图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集

对角互补和角含半角旋转 真题链接

时针旋转2得到线段PQ．

BAC，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺【例1】 在△ABC中，BABC，（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；BM

（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．

（2012北京中考）

【答案】（1）补全图形，见图1；CDB30；

AM(P)QC图1B

ABPMQC图2D（2）猜想：CDB90． 证明：如图2，连结AD，PC．

-可编辑修改-

。

QBABC，M是AC的中点， BMAC．

Q点D，P在直线BM上，

PAPC，DADC．

又QDP为公共边，

ADPCDP．

DAPDCP，ADPCDP.

又QPAPQ， PQPC．

DCPPQC.DAPPQC.

QPQCDQP180，DAPDQP180.在四边形APQD中，ADQAPQ180．

QAPQ2，ADQ1802.

1CDBADQ90.2（3）的范围是4560．

课堂练习

一、对角互补旋转

【例1】 在等腰直角ABC中，ACB90o，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，

MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

AMQQPBCPBAM

o【答案】连接．因为ACBC且ACB90，所以B45o．

C

因为M是AB的中点，所以AMCBMC90o，ACM45o且CMBM，则ACMB． 因为MQMP，所以QMC90oCMPPMB，所以QCM≌PBM， 所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变． MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；

-可编辑修改-

。

当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．

【例2】 如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD

的面积是16，求DP的长．CM

DDECC

【答案】如图，过点D作，延长BC交DE于点E，容易证得ADP≌CDE（实际上就是把ADP逆时针

旋转90，得到正方形DPBE）

APBAPB∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴DP4．

【例3】 在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，ABCAED180o，连接AD．求证：

AD平分CDE．

AAFBCDEBCDE

【答案】连接AC．由于ABAE，ABCAED180o．

AEFAEDABCAED180o，

我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC． 所以DFDEEFDEBCCD． 在ACD与AFD中，

因为ACAF，CDFD，ADAD， 故ACD≌AFD，

因此ADCADF，即AD平分CDE．

【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线yx6与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求∠BAO的度数；

（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在

AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．

求证：PF＝PQ；

-可编辑修改-

。

（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

图1

图2

【答案】（1）直线yx6与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（－6，0），B（0，6）． ∴OA=OB．

∴BAOABO

在△AOB中，AOB90． ∴BAOABO45． （2）在等腰直角三角形APD中，

PDA90，DA=DP，1APD45．

∴DP⊥AD于D． 由（1）可得BAO45． ∴BAO1． 又∵PG⊥x轴于G， ∴PG = PD．

∴AGPPGFD90． ∴4BAO45． ∴4APDDPG90． 即3GPQ90． 又∵PQ⊥PF， ∴2GPQ90． ∴23．

在△PGF和△PDQ中，

PGFD, PGPD,23,y

∴△PGF≌△PDQ（ASA）． ∴PF=PQ．

-可编辑修改-

。

y B D Q 1 3 B P D 4 1 2 3 H P 4 2 E 5 7 6 F x

A G O A 图1 3）答：OP⊥DP，OP＝DP．

证明：延长DP至H，使得PH=PD． ∵P为BE的中点， ∴PB=PE．

在△PBH和△PED中，

PBPE,12, PHPD,∴△PBH≌△PED（SAS）． ∴BH=ED． ∴34． ∴BH∥ED．

在等腰直角三角形ADE中，

AD=ED，DAEDEA45．

∴AD=BH，DAEBAODAO90. ∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴． ∴DAOHBO90． 由（1）可得 OA=OB． 在△DAO和△HBO中，

ADBH,DAOHBO, OAOB,∴△DAO≌△HBO（SAS）． ∴OD=OH，∠5=∠6． ∵AOB5DOB90, ∴DOH6DOB90. ∴在等腰直角三角形△DOH中， ∵DP=HP，

-可编辑修改-

O x 图2

（

。

∴OP⊥DP，71DOH45. 2∴ODP7．∴OP=PD．

二、角含半角旋转

【例5】 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足，求证：

AHAB．

ADFHBECGBEHCADF

【答案】延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证△ABG≌△ADF，∠BAG∠DAF，AGAF．

再证△AEG≌△AEF，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有AHAB．

【例6】 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆的中点，AB2，等腰直角三角板45角的顶点与点

当此三角板绕点P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于C、设P重合，D两点．线段AD的长为x，线段BC的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）．

