九年级数学奥数知识点专题精讲---直线和圆的位置关系

知识点、重点、难点

直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离．与圆相交的直线叫做圆的割线，与圆相切的直线叫做圆的切线。 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R.

直线与圆相离dr直线与圆无公共点。 直线与圆相切dr直线与圆有唯一公共点。

直线与圆相交dr直线与圆有两个公共点。

圆的切线垂直于过切点的半径，圆的切线与圆心的距离等于半径。 从圆外一点P引圆的两条切线长相等，且P与圆心的连线平分这两条切线所夹的角。

弦切角等于它所夹的弧上的圆周角。

圆幂定理：包括相交弦定理、切割线定理和切线长定理。

处理直线和圆的有关几何问题的基本方法是由位置关系确定线段或角之间的数量关系，反之也可由数量关系确定直线与圆的位置关系。

例题精讲

例1：如图，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD：DC =2：1，∠C = 45°，∠ADB = 60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线。

证明：如图，作△BCD的外接圆，设圆心为O，连结OB、OC、OD、OD交BC于E.

因为∠DCB是BD所对的圆周角，∠BOD是BD所对的圆心角， ∠BCD=45°，所以∠BOD＝90°.

又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠DBC =∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°．

于是∠DOC＝30°，故∠BOC＝120°. 因为OB = OC，所以∠BCO =∠CBO=30°.

在△OEC中，因为∠EOC－∠ECO=30°，所以OE =EC.

在△BOE中，因为∠BOE = 90°，∠EBO = 30°， 所以BE =2OE=2EC.又AD = 2CD，所以

CECBEAD1D2，于是AB∥OD，故∠ABO＝90°.所以AB是△BCD的外接圆的切线。

例2：如图，在△ABC中AB = AC，过C作△ABC的外接圆的切线，交AB延长线于D.又过D作AC的垂线，E为垂足，求证：BD = 2CE.

证明一：如图，取CD的中点F，连结EF并延长交BD于G. 因为CT为切线，所以∠TCA =∠ABC，又∠FCE =∠TCA，于是∠FCE=∠ABC．又AB=AC，故∠ACB =∠ABC，所以∠FCE = ∠ACB．

在Rt△CDE中，F为斜边CD的中点，所以FE =FC，故∠FEC = ∠FCE．

由此可知∠ACB =∠FEC，于是有BC∥EG.而F为CD中点，故G为BD中点，即BD = 2BG.

由BC∥EG可得∠AGE =∠ABC=∠ACB=∠AEG，故AG = AE.而AB=AC，于是CE = BG.所以BD=2CE. 证明二：由切割线定理知CD2 = BD·AD = (AD－AB) ·AD =AD2－AB·AD，于是AD2－CD2=AB·AD. 在Rt△ADE中，AD2AE2DE2．在Rt△CDE中，

CD2CE2DE2．

所以AD2CD2AE2CE2，所以AB·AD=AE2CE2=(AE＋CE)=

(AE－CE）=(AE＋CE)·AC.

又AB = AC，故AD=AE＋CE.又AD = AB＋BD，AE＋CE＝AC＋2CE，于是AB＋BD =AC＋2CE，故BD = 2CE.

例3：如图，PA、PB是⊙O的两条切线PEC是一条割线，D是AB与PC的交点．若PE=2，CD =1，求DE的长度。

解：连结AC、BC、BE、AE、PA为切线，故∠PAE =∠PCA，于是 △PAE∽△PCA.同理可得△PBE∽△PCB. 所以

AEAPPEACCPAP,PEBPBPCPBEBC. 设DEx,于是

AEBEAPPEPE2ACBCCPBPCPx3.

因为ACBAEB180，

所以AEBESABEEDACCBSx.由此得

ABCCD2x3x,即x23x20.而x0，解此方程得x1732.于是DE1732.

例4：如图，锐角△ABC，以BC边为直径作⊙O交AB于G，过A作⊙O的切线AD，D为切点．在AB上截取AE = AD，过E作AB的垂线与AC的延长线交于F，求证：（1） AB·AC=AE·AF；（2）SABCSAEF.． 证明：（1）连结CG.因为BC是⊙O的直径，所以∠BGC = 90°.又因为EF⊥AB，所以∠BEF=90°.

