2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A＝{3，4，5，6}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（ ） A．{2，3，4}
B．{3，4，5}
C．{2，3，4，5}
D．{3，4，5，6}
2．（5分）复数z的共轭复数是A．
B．
（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
C．
D．
3．（5分）已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则向量与夹角的大小为（ ） A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
4．（5分）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为（ ） A．12.4 5．（5分）已知A．
B．﹣1 B．12.3
，
C．
C．12.2
D．12.1
，则tanα的值为（ ）
D．﹣2
6．（5分）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ） A．18倍 7．（5分）已知函数值”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B．24倍
C．36倍 ，则“
D．48倍
”是“f（x）在x＝x0处取得最大
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（ ） A．C．
B．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科
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学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是（
）
A．年均增长率逐次减小
B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56% C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大
10．（5分）把函数f（x）＝cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（ ） A．函数g（x）的最小正周期为π
B．直线x＝π是函数g（x）图象的对称轴 C．函数g（x）在区间D．点
上的最小值为﹣1
为函数g（x）的图象的一个对称中心
，则下列关系式中可能成立的是（ ） C．y＞z＞x
D．z＞y＞x
，若用一
11．（5分）已知实数x，y，z满足A．y＝z＞x
B．z＝x＞y
12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝
个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是（ ）
第2页（共18页）
A．异面直线AB与CD所成的角为90° B．平面α截四面体ABCD所得截面周长不变 C．平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形 D．该四面体的外接球表面积为6π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）求值：＝ ．
14．（5分）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 ．
15．（5分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2+1），3]，
，若∀x1∈[﹣1，
，f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为（3，4），z2对应的向量坐标为（0，1），且zz1＝﹣1+7i（其中i为虚数单位）． （1）求z； （2）求|（z+i）z2|．
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2
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA﹣sinC）＝sin2B﹣sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，△ABC的面积为
，求△ABC的周长．
19．（12分）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，（时间均在[0，6]内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．
（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．
20．（12分）如图，在△ABC中，靠近点C，设
＝，
，
＝． ；
|．
，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且
（1）用，表示
（2）如果∠ACB＝60°，AC＝2，且CD⊥EF，求
21．（12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，
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，点E为线段AB上一点，
AE＝1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射
影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B'﹣AECD．
（1）在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'AD？若存在，求值，若不存在，请说明理由；
（2）在图2中求二面角B'﹣EC﹣D的大小．
的
22．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣1|．
（1）试判断函数f（x）的单调性，并画出函数f（x）图象的草图；
（2）若关于x的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
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2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A＝{3，4，5，6}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（ ） A．{2，3，4}
B．{3，4，5}
C．{2，3，4，5}
D．{3，4，5，6}
【解答】解：∵集合A＝{3，4，5，6}，集合B＝{x|2≤x＜6}， ∴A∩B＝{3，4，5}． 故选：B．
2．（5分）复数z的共轭复数是A．
B．
（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
C．
D．
【解答】解：∵复数z的共轭复数是∴z＝1﹣
i，
，
（其中i为虚数单位），
则z的虚部﹣故选：D．
3．（5分）已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则向量与夹角的大小为（ ） A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ， 向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则||＝故cosθ＝