P

ACODByyyy2222A．

1 B．

1C．1 D．1

O12xO12xO12xO12x（2014海淀一模）

【答案】C

【解析】由角中半角可知，AC2BD2CD2，ADx，BCy，AB2，AC2y，BC2x，

-可编辑修改-

。

CDxy2，(2y)2(2x)2(xy2)2，

44yy244xx2x2y242xy4x4y，2xy4，xy2，y2，1≤x≤2． x故选C．

【例7】 阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF45，连结

EF，则EFBEDF，试说明理由．DEDP

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题AD：

（1）如图3，四边形ABCD中，ABAD，DAE45BAD90，点E，F分别在边BC，CD上，

EAF45．若B，D都不是直角，则当B与D满足__________关系时，仍有EFBEDF；

（2）如图4，在△ABC中，BAC90，ABAC，点D、E均在边BC上，且，若BD1，CE2，求DE的长．

-可编辑修改-

。

（1）BD180（或互补）．

（2）∵ABAC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90至△ACG，可使AB与AC重合．

BACG， BDCG， ADAG

∵△ABC中，BAC90， ∴．

即ACBACGACBB90ECG90． ∴EC2CG2EG2． 在△AEG与△AED中，

EAGEACCAGEACBAD90EAD45EAD．又∵ADAG，AEAE，CGBD ∴△AEG△AED． ∴DEEG． 又∵，

-可编辑修改-

2014东城一模）（

【答案】

。

∴BD2EC2DE2． ∴DE5．

【例8】 如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF45，连接EF，则EF、BE、

FD之间的数量关系是：EFBEFD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2BM2DN2，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中， ABAC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当BAC60，DAE30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________；

1②如图3，当BAC(090)，DAE时，BD、DE、CE应满足的等量关系是

2__________．【参考：sin2cos21】

BEMNCF图1AAA

DBD图2ECBDE图3C（2014平谷一模）

【答案】（1）在正方形ABCD中，ABAD，BAD90，

ABMADN45．

BEAMNM'CFD

把△ABM绕点A逆时针旋转90得到△ADM． 连结NM．则DMBM，AM'AM，

ADMABM45，DAMBAM．

∵EAF45，

∴BAMDAN45，

DAMDAF45， MANMAN45．

-可编辑修改-

。

∴△AM'N△AMN．

NMN． ∴MN中，MDNADNADM90， 在△DM∴MN2DN2DM2， ∴MN2DN2BM2．

（2）①DE2BD2BDECEC2； ②DE2BD22cosBDECEC2．

【例9】 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ABBCCD，点M，N分别在AD，CD上，

1若MBNABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不

2用证明；

问题2：如图2，在四边形ABCD中，ABBC，ABCADC180，点M，N分别在DA，CD的延

1长线上，若MBNABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关

2系？写出你的猜想，并给予证明．

（2013东城一模）

【答案】解：（1）猜想的结论：MNAMCN．

（2）猜想的结论：MNCNAM． 证明：在NC截取CFAM，连接BF． ∵ABCADC180， ∴DABC180． 又∵DABMAB180， ∴MABC． ∵ABBC，AMCF， CFB． ∴△AMB△-可编辑修改-

。

∴ABMCBF ，BMBF． ∴ABMABFCBFABF． 即MBFABC． 1∵MBNABC， 21∴MBNMBF． 2即MBNNBF． 又∵BNBN，BMBF， ∴△MBN△FBN． ∴MNNF． ∵NFCNCF， ∴MNCNAM． AC所在直线上分别有两点M、N，【例10】 在等边ABC的两边AB，且MDN60，D为ABC外一点，

AC上移动时，BM，N分别在直线AB，BN，MN之间BDC120，BDCD，探究：当点M，的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

NAAAMBD图①NCBNMCMBCD图③D图②

AC上，且DMDN时，BM，N在边AB，NC，MN之间的数量关系式（1）如图①，当点M，_________；此时

Q__________ LAC上，且DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？N在边AB，（2）如图②，当点M，写出你的猜想并加以证明；

N分别在边AB，CA的延长线上时，若ANx，则Q_________（用x，L（3）如图③，当点M，表示）

【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个影印部分全等

-可编辑修改-

。

NNAABMDM/CBMDM/C

三、线段的旋转

【例11】 在△ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且

0180，连接AD，BD．

（1）如图1，当BAC100，60时，CBD的大小为__________； （2）如图2，当BAC100，20时，求M的大小；

（3）已知BAC的大小为m（60m120），若M的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．

AADBC

DBC

图1 图2 （2014海淀一模）

【答案】（1）30；

ADBC

F（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF． ∴AFFCAC，FACAFC60．

-可编辑修改-

。

∵BAC100，ABAC， ∴ABCBCA40． ∴DCB20．

∴DCBFCB20．① ∵ACCD，ACFC， ∴DCFC．② ∵BCBC，③

∴由①②③，得△DCB△FCB， ∴DBBF，DBCFBC． ∵BAC100，FAC60， ∴BAF40．ACD20ACCD ∵ACD20 ∴CAD80． ∴DAF20．

∴BADFAD20．④ ∵ABAC，ACAF， ∴ABAF．⑤ ∵ADAD，⑥

∴由④⑤⑥，得△DAB△DAF． ∴FDBD． ∴FDBDFB． ∴DBF60． ∴CBD30．

（3）120m，60或240m．

【例12】 已知：在△ABC中，ABCACB，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋

转与过点A且平行于BC边的直线交于点E．

（1）如图1，当60时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系__________； （2）如图2，当45时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

