华中师范大学微分几何精彩试题问题详解(06-09)

华中师范大学 2004 –2005 学年第二学期

期末考试试卷（A卷）答案

课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 周振荣

题型 填空 计算 证明 应用 总分 分值 得分

得分 评阅人 一、填空题：（共5题，每题2分，共10分）

10 70 10 10 100

1．曲线的伏雷内公式为

kk 2．设曲面的参数表示为rr(u,v)，则|rurv|用第一基本量表示为EGF2 3．曲面的高斯方程为 RmijkLmkLijLmjLik

4．曲面的科达齐方程为

LijukLikll(LikljijLlk) jul5．第二类克氏符号ijl1klgilgjlgijg(jii) 2uuul

得分

1．圆柱螺线的参数表示为r(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平

评阅人 二、计算题：（共3题， 70分）

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面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）

解：r(0){1,0,0},r(0){0,1,1},r(0){1,0,0}，所以

切线：

X10X1Y0Z0，即 011YZ0法平面：(X1)0(Y0)1(Z0)10，即YZ0

X1Y密切平面：

Z10，即YZ0 00110

r(t){cost,sint,t},r(t){sint,cost,1}

r(t){cost,sint,0},r(t){sint,cost,0}。

|r| k2,rr{sint,cost,1},|rr|2，

|rr|1 3|r|2(r,r,r)1

(rr)2222 2．计算抛物面zxy的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）

解：

r{x,y,x2y2}，rx{1,0,2x},ry{0,1,2y}， rxx{0,0,2},rxy{0,0,0},ryy{0,0,2}

n所以有

rxry|rxry|{2x,2x,1}8x12 Erx214x2,Frxry4xy,Gry214y2 Lrxxn214x4y22，Mrxyn0，Nryyn214x4y22

I(14x2)dx28xydxdy(14y2)dy2

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II214x24y2dx2214x24y2dy2

LNM24K 2222EGF(14x4y)LG2MFNE24x24y2H

2(EGF2)(14x24y2)3/2

在脐点有III，由此得xy0，即唯一的脐点是原点。

得分 评阅人 三、证明题：（共1题， 10分）若曲面的两族渐近线

交于一定角，则主曲率之比为常数。

证明：取渐进网为曲纹坐标网， 则v曲线与u曲线的夹角为常数， 且v曲线方向的法曲率为零。

22根据欧拉公式有k1cosk2sin0

k1sin2 2k2cos

得分 评阅人 四、应用题：（共1题， 10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。

解：

k1k20

Kk1k20

由于在测地线上kg0 由高斯-波涅公式有

Kd20。 矛盾

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华中师范大学 2005 –2006 学年第二学期

期末考试试卷（A卷）

课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 周振荣

题型 叙述 填空 计算 证明 总分 分值 得分

得分 评阅人 一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分）

10 30 30 30 100 1．高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或KR1212/g

2．高斯-波涅公式：Kdgds(i)2,其中i是G的第i个内角的

GGi1k角度，i是外角的角度．

得分 t评阅人 二、填空题：（共5空，每空6分，共30分）

tt3．设有曲线xecost,yesint,ze，当t0时的切线方程为x1yz1。 4．设曲面的参数表示为rr(u,v)，则|rurv|用第一基本量表示为EGF2。 5．曲线xtsint,ytcost,zte在原点的切向量为α(0,t22,)，主法向量为22β(666333,,)、副法向量为γ(,,)。 366333

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得分 评阅人 三、计算题：（共2题，每题15分，共30分）

