圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段F1F2。 ②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质： x22标准方程 ayb221(ab0)中ya22xb221(ab0) 心在原点，焦点在x轴上 中心在原点，焦点在y轴上 图形 范围 顶点 xa，yb A1a，0、A2a，0B10，b、B20，b xb，ya A10，a、A20，aB1b，0、B2b，0 x轴、y轴； x轴、y轴； 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 F1c，0、F2c，0 F1F22c(c0) eca(0e1) 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 F10，c、F20，c F1F22c(c0) eca(0e1) xxa22a2c ya22yx22a2c 参数方程与普通方程 bxacos为参数 ybsiny221的参数方程为 byacos为参数 xbsin1的参数方程为 3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，Px0，y0是椭圆上任一点，则PF1aex0，PF2aex0。

推导过程：由第二定义得

PF1d1e（d1为点P到左准线的距离），

2a则PF1ed1ex0ex0aaex0；同理得PF2aex0。

c简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 xamx222yb2221；若焦点在y轴上，则为

ya22xb221。有时为了运算方便，设

ny1(m0,mn)。

双曲线的定义、方程和性质

1． 定义

（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明：

①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；

若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。

（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 2． 双曲线的方程及几何性质 标准方程 xa22yb221(a0,b0) ya22xb221(a0,b0) 图形 焦点 顶点 对称轴 离心率 F1（-c，0），F2（c，0） A1（a，0），A2（-a，0） 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 ecaaF1（0，-c），F2（0，c） A1（0，a），A2（0，-a） 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2 ecaa2|MF2||MD|ac 22|MF2||MD|ac 2准线方程 l1:xc,l2:x l1:yc,l2:y 准线间距离为2a c2准线间距离为2a c2渐近线方程 xayb0,xayb0 xbya0,xbya0 3． 几个概念 （1） （2）

等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：

xa22yb221的共轴双曲线是

xa22yb221。

① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e1时，表示双曲线；当e1时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2pxp0，

2x22pyp0，其中：

① 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，

张口越大；

p2等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。

三、求抛物线标准方程

求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.

① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。

注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为yax或

x22ay，这样可避免讨论。

② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

四、抛物线的简单几何性质 方程 性质 设抛物线y2pxp0 2焦点 pF,0 2范围 x0 对称性 关于x轴对称 顶点 原点 14离心率 e1 准线 xp2通径 2p 注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的；

② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，

数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。

五、直线与抛物线有关问题

1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如axbxc0（*）的式子：

① 当a0时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；

② 当a0时，若△＞0（*）式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交； 若△=0 （*）式方程有两组相同的实数解 直线与抛物线相切；

若△＜0（*）式方程无实数解 直线与抛物线相离.

2．直线与抛物线相交的弦长问题

① 弦长公式：设直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2，则AB或AB11k221kAB2xAxB

yAyB.

② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：

2抛物线y2pxp0上一点Mx0,y0的焦半径长是MFx0p2，抛物线

x22pyp0上一点Mx0,y0的焦半径长是MFy0p2

六、抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB为过抛物线y2pxp0焦点的弦，设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AB的倾斜角为，则

2① x1x2 ② ABp242p2,y1y2p；

2sinx1x2p；

2③以AB为直径的圆与准线相切；

④弦两端点与顶点所成三角形的面积SAOB⑤

1FA1FB2pp2sin；

；

⑥ 焦点F对A、B在准线上射影的张角为900； 七、抛物线有关注意事项

1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问

题时不能忽视0这个条件。

2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.