故EF∥CG，于是AGAEACAF.又因为AD是⊙O的切线，AGB是⊙O的割线，所以AD2AG·AB.

又因为AD=AE，所以AE2AG·AB，即AGAEAEA.B于是AEABACAF.所以AE·AF = AC·AB；

（2）因为S1ABC2ABACsinBAC,S1AEF2AEAFsinBAC.又因为AB·AC=AE·AF，所以SABCSAEF.

例5：如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E．BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.

（1）设AD是x°的弧，要使点E在线段BA的延长线上，求x的取值范围； （2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予以证明。

解：（1）如图，当E点由右趋向于A点时，D点趋向于OS与半圆交点，此处OS⊥AB，△ADB成为等腰直角三角形。此时E点从右运动到A点时，AD为45°弧，即x=45.

当E点离开A到BA的延长线上时，离A点越远，D点就越接近A点，此时x就接近于0. D与A点重合时，x=0，故满足条件的x的取值范围是0≤x＜45°；

（2）由题设∠CDE = 90°，∠CAB=∠EBF=90°，∠ADB=90°，又AC为切线，得∠CAD=∠ABD.在四

边形ACDE中，∠C与∠DEB均为∠AED的补角，故∠DEB =∠C，于是 △ACD∽△EBD，得

ADDBACBE.又∠ABD =∠BFD，于是△ABD∽△BFD，得

ADDBABBF,故ABBFACBE.而AB=AC，则BE=BF. 例6：如左图，设凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O在AB上，且与四边形的其余三边相切，求证：AD＋BC=AB.

证明：如右图，设“另一圆”的圆心为O，AD、BC的延长线交于M点，连结OC、OD、OM，于是OC、OD分别是∠DCB和∠CDA的平分线．设MC=a，

MD =b，CD =c，⊙O的半径为r，于是SCDMSDOMSCOMSDOC12br12ar12cr12(bac)r,S1ABM2(MAMB)r. 因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以△MAB∽△MCD.故

MAaMBbABck（常数），于是MAak,MBbk,ABck，且SABM2Sk.CDM故

MAMBabck2，即akbkabck2.由此可得abk(abc)kakb－kc=MA＋MB－AB，所以AB = MA－b＋MB－a=(MA－MD)＋(MB－MC)，所以AB =AD＋BC.

A卷

一、填空题

1.若⊙O的外切等腰梯形的中位线的长为5 cm，梯形两底长的差为6 cm，则⊙O的半径长为 cm.

2. ⊙O中直径AB与弦AC的夹角是30°，过C点的切线交AB的延长线于

D.如果OD = 30 cm，那么⊙O半径的长为 cm.

3. PA、PB分别切⊙O于A、B，PO交⊙O于C，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于E和F.若OA =6，OP =10，则△PEF的周长为 。

4.若⊙O外一点P与点O的距离为4，从P向⊙O作切线，切线长与圆的半径之差为2，则圆的半径为 。 5. △ABC是⊙O的外切三角形，D是BC边上的切点。已知BD = 4，DC =3，△ABC的周长是18，那么AB的长是 。 6.等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6 cm，等腰梯形的腰等于8 cm，则该等腰梯形的面积为 cm2． 7. PT切⊙O于T，PAB为经过圆心O的割线，交⊙O于A、B两点．若PT=4，PA =2，则∠BPT的余弦值为 。

8.过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点为A 和B.若AB＝8，AB的弦心距为3，则PA的长为 。

9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°.以CD为直径的圆切AB于E点，交BC于F.AD=3，BC =4，则AB的长是 。

10.如图，切线PF切⊙O于F，割线PDC交⊙O于D、C，直径AB⊥CD，垂足为E.如果AB=7 cm，PF＝6 cm，PD＝4 cm，那么OE＝ cm.

二、解答题

11.如图，D是半圆直径AB上一点，C是半圆上的一点，FD⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于G，交圆的过C点的切线于F，求证：EF = FG.