＝
＝﹣
，
，||＝
，•＝﹣5，
又由0°≤θ≤180°，则θ＝135°， 故选：D．
4．（5分）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为（ ） A．12.4
B．12.3
C．12.2
D．12.1
＝
【解答】解：根据题意，一组数据如下：1，2，5，6，11，其平均数＝5，
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则其方差S2＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（11﹣5）2]＝12.4， 故选：A． 5．（5分）已知A．
B．﹣1
，，
C．
，
，则tanα的值为（ ）
D．﹣2
【解答】解：∵∴2sinαcosα＝﹣sinα， ∴cosα＝﹣． ∵∴α＝
．
＝﹣tan
＝﹣
．
，
∴tanα＝tan故选：A．
6．（5分）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ） A．18倍
B．24倍
C．36倍
D．48倍
【解答】解：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长， 经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a（1+6.25%）30＝6a，
∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y＝a（1+6.25）60＝a[（1+6.25%）30]2＝36a． ∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍． 故选：C． 7．（5分）已知函数值”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【解答】解：
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，则“”是“f（x）在x＝x0处取得最大
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
，
所以当所以“故选：A．
，时，f（x）有最大值2；
”是“f（x）在x＝x0处取得最大值”的充分不必要条件．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（ ） A．C．
B．D．
，∴A错误， ＝
＝，＝﹣，
＝1，∴＝﹣1，∴
＜0，∴B正确， ＜＞
，∴C错误， ，∴D错误，
【解答】解：A、∵a＞b＞0，∴＜，∴B、∵a＞b＞0，∴
﹣＝
C、当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，∵D、当a＝8，b＝1，c＝﹣1时，故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是（
）
A．年均增长率逐次减小
B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56% C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小 D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大
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【解答】解：由图可知，第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故选项A错误；
第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是2.09%﹣0.53%＝1.56%，故选项B正确； 由图可知，这七次普查的人口数逐次增加，且第七次增幅最小，故选项C错误； 由图可知，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故选项D正确． 故选：BD．
10．（5分）把函数f（x）＝cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（ ） A．函数g（x）的最小正周期为π
B．直线x＝π是函数g（x）图象的对称轴 C．函数g（x）在区间D．点
上的最小值为﹣1
为函数g（x）的图象的一个对称中心
【解答】解：由题意知，g（x）＝cos（2x+1）， 对于A，最小正周期T＝
＝π，即选项A正确；
+，k∈Z，显然x＝π不
对于B，令2x+1＝kπ，k∈Z，则g（x）图象的对称轴为x＝符合，即选项B错误； 对于C，∵当2x+1＝π，即x＝对于D，令2x+1＝
，∴2x+1∈[0，4]， 时，f（x）min＝f（+kπ，k∈Z，则x＝
﹣+
﹣+
）＝﹣1，即选项C正确；
，k∈Z，
∴g（x）图象的对称中心为（，0）k∈Z，
﹣，0），即选项D正确．
当k＝0时，g（x）图象的对称中心为（故选：ACD．
11．（5分）已知实数x，y，z满足A．y＝z＞x 【解答】解：如图，
B．z＝x＞y
，则下列关系式中可能成立的是（ ） C．y＞z＞x
D．z＞y＞x
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x，y，z的关系有下列三种情况：y＞z＞x，y＝z＞x，z＞y＞x，由图象可看出，z与x不可能相等，∴B错误，ACD都正确． 故选：ACD．
12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝
，AC＝AD＝BC＝BD＝
，若用一
个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是（ ）
A．异面直线AB与CD所成的角为90° B．平面α截四面体ABCD所得截面周长不变 C．平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形 D．该四面体的外接球表面积为6π
【解答】解：对于A，如图，取CD得中点E，连接BE和AE， ∵BC＝BD，AC＝AD， ∴BE⊥CD，AE⊥CD，
又∵BE∩AE＝E，且BE，AE⊂平面ABE， ∴CD⊥平面ABE， ∵AB⊂平面ABE， ∴CD⊥AB，
第10页（共18页）
即异面直线AB与CD所成的角为90°，故A正确； 对于B，如图，平面α与四面体的交点分别为F，G，H，P， ∵AB∥α，AB⊂平面ABC，且平面ABC∩α＝FG， ∴AB∥FG，则FG＝同理得GH＝∵AB＝CD＝
，PH＝
，
，FP＝
，
， ，
，AC＝AB＝BC＝BD＝
∴FG+GH+PH+FP＝（CG+AG+DP+BP）＝2AB＝2
即平面α截四面体ABCD所得截面周长不变，为2，故B正确；
对于C，当CG＝AG＝DP＝BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH∥CD， ∴GH⊥AB，
∵FG∥AB且FG、AB共面， ∴FG⊥GH，
所以四边形FGHP为正方形，故C错误；
对于D，作AB的中点Q，连接EQ，取EQ中点T，易得TA＝TB＝TC＝TD， 则T为四面体ABCD外接球的球心，AE＝BE＝∴EQ＝则半径R＝TA＝
，
，
，
∴S＝4πR²＝4π×＝6π，故D正确． 故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
第11页（共18页）
13．（5分）求值：＝ 5 ．
【解答】解：原式＝故答案为：5．