6．圆柱螺线的参数表示为r(acost,asint,bt)。计算它的曲率和挠率。

解 r(asint,acost,b)，

r(acost,asint,0)，

r(asint,acost,0)，|r|a2b2， rr(absint,abcost,a2)，

|rr|a2b2a4．

所以有

，b．▌ aabab2222

7．计算正螺面r(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。

解 ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,a)，

ruu(0,0,0)，ruv(sinv,cosv,0)，rvv(ucosv,usinv,0)，

irurvcosvjsinvk0(asinv,acosv,u)，

usinvucosvanrurv(asinv,acosv,u)，

22|rurv|auEruru1，Frurv0，Grvrva2u2， Lruun0，Mruvnaau22，Nrvvn0，

LNM2a2K2， 222EGF(au)1EN2FMGL1H22EGF2文案大全

1020(aa2u21(a2u2)02)(a2u2)00

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得分 8．求证

评阅人 四、证明题：（共2题，每题15分，共30分）

（1）如果测地线是渐近线，则它必定是直线。 （2）如果测地线是曲率线，则它必定是平面曲线。

20）且是渐近线（n0）证明 （1）由2n，则2g，如果曲线是测地线（g0，所以曲线是直线。

（2）由伏雷内公式有βαγ。由于曲线是测地线，有βn。综合这两个等式有nαγ。因为曲线是曲率线，所以α是Weingarten变换W的特征向量，即

Wαα，其中是主曲率。再由

Weingarten变换的定义

WαW(ruurvv)nuunvvn，所以ααγ，0。▌

9．证明球面r(acouscvoas,ucosvas上i曲u线的测地曲率为

gddvsinu，其中是曲线与球面上经线（u-曲线）的夹角。 dsds证明 因为经线是u-曲线，所以是曲线与u-曲线的夹角。直接计算得Ea2，

F0，Ga2cos2u。

因为

rrrrdrucosvsinucosvsin， ds|ru||rv|EG另一方面，由链式法则有

drdudv。比较这两式得 rurvdsdsdsdvdu，cosE。 sinGdsds代入刘维尔公式得

g

EvduGudvdddvsinu ds2EGds2EGdsdsds文案大全

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华中师范大学 2006 –2007 学年第二学期

期末考试试卷（A卷）答案

课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 郭驼英、周振

荣

题型 简述 填空 计算 证明 总分 分值 得分

得分 评阅人 一、简述题：（共3题，每题5分，共15分）

15 20 45 20 100 1．什么叫内蕴量？请举两个内蕴量的例子。

答 由第一基本形式决定的量叫内蕴量。如高斯曲率、曲面区域的面积。 2．请叙述曲面的基本定理． 答 给定两个二次型Igduduiiji,jj和IILduduiiji,jj，其中I0。如果gij与Lij满足

高斯、科达齐方程，则存在曲面S:rr(u,v)，使得第一基本形式是I，第二基本形式是II；如果忽略空间的位置差别，这样的曲面是唯一的。 3．第二基本形式IIdrdn吗？为什么？

答 IIdrdn。这是因为drn0，两边微分得drndrdn0。再由第二基本形式的定义即得。

2得分 评阅人 t二、填空题：（共4空，每空5分，共20分）

tt4．设有曲线xecost,yesint,ze，则当t0时的切线方程为x1yz1。 5．设曲面S:rr(u,v)的第一基本形式为Idusinhudv，则其上的曲线uv从

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222标准文档

etetvv1到vv2的弧长为|sinhv1sinhv2|。（这里sinht）

26．设曲面S:rr(u,v)在某点处的第一基本量为EG1,F0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d)(1:2)的法曲率为knLa,M0,Nba4b。 57．设曲面S:rr(u,v)在某点处的第二基本量为L1,M0,N1，则曲面在该点的渐近方向为(d)(1:1)。

得分 评阅人 三、计算题：（共3题，每题15分，共45分）

etet的，stinaht曲率和挠率，其中cosht28．求曲线r(t)(acostha,etetsinht。

2解 由一般参数的曲率公式(t)rr(r,r,r)和挠率公式以及 (t)32rrrr(t)(asinht,acosht,a)r(t)(acosht,asinht,0) r(t)(asinht,acosht,0) 有

|r|2acosht， |rr|2a2cosh2t，

(r,r,r)a2，

1,22acosht

1(t).22acosht(t)▌

9．计算抛物面zxy的高斯曲率和平均曲率．

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解 设抛物面的参数表示为r(x,y)(x,y,xy)，则

22rx(1,0,2x)，ry(0,1,2y)，

0，2)， rxx(0,0,2)，rxyryx(0,0,0)，ryy(0，ijkrxry102x(2x,2y,1)，

012ynrxry|rxry|(2x,2y,1)4x4y122，

Erxrx14x2， Frxry4xy， Gryry14y2，

Lrxxn24x4y1222， Mrxyn0，

Nryyn4x4y122，

40LNM244x24y21K，

EGF2(14x2)(14y2)(4xy)2(4x24y21)21GL2FMEN4x24y22． H322EGF(4x24y21)2

10．求位于正螺面r(ucosv,usinv,av)上的圆柱螺线xu0cosv,yu0sinv,zav的测地曲率。

解 因为F0，所以是正交网。 圆柱螺线是v-曲线，由刘维尔定理有kgv22直接计算得E1,Gua，

1lnG。

2Eu所以kgvu0。 22u0a得分 评阅人 四、证明题：（共2题，每题10分，共20分）

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11．求证直纹面的高斯曲率K0，等号成立的充要条件是直纹面可展。

