分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性

郭丽敏

【摘 要】该文研究分数阶两点边值问题,通过构造上下解结合不动点定理,得到分数阶微分方程二点边值问题正解的存在性.

【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2013(026)001 【总页数】5页(P11-15)

【关键词】分数阶微分方程;上下解;正解;不动点定理 【作 者】郭丽敏

【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059 【正文语种】中 文 【中图分类】O175.8 0 引言

分数阶微积分是一个研究任意阶次（实数阶次或复数阶次）的微分、积分算子特性及其应用的数学问题的理论.分数阶微分方程越来越受到人们的广泛关注和研究，这是因为分数阶微分方程在各个领域都有广泛的应用，如在各种材料的记忆、粘弹性力学、电子电路、电解化学、流体力学、分数控制系统与分数控制器等方面的应用.因此，对分数微分方程的研究显的尤为迫切，近年来这些问题得到广泛而深入的研究，并有了丰富的优秀成果（见文献[1－8］），本文就是用上下解方法和不

动点定理得到正解的存在性.

梁和张在文献[1］中利用上下解方法和不动点定理对分数阶微分方程

进行了研究，并获得了方程正解的存在性结果. 本文研究下面的分数阶微分方程正解的存在性

其中n－1＜α≤n，1＜i≤n－2，且i∈N，f：[0，1］×[0，∞）→[0，∞）连续，Dα0＋是标准的Riemann－Liouville导数.通过构造上下解结合不动点定理理论得到积分边值问题（1）正解的存在性.

定义1 如果函数u∈C（i）[[0，1］，（0，＋∞）］满足（1），则称u是分数阶微分方程（1）的一个正解. 1 预备知识

为了方便读者，首先给出一些定义和引理.

定义2[2］ 函数y：（0，∞）→α＞0的阶Riemann－Liouville积分定义

其中右边是在（0，∞）上逐点定义的.

定义3[3］ 函数y：（0，∞）→R 的α＞0阶Riemann－Liouville微分定义

其中n＝[α］＋1，右边是在（0，∞）上逐点定义的.

引理1[3，6］ 令α＞0，假设u∈C（0，1）∩L（0，1）则分数阶微分方程

的解其中n是大于α或等于的最小整数.

引理2[3，6］ 假设u∈C（0，1）∩L（0，1）有α＞0阶导数属于C（0，1）∩L（0，1）.则

Ci∈R，i＝1，2，…，n.其中n是大于或等于α的最小整数. 引理3 给定y∈C[0，1］，且y（t）≥0，则积分边值问题 存在解 其中

G（t，s）称作微分方程边值问题（1）的格林函数.

证明 应用引理2，将（1）中微分方程转化为等价的积分方程

其中C1，C2，…，Cn∈R.由u（0）＝u′（0）＝…＝u（n－2）（0）＝0，得C2＝C3＝…＝Cn＝0.

另一方面，由u（i）（1）＝0及 得 所以

即完成了引理3的证明.

引理4 如果u（t）∈C（i）[0，1］并且u（t）是（1）的一个解，存在两个正常数m，M 使得mρ（t）≤u（t）≤其中

证明 因为u（t）∈C（i）[0，1］，则存在 M′＞0使得｜u（t）｜≤M′，t∈[0，1］.令

由引理3得 计算得

定义4 如果β（t）∈C（i）[0，1］，并且β（t）满足

则称函数β（t）是积分边值问题（1）的一个上解. 定义5 如果α（t）∈C（i）[0，1］，并且α（t）满足

则称函数α（t）是积分边值问题（1）的一个下解. 2 主要结果

定理1 分数阶边值问题（1）有一个正解，满足

（H）f（t，u）∈C（[0，1］×[0，＋∞），（0，＋∞））并且关于u是增的，f（t，ρ（t））不恒等于0，t∈（0，1）时，并且存在一个正数μ＜1使得

证明 首先证明函数α（t）＝k1g（t），β（t）＝k2g（t）分别是（1）的上下解. 其中

由引理3知，g（t）是微分方程 的正解.

由引理4，我们得到

由定理1得

因此，我们得到 从而得到

显然α（t）＝k1g（t），β（t）＝k2g（t）满足（1）的边值条件.因此α（t）＝k1g（t），β（t）＝k2g（t）是（1）的上下解. 下面证明边值问题

存在一个解. 其中

定义算子A

易知A：C（i）[0，1］→C（i）[0，1］是连续算子.又因为f（t，u）关于u是增算子，故对∀u∈C（i）[0，1］，我们有

于是存在常数 M 使得｜g（t，u（t））｜≤M，这就证明了A 的一致有界性.此外，对∀u（t）∈C（i）[0，1］，0≤t1＜t2≤1，有

所以算子A是等度连续的.由Arzela－Ascoli定理得到A是一个紧算子.于是由Schauder不动点定理[9］，我们得到算子A有一个不动点，从而分数阶微分方程边值问题（7）存在一个正解.

最后证明微分方程边值问题（1）的解是正解.

设u＊（t）是微分方程边值问题（7）的一个解，因为函数f（t，u）关于u是增的，因此得到 故有

其中z（t）＝β（t）－u＊（t）.由引理3知z（t）≥0，故u＊（t）≤β（t），同理可得α（t）≤u＊（t）.因此得到u＊（t）是分数阶微分方程边值问题（1）的一个正解. 3 实例

例1 分数阶微分方程边值问题

这里是标准的黎曼－刘维尔分数阶微积分，并且

证明 由kμ≤1，0＜μ＜1，0＜k＜1，易得

因此，由定理1得到分数阶微分方程边值问题（8）的一个正解. 参考文献

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