高中数学选择性必修修二课时分层作业14

基础考点 分组训练

知识点1 几个常用函数的导数公式的应用

1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝1

4，则α等于( )

A．13

B．12

C．18

D．14

D 解析：∵f(x)＝xα， ∴f′(x)＝αxα－

1， ∴f′(1)＝α＝1

4

.

2．(5分)给出下列结论： ①若f(x)＝13

x3，则f′(x)＝－x4；

②若f(x)＝3

x，则f′(x)＝133x；

③若f(x)＝3，则f′(1)＝0. 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3

D．0

3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝13

x上切线的倾斜角为4π的点的坐标为( A．(1,1) B．(－1，－1)

C．1

－2，－2

D．－12，－2

AB 解析：切线的斜率k＝tan 3

4

π＝－1，

1 / 7

)

设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，

11

又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，

x2x20∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB．

4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l

与y轴的交点的坐标为________．

(0，－a2) 解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．

令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)． 知识点2 基本初等函数的导数

π5．(5分)若函数f(x)＝cosx，则f′＝( )

2

A．0 C．－1

C 解析：∵f′(x)＝－sinx， ππ∴f′＝－sin＝－1. 22

6．(5分)已知函数f(x)＝2x，则f′(x)＝( )

－

B．1 π

D． 2

1A．－xln 2 21B．xln 2 21C．xlog2e 211 D．x

2ln 2

1－

A 解析：∵f(x)＝2x＝x，

2111∴f′(x)＝xln＝－xln 2. 222

7．(5分)给出下列结论： ①(cosx)′＝sinx； ππ②sin′＝cos； 33

2 / 7

11

③若y＝，则y′＝－；

x2x④－



11

. ′＝

x2xx

其中正确的个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．3

π331B 解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝(x

32x22－2－1

)′＝，所以③错误.′＝

x3x

12xx

－2

＝，所以④正确.

8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．

eln 3 解析：设切点为(x0，y0)． 因为y′＝3xln 3，① 所以k＝3x0ln 3， 所以y＝3x0ln 3·x.

又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上， 所以3x0ln 3·x0＝3x0，② 1

所以x0＝＝log3e.

ln 3所以k＝eln 3.

9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.

1 解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x， 1

所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，

x

1

f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，

x1

解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.

2

1

10.(5分)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.

2

ln 2－1 解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.

3 / 7

1

∵y′＝(ln x)′＝，

x∴11＝， x02

∴x0＝2，y0＝ln 2.

1

由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.

2

能力提升练

能力考点 适度提升

11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝( ) A．sinx C．cosx

C 解析：f0(x)＝sinx， f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，

f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2 020(x)＝f4(x)＝cosx.

B．－sinx D．－cosx

A． C．16

B．32 D．8

13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是

________．

32

解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为8

4 / 7

(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，

1111∴x0＝，y0＝.即P，到直线y＝x－1的距离最短． 2424

∴d＝

1－1－12432

12＋12

＝

8

.

14.(5分)下列结论正确的有________．

①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32； ②若f(x)＝

1x

，则f′(2)＝－

2

； 2

15

③若f(x)＝，则f′(1)＝－；

2x2·x④若f(x)＝x5，则f′(－1)＝－5.

①③④ 解析：对于①，f′(x)＝4x3，f′(2)＝4×23＝32，正确；

－

15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为

________．

11

x－ey＝0 解析：∵f′(x)＝(ln x)′＝， ex1∴f′(e)＝.

e

1

∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.

e

16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝

5 / 7

________.

1

1 解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝(x>0)，

x1

所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，

x1

解得x＝1或x＝－.

2因为x＞0，所以x＝1. 17.(10分)求下列函数的导数． 1(1)y＝；

x4(2)y＝xx； xx

(3)y＝2sincos.

22

14－－

解：(1)∵y＝＝x4，∴y′＝－4x5＝－.

x4x5

xx

(3)∵y＝2sincos＝sinx，

22∴y′＝cosx.

18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点． 过P点的切线的斜率k1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝4，

过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0，

过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

4－1

(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，

2＋1设切点坐标为M(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0＝1， 111所以x0＝，所以切点M，， 224

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11

与PQ平行的切线方程为y－＝x－，

42即4x－4y－1＝0.

7 / 7