（3）如图3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：__________．（用含的式子表示，其中090）

-可编辑修改-

。

（1）BDAE；

（2）BD2AE；理由如下： 过点D作DF∥AC，交BC于F． ∵DF∥AC， ∴ACBDFC．

∵ABCACB，45， ∴ABCACBDFB45． ∴△DFB是等腰直角三角形 ∴BDDF22BF． ∵AE∥BC，

∴ABCBAE180． ∵DFBDFC180， ∴BAEDFC．

∵ABCBCDADC，ABCCDE，∴ADEBCD．

∴△ADE∽△FCD． ∴

AEDFADCF． ∵DF∥AC， ∴BDBFADCF． ∴

AEBDBDBF22． ∴BD2AE．

-可编辑修改-

（2014门头沟一模）

【答案】 。

AADEED

BF（3）补全图形如图，

CBC关系：BD2cosAE．

四、其他旋转综合

【例13】 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构

成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，旋转角为． （1）当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角的值；

（2）如图2，G为BC中点，且090，求证：GD'E'D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．

（2014密云一模）

【答案】（1）∵DC∥EF

∴DCD'CD'E ∴sinCECE1 CD'CD2∴30．

（2）∵G为BC中点， ∴GCCG'CE1

∵D'CGDCGDCD'90

DCE'D'CE'DCD'90

-可编辑修改-

。

∴D'CGDCE' 又∵CD'CD ∴△GCD△E'CD ∴GD'E'D．

（3）能，=135或=315

【例14】 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是

正方形．AE的中点是M．

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FMMH，

FMMH；

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

G(N)FHFGNHFGNBAABC(M)图1DEBCDM图3HCM图2DEAE【答案】（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵点N与点G重合，点M与点C重合，

∴FBBM MGMD DH，FBMMDH 90． ∴FBM≌ MDH． ∴FMMH．

∵FMBDMH 45， ∴FMH  90．∴FMHM．

FGNHBAPCMED

（2）证明：连接MB、MD，如图，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点， ∴MD∥BC，

且MDBCBF；MB∥CD， 且MBCDDH．

∴四边形BCDM是平行四边形．

-可编辑修改-

。

∴CBM CDM． 又∵FBP HDC， ∴FBM MDH． ∴FBM≌ MDH．

∴FM  MH，且MFB HMD．

∴FMH FMDHMD APMMFB FBP  90． ∴FMH是等腰直角三角形． （3）是．

【例15】 如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE2，AB1．将直线

交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、EB绕点E逆时针旋转45，

E两点间的距离为k．

解答问题：

（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得②在平移过程中，

AD的值为__________； DMAD的值为__________（用含k的代数式表示）； DM（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算

AD的值； DM（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，0≤90，原题中的其他条件保持不变．计算

AD的值（用含k的代数式表示）． DM

（2013初三上海淀期末）

【答案】（1）①1；

②

k； 2（2）连结AE．

∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE2，AB1， ∴EF2，BC1，DEF90，4545， ∴DF22，AC2，EFB90． ∴DF2AC，AD2，

-可编辑修改-

。

∴点A为CD的中点．

∴EADF，EA平分DEF，

∴MAE90，AEF45，AE2． ∵BEM45，

∴123245． ∴13． ∴△AEM∽△FEB． ∴

AMAE BFEF2． 22． 2∴AM∴DMADAM2∴

AM1． DM

（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连结AG、BG． ∴EBG90． ∵BEM45， ∴EGBBEM45． ∴BEBG．

∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BABC，ABC90． ∴1=2．

CBE． ∴△ABG△∴AGECk，34． ∵3+6=54=45， ∴6=5． ∴AG∥DE．

-可编辑修改-

。

△DEM． ∴△AGM∽∴

AMAGk． DMDE2

课后作业

证：DEBF．

【练1】 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF． 求

ADEFBC

【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，

BADADEABF90．因为EAAF，

所以BAFBAEBAEDAE90，所以

BAFDAE，故RtABF≌RtADE，故DEBF．

【练2】 如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的

度数．

DCDCQAPBQAPBF

【答案】把CDQ绕点C旋转90到CBF的位置，CQ=CF．

∵AQ+AP+QP=2，

又AQ+QD+AP+PB=2，∴QD+BP=QP．

又DQ=BF，∴PQ=PF．∴QCPFCP．∴QCPFCP． 又∵QCF90，∴PCQ45．

【练3】 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120o的等腰三角形，以D为顶点作一个

60o的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

-可编辑修改-

。

AANNMCMBDBDCE

【答案】如图所示，延长AC到E使CEBM．

所以BDM≌CDE，故MDED．

在BDM与CDE中，因为BDCD，MBDECD90o，BMCE， 因为BDC120o，MDN60o，所以BDMNDC60o． 又因为BDMCDE，所以MDNEDN60o．

在MND与END中，DNDN，MDNEDN60o，DMDE， 所以MND≌END，则NEMN，所以AMN的周长为2．

-可编辑修改-

。

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-可编辑修改-