12.如图，△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，过点D作⊙O的切线EF交AC于E.若BC=3，DE=2，求AD的长。

13.如图，OAB是以O为圆心，OA为半径的

14圆，在弧AB上任取一点P，过P作切线l，从B点作l的垂线BE交l于E，从P点作OB的垂线PF交OB于F.

（1）求∠APB的度数；（2）求证：PE =PF．

14.如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DT是圆的一条切线，T是切点，C是B在DT上的射影，求证：∠ACB=13CAO.

B卷

一、填空题

1.如图，⊙O的直径AB=2，延长AB至P，使

BP12AB，过P作⊙O的切线PC，C是切点，则弦AC的长是 。

2.如图，AB是直径，CD是弦，过C点的切线与AD的延长线交于E点。若∠A=56°，∠B = 64°，则∠CED的度数是 。

3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O切CD于点M.若这个梯形的面积是10 cm2，周长是14 cm，则半圆O的半径等于 cm.

4.如图，AC是⊙O的直径，OE⊥AD，OF⊥AB，E、F为垂足，OE =OF，AC是AD和AB的比例中项，∠BAD = 50°，则∠B的度数为 。

5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上．若AB =

a，AC=b，则⊙O的半径等于 。

6.如图，弦AC、BD相交于E，ABBCCD，∠BEC = 130°，则∠ACD的度数等于 。

7.如图，DE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，延长AB与直线DE交于C，且BC等于圆的半径。已知∠AOD = 54°，则∠ACD= 。

8.如图，四边形ABCD内接于半圆O，AD是半圆的直径，AD = 4，AB =BC = 1，则CD= 。

9.如图，△ABC中，内切圆O的半径为4，D、E、F分别是BC、AC、AB上的切点，且BD =6，CE =8，则这个三角形的最短的边长是 。

10.如图，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4 cm、6 cm，则P到BC的距离是 cm.

二、解答题

11.由钝角△ABC的钝角顶点A引高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于M、N.如果AB =c，AM=m，AN=n，求AC的边长。

12.如图，直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O的半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB．

13.如图，锐角△ABC的外接圆的切线PB、PC相交于P，M是BC的中点，证明：∠BAM =∠CAP．

14.如图，设线段AB的长为2l，中点为C，以点C为圆心，小于l的任意长为半径，在AB上方作一半圆，并从A、B作这半圆的切线，切点分别记为D、E.若DE上任意一点F处的切线与自A、B所作切线分别交于A'、B'，证明：AA'·BB'=l2．

C卷

一、填空题

1.如图，半圆的圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上，且半圆与两直角边相切。若直角三角形的面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= 。

2.如图，以AB为直径的半圆中，有一个内接正方形CDEF，边长为1，AC=a，BC=b，则a= ，b= 。

3.如图，AB为⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线，AD、BC相交于P点，且P点在⊙O上。若AC =a，BD =b，则⊙O的半径为 。

4.如图， M是弧CAB的中点，线段MP垂直于弦AB于P．若AC=a，AP = b，那么PB的长是 。

5.如图，AB是半径为a的⊙O的直径，作弦AD并延长交过B的切线于C，E为AC上的一点，且AE = CD，EF⊥AB于F.设AF=x，EF =y，则y与x的函数关系是 。

6.如图，PA切⊙O于A，PO延长后交⊙O于B，PC是∠APB的平分线，交AB于C，则∠PCA的度数是 。

7.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 。

8.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC =4，三个直角三角形△ABC、△ACD、△BCD的内切圆半径分别为r1、r2、r3，则r1＋r2＋r3的值是 。

10.如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角的度数是 。

二、解答题

11.如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD与BC交于点E，求证：EP⊥AB．

12.如图，PA、 PB切⊙O于A、B两点，过P作割线交⊙O于C、D，过B作BE∥CD，连结AE交PD于M，求证：M为DC的中点。

13.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB交OP于M，N为PM的中点，NT切⊙O于T点，求证：NT=NP.

14.如图，凸四边形ABCD内有四个小圆，每个圆都和四边形的两条边及另外两个圆相切．又知该四边形是一个圆的外切四边形，求证：上述四个圆中至少有两个圆的半径是相等的。