证明 直纹面的参数表示为ra(u)vb(u)。由此得

rua(u)vb(u)，rvb(u)，

ruuavb，ruvb，rvv0，

nabvbbEGF2，

L(b,b,b)v2[(a,b,b)(b,a,b)]v(a,a,b)EGF(b,a,b)EGF22，

M，N0。

LNM2(b,a,b)20， 所以K222EGF(EGF)等式成立的充要条件是(b,a,b)0，即曲面是可展曲面。

12．设有曲面rr(u,v)，其单位法向量是n，高斯曲率是K。证明nunvKrurv。

证明 因nu,nv是切向量，所以nunv//rurv。 设nunvrurv。两边与rurv作内积得

(nunv)(rurv)(rurv)(rurv)。

由拉格朗日公式得K。

华中师范大学 2009 –2010 学年第二学期

期末考试试卷（A卷）答案

课程名称 微分几何 课程编号 85820002 任课教师 周振荣

题型 简述 填空 计算 证明 总分 分值 15 20 45 20 100 文案大全

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得分

得分 评阅人 一、简述题：（共3题，每题5分，共15分）

1．什么叫内蕴量？请举两个内蕴量的例子。

答 由第一基本形式决定的量叫内蕴量。如高斯曲率、曲面区域的面积。 2．请叙述曲线的基本定理．

答 给定两个函数k(s),(s)，其中k0，则存在曲线C:rr(s)，使得其曲率是k，挠率是；如果忽略空间的位置差别，这样的曲线是唯一的。 3．叙述第二基本形式的定义。

22答 IILdu2MdudvNdv，其中Lruun,Mruvn,Nrvvn。

得分 评阅人 t二、填空题：（共4空，每空5分，共20分）

tt4．设有曲线xecost,yesint,ze，则当t0时的切线方程为x1yz1。 5．设曲面S:rr(u,v)的第一基本形式为Idusinhudv，则其上的曲线uv从

222etetvv1到vv2的弧长为|sinhv1sinhv2|。（这里sinht）

2

6．设曲面S:rr(u,v)在某点处的第一基本量为EG1,F0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d)(1:2)的法曲率为knLa,M0,Nba4b。 57．设曲面S:rr(u,v)在某点处的第一类基本量为E1,G1，且曲面在该点的切向量

ru,rv相互平行，则F在该点等于 1 。

得分 评阅人 三、计算题：（共3题，每题15分，共45分）

8． 圆柱螺线的参数表示为r(acost,asint,bt)。计算它的曲率和挠率。

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解 r(asint,acost,b)，

r(acost,asint,0)，

r(asint,acost,0)，|r|a2b2， rr(absint,abcost,a2)，

|rr|a2b2a4．

所以有

，b．▌ aabab2222

9．计算抛物面zxy的高斯曲率和平均曲率． 解 设抛物面的参数表示为r(x,y)(x,y,xy)，则

2222rx(1,0,2x)，ry(0,1,2y)，

0，2)， rxx(0,0,2)，rxyryx(0,0,0)，ryy(0，ijkrxry102x(2x,2y,1)，

012ynrxry|rxry|(2x,2y,1)4x4y122，

Erxrx14x2， Frxry4xy， Gryry14y2，

Lrxxn24x4y1222， Mrxyn0，

Nryyn4x4y122，

40222LNM44x4y1K，

EGF2(14x2)(14y2)(4xy)2(4x24y21)21GL2FMEN4x24y22． H322EGF(4x24y21)2文案大全

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10．求位于正螺面r(ucosv,usinv,av)上的圆柱螺线xu0cosv,yu0sinv,zav的测地曲率。

解 因为F0，所以是正交网。 圆柱螺线是v-曲线，由刘维尔定理有kgv22直接计算得E1,Gua，

1lnG。

2Eu所以kgvu0。 2u0a2得分 评阅人 四、证明题：（共2题，每题10分，共20分）

11．求证直纹面的高斯曲率K0，等号成立的充要条件是直纹面可展。

证明 直纹面的参数表示为ra(u)vb(u)。由此得

rua(u)vb(u)，rvb(u)，

ruuavb，ruvb，rvv0，

nabvbbEGF2，

L(b,b,b)v2[(a,b,b)(b,a,b)]v(a,a,b)EGF(b,a,b)EGF22，

M，N0。

LNM2(b,a,b)20， 所以KEGF2(EGF2)2等式成立的充要条件是(b,a,b)0，即曲面是可展曲面。

12．设有曲面rr(u,v)，其单位法向量是n，高斯曲率是K。证明nunvKrurv。

证明 因nu,nv是切向量，所以nunv//rurv。 设nunvrurv。两边与rurv作内积得

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(nunv)(rurv)(rurv)(rurv)。

由拉格朗日公式得K。

得分 评阅人 四、证明题：（共2题，每题10分，共20分）

11．求证直纹面的高斯曲率K0，等号成立的充要条件是直纹面可展。

证明 直纹面的参数表示为ra(u)vb(u)。由此得

rua(u)vb(u)，rvb(u)，

ruuavb，ruvb，rvv0，

nabvbbEGF2，

L(b,b,b)v2[(a,b,b)(b,a,b)]v(a,a,b)EGF(b,a,b)EGF22，

M，N0。

LNM2(b,a,b)20， 所以K222EGF(EGF)等式成立的充要条件是(b,a,b)0，即曲面是可展曲面。

12．设有曲面rr(u,v)，其单位法向量是n，高斯曲率是K。证明nunvKrurv。

证明 因nu,nv是切向量，所以nunv//rurv。 设nunvrurv。两边与rurv作内积得

(nunv)(rurv)(rurv)(rurv)。

由拉格朗日公式得K。

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