的求法

例2 如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边AB4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E．求圆中阴影部分的面积．

C

D E

求曲面上最短距离

例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥， •一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它 爬行的最短路线长是（ ）

A · O B

26

A．2 B．42 C．43 D．5 求圆锥的侧面积

例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，•它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）

三、应用与探究：

1．如图所示，A是半径为1的⊙O外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积．

2．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．

3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作⊙D．（1）AC与⊙D相切吗？并说明理由．（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？

BOCFDEAB C O A 27

4、如图，已知：点D 在OC的延长线上，sinB△ABC内接于⊙O，求证：AD是⊙O的切线； （2）若AC6，求AD的长．

圆的综合测试

一：选择题

1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）

28

1，（1）D30．2D

C B A

O

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2．下列判断中正确的是（ ）

A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如上图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，

的度数为60°，

的度数为100°，则∠AEC等于（ ）

A.60° B.100° C.80° D.130°

4．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2:3:6，则∠D的度数是（ ）

A.67.5° B.135° C.112.5° D.110°

5.过⊙O内一点M的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为( ). A、3cm B、5cm C、2cm D、3cm 6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( )

A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.5

7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ） A.

11（a＋b＋c）r B.2（a＋b＋c） C.（a＋b＋c）r D.（a＋b＋c）r

328．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）

A.0＜d ＜3r B.r ＜d ＜3r C.r ≤d ＜3r D.r ≤d ≤3r

9.将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）

A．3 B．

35 C．5 D． 22A C F O B 10.如图，圆 O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若

CF:DF=1:4，则CF的长等于（ ）。

A．2 B．2 C．3 D．22

11.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的 半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），

B A

D

D C

B A C

C

29

将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）

124222C．(3)cm D．(3)cm

3322A. (23)cm B．(3)cm

12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π，过小 圆上任一点P作 大圆的弦AB，则PAPB的值是（ ） A．16 B．16 C．4 D．4 二、填空题

13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC的内切圆半径为 ．

14.如图，圆O是△ABC的外接圆，C30，AB2cm，则圆O的半径为 cm．

2C

OAB15.（1）已知圆的面积为81cm，其圆周上一段弧长为3cm，那么这段弧所对圆心角的度数是 ．

（2）如图13所示，AB、CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，以B为圆心， 以BC为半径作弧CED，则弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积为 . （3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部

A 分的面积为 .

16．如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 .cm．

2

E C O D

A O · · B B 图13

图14

30

17.如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm母线长是8cm，在点A处有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对且离圆锥顶点32cm的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .

18、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于E，AE=2、ED=6，则AB= .

19.已知矩形ABCD，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙P后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q，那么⊙Q的直径是 .

20.如图所示，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN∥AB，且MN与⊙O2相切于点C．若⊙O1的半径为2，则由O1B、弧BN、NC、弧CO1围成图形的面积等于 ．

21.如图，已知半圆O的直径为AB，半径长为

B A D

P · B · A E C · D

A ·O

· · B C

· O · Q · C M C A O2 O1 N B 25，点C在AB上，47OC,CDAB,CD交半圆O于D，那么与半圆相切，且与

4BC，CD相切的圆O的半径长是 。 三、综合题

22.以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE.

⑴请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论. ⑵当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R.

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23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，COB2PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC1AB； 2（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB4，求MN*MC的值．

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