．
14．（5分）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为 0.994 ．
【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7， 则三人都没有中靶的概率P′＝（1﹣0.8）（1﹣0.9）（1﹣0.7）＝0.006， 则三人中至少有一人中靶的概率P＝1﹣P′＝0.994； 故答案为：0.994．
15．（5分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为
．
【解答】解：如图，取D1C中点O，连接DO、OB，则DO⊥D1C， ，∵∵EF∥DB，
∴∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角， ∵DB＝2DO，∴∠DBO＝故答案为：
．
．
，∴DO⊥BC，∴DO⊥面D1BC，
第12页（共18页）
16．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2+1），3]，1+
，+∞） ．
，若∀x1∈[﹣1，
]∪[﹣
，f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是 （﹣∞，﹣1﹣
【解答】解：记f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为[f（x）]min，g（x）在区间的最大值为[g（x）]max，
由题意可知[f（x）]min≥[g（x）]max， 由由
，可得[f（x）]min＝0，
，可得
，
由gmax（x）≤0，得
解之，得或，
，
]∪[﹣1+
，+∞）．
所以，m的取值范围是故答案为：（﹣∞，﹣1﹣
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为（3，4），z2对应的向量坐标为（0，1），且zz1＝﹣1+7i（其中i为虚数单位）． （1）求z； （2）求|（z+i）z2|．
【解答】解：（1）由题意知z1＝3+4i， 解方程zz1＝﹣1+7i，得化简得
，
．
第13页（共18页）
（2）由题意知z2＝i，则（z+i）z2＝（1+2i）i＝﹣2+i， 所以|（z+i）z2|＝|﹣2+i|＝
＝
．
2
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA﹣sinC）＝sin2B﹣sinAsinC．
（1）求B；
（2）若b＝1，△ABC的面积为
，求△ABC的周长．
2
【解答】解：（1）将（sinA﹣sinC）＝sin2B﹣sinAsinC，展开得sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac， 由余弦定理得因为0＜B＜π， 所以
．
，
（2）根据余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac， 因为△ABC的面积为
，所以ac＝1，
因为b＝1，所以1＝（a+c）2﹣3，解之，得a+c＝2， 所以△ABC的周长为a+c+b＝3．
19．（12分）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，（时间均在[0，6]内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．
（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．
第14页（共18页）
【解答】解：（1）由于0.05+0.15+m+n+0.11+0.04＝1，则m+n＝0.65， 且0.05+0.15+m+（3.5﹣3）×n＝0.7，则m+0.5n＝0.5， 于是那
， 么
平
均
值
，
（2）由于第二组和第四组的频率之比为：
，
为
则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人， 设两个人来自于不同组为事件A， ∵基本事件总数为
＝15，，
•
＝8，
事件A包含的基本事件数为∴p（A）＝
．
20．（12分）如图，在△ABC中，靠近点C，设
＝，
，
＝． ；
，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且
（1）用，表示
（2）如果∠ACB＝60°，AC＝2，且CD⊥EF，求|．
【解答】解：（1）由图可得
＝＝
；
＝
，
第15页（共18页）
（2）由（1）可知，所以
，
，
由||＝2，可得||＝3， 则＝
＝
＝
．
，点E为线段AB上一点，
21．（12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，
AE＝1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B'﹣AECD．
（1）在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'AD？若存在，求值，若不存在，请说明理由；
（2）在图2中求二面角B'﹣EC﹣D的大小．
的
【解答】解：（1）在B'C上取点F，使得
，
过F作CD的平行线交B'D于M点，连接EF，AM， 因为MF∥CD且又AE∥CD且
，
，
所以AE∥MF且AE＝MF， 故四边形AEFM为平行四边形， 故EF∥AM，
又EF⊄平面B'AD，AM⊂平面B'AD， 所以EF∥平面B'AD；
（2）如图，记点B'在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B'N，
第16页（共18页）
因为CE⊥ON，CE⊥B'O，ON∩B'O＝O，ON，B'O⊂平面B'ON， 所以CE⊥平面B'ON，又B'N⊂平面B'ON， 所以CE⊥B'N，
则∠B'NO为二面角B'﹣CE﹣D的平面角， 在矩形ABCD中，BE＝3，又△EBN∽△OBA，所以故
，则
，则CE＝9，，可得
，
，
，EN＝1，
所以二面角B'﹣EC﹣D的大小为60°．
22．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣1|．
（1）试判断函数f（x）的单调性，并画出函数f（x）图象的草图；
（2）若关于x的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【解答】解：（1）
当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）为单调减函数，值域为（0，1）； 当x∈[0，+∞）时，函数f（x）为单调增函数，值域为[0，+∞）． 画出函数f（x）的草图，如图所示：
第17页（共18页）
（没有画渐近线的扣1分）
（2）∵关于的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不等实数根． 设t＝f（x）∈[0，+∞），结合图象可知，
一元二次方程2t2﹣4mt+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根t1，t2，满足下列情况时符合题意：
①当0＜t1＜1，t2＜0时，则有
解之，得
；
②当t1＝0，t2≥1时，则由t1＝0得，代入方程得不合题意；
，
③当t1＝t2∈（0，1）时，则△＝16m2﹣8（5m﹣2）＝0，解之，得m＝2或当m＝2时，t1＝t2＝2（舍去），
时，
符合题意；
④当t1≠t2且都在[1，+∞）内时，则有得m＞2．
综上所述，m的范围是
．
第18页（共18页）
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