第四讲：立体几何知识点归纳(教师版)

第四讲：立体几何知识点归纳

1.平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. （符号语言：

图形语言： ）

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.（符号语言： 图形语言： ）

公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. （符号语言： 图形语言： ） 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

（符号语言： 图形语言： ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

（符号语言： 图形语言： ） 3.空间线面的位置关系 （1）两直线的位置关系：

4.异面直线的判定

判定定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. （符号语言：

图形语言： ） 5.线面平行与垂直的判定：文字语言： 符号语言： 图形语言：

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面， （符号语言：

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图形语言： ） (4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （符号语言：

图形语言： ） (5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点

α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，（符号语言：

图形语言： ）

（6）三垂线定理：文字语言： 符号语言： 图形语言：

三垂线逆定理：文字语言： 符号语言： 图形语言：

立体几何典型例题

题型一：异面直线所成的角

例1. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，

2且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角．

证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝

5a 2S N C

B M A NQ＝1SM＝

224a BQ＝

14a4

BN2NQ2BQ210∴COS∠QNB＝

2BNNQ5∴∠QNB＝arc cos

105

题型二：线面平行

- 2 -

例2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

( 1 ) 求证：AC⊥BC1； (2) 求证：AC1∥平面CDB1；

(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1； A A

CB

C D

B

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1 ∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；

（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝

822511AB＝，CE＝CB1＝22，∴cos∠CED = 5522222221252∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为

22． 5B1小试身手．

D是BC的中点， 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中，点

求证：直线A1B//平面ADB1

A1C1CDABE,连接DE…………………2分 证明：连接AC1交AB1于点

的中点………… 3分 ABCA1B1C1是三棱柱，E是AC1在三角形CA1B中D,E分别是BC,CA的中点DE//A1B………………. 5分 1DE平面ADC1,A1B平面ADC1………………………. 7分 A1B//平面ADC1………………………………8分

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题型三：线面垂直

例3：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H． V (1) 求证H是△ABC的垂心；

C A E H B D 小试身手

1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA2CD, F、G分别是EB和AB的中点. （Ⅰ）求证：FG面ABC; （Ⅱ）求证：FD∥面ABC. 证明：（I）

F、G分别是EB、AB的中点，

1EA(2分） 2FG是ABE中EA边上的中位线 FG//EA 且 FG又

（4分）EA平面ABC FG平面ABC

E（II） 连接GC

D

GE2CD且DC面ABC ， FG面ABC且 EA2FG

AFCGB  FG//DC且FGDC  四边形FGCD为平行四边形 FD//GC （6分）（8分） 又 GC平面ABC FD//面ABC

2。如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E是PD的中点．

（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；． （1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝a，

在△PAB中，由PA＋AB＝2a＝PB知PA⊥AB，

B - 4 -

2

2

2

2

P

E A C

D

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 因为PB＝PD＋DC＋CB＝2ED＋DC＋DA ＝(ED＋DA)＋(ED＋DC)＝EA＋EC ∴ PB、EA、EC共面．

PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．

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