专题1.2 电场强度的叠加与大小的计算
场强是从力的角度反映电场本身性质的物理量，在高考试题中占有很重要地位，涉及点电荷电场强度的叠加及大小计算的试题，一般难度不大，多以选择题的形式出现，个别省市的高考题中偶尔出现过简单的计算题。
场的叠加是一种解决问题的方法，相当于等效替代，该点的实际场强等于几个电荷单独存在时产生的电场强度的矢量和，同一直线上的场强的叠加，可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定那么求合场强.分析电场叠加问题的一般步骤是： 〔1〕确定分析计算的空间位置；
〔2〕分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向： 〔3〕依次利用平行四边形定那么求出矢量和。 题型1 点电荷电场强度的叠加及大小的计算
空间中的电场通常会是多个场源产生的电场的叠加，电场强度可以应用平行四边形定那么进展矢量计算，这是高考常考的考点。虽然电场强度的定义式为E＝，但公式E＝2反映了某点场强与场源电荷的特性及该点到场源电荷的距离的关系，表达了电场的来源与本质，高考常围绕此公式出题。 【典例1】〔2021山东省烟台市高一下期末〕
如下图，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，那么正方形两条对角线交点处的电场强度
FqkQr
A． 大小为，方向竖直向上
B． 大小为，方向竖直向上
C． 大小为，方向竖直向下
D． 大小为【答案】C
，方向竖直向下
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【解析】一个点电荷在中心O产生的场强为，对角线处的两异种点电荷在O处的总场强为
，故两等大的场强垂直，合场强为
下，应选C。 【跟踪训练】
，方向由合成的过程可知沿竖直向
1. 如图在正六边形的a、c两个顶点上各放一带正电的点电荷，电荷量的大小都是q1；在b、d两个顶点上，各放一带负电的点电荷，电荷量的大小都是q2，q1>q2.六边形中心O点处的场强可用图中的四条有向线段中的一条来表示，它是哪一条( )
A．E1 B．E2 C．E3 D．E4
【答案】B
2. 如下图，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )
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A．体中心、各面中心和各边中点 B．体中心和各边中点 C．各面中心和各边中点 D．体中心和各面中心 【答案】D
【解析】 根据点电荷场强公式E＝2及正方体的对称性可知，正方体的体中心及各面的中心处场强为零，故D正确。
3. 如下图,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,那么以下四个选项中,正方形中心处场强最大的是( )
kQrA B
C 【答案】B
D
题型2 非点电荷电场强度的叠加及大小的计算
非点电荷电场强度的求解是历年高考考察的重点，多以选择题的形式出现，难度中等，解题时往往用特殊的物理方法进展计算 1. 对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，将复杂的电场叠加计算简化，如下图，电荷量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。均匀带电薄板在a、
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b两对称点处产生的场强大小相等、方向相反，假设图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为E=Kqd2，方向垂直于薄板向左。
1R
【典例2】以下选项中的各 圆环大小一样，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各－ 圆环间彼
42此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是( )
【答案】B
2. 等效法
在保证效果一样的前提条件下，将复杂的物理情景变换为简单的或熟悉的情景.如图甲所示，一个点电荷+q与一个很大的薄金属板形成电场，可以等效为如图乙所示的两个异种等量点电荷形成的电场
【典例3】经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场〔如图甲所示〕与等量异种点电荷之间的电场分布〔如图乙所示〕完全一样．图丙中点电荷q到MN的距离OA为L，AB是以电荷Q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，那么B点电场强度的大小是〔 〕
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A.
B.
C.
D.
【答案】C
【跟踪训练】
如下图，xOy平面是无穷大导体的外表，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，那么在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体外表上的感应电荷共同激发的。静电平衡时导体内部电场强度处处为零，那么在z轴上z＝处的电场强度
2大小为(k为静电力常量)( )
h
4qA．k2
h4qB．k2
9h40qD．k2 9h32qC．k2 9h【答案】D
【解析】设点电荷为正电荷(不影响结果)，那么导体外表的感应电荷为负电荷。如下图，
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设所求点为A点，取其关于xOy平面的对称点为B，点电荷q在A、B两点的场强大小分别为E1、E2，感应电荷在A、B两点的电场强度的大小分别为EA、EB。由题意可知，B点的合场强为零，EB＝E2＝
kq4kq＝2，
h＋h29h
4kq4kqkq40kq由对称性可知，EA＝EB＝2，故A点场强为E＝EA＋E1＝2＋＝2，D正确。
9h9hh29h23. 补偿法
2
求解电场强度，常用的方法是根据题设条件建立物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，那么容易解决。但有时由题设条件建立的模型不是完整的标准模型，假设为模型A，这时需要补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并能与模型A恰好组成一个完整的标准模型，使得求解模型A的问题变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题。
【典例4】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如下图，在半球面
AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。M点的场强大小为E，那么N点的场强大小为( )
A.C.
kq2－E 2Rkq2－E 4RB.D.
kq2 4Rkq2＋E 4R【答案】A
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【跟踪训练】
1. 均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场一样。如下图，半径为的球体上均匀分布着电荷量为的电荷，在过球心的直线上有、两个点，和、和间的距离均为。现以
为直径在球内挖一球形空腔，假设静电力常量为，球的体积公式为
，那
么A点处场强的大小为〔 〕。
A:
B:
C:
D:
【答案】B
2. 如下图，半径为均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P〔坐标为〕的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：
，方向沿轴。现考虑单位面积
带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为的圆板，如图2所示。那么圆孔轴线上任意一点Q〔坐标为x〕的电场强度为〔 〕。
A: C:
B:
D:
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【答案】A
4. 微元法
微元法就是将研究对象分割成假设干微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元〞加以分析，从而实现化曲为直，再应用点电荷场强公式E＝k2来计算电场强度。
如下图，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L.设想将圆环看成由n个小段组成，每一小段都可以看做点电荷，其所带电荷量Q=
QrQ，由点电荷场强公式可求nkQ得每一小段带电体在P处产生的场强为E=kQ,由对称性知，各小段带电体在P处的场强E沿
222nrnRL垂直于轴的分量相互抵消，而其轴向分量之和即为带电环在P处的场强E=KQL
32R2L2
【典例5】如下图，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。
【答案】
kQLR＋L2
2
32
【解析】设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
Qn.
由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处的场强为
kQkQE＝2＝ nrnR2＋L2
由对称性可知，各小段带电体在P处的场强E的垂直于对称轴的分量Ey相互抵消，而E的轴向分量Ex之和即为带电圆环在P处的场强EP，
QnkQLkQLEP＝nEx＝nkcos θ＝·22＝。 2222
nR＋LnR＋L322R＋LR＋L2
5. 利用静电平衡求电场强度
处于静电场中的导体在到达静电平衡时，导体内部的电场强度为零。其本质是感应电荷的电场强度与外加电场的电场强度叠加后为零，即有E感＋E外＝0。
【典例6】金属球壳A放在点电荷Q周围，将发生静电感应现象，求感应电荷在球心处的场强大小。
【答案】
kQ r2
高考+模拟综合提升训练
1．〔2021衡水金卷高三四省第三次大联考〕
如下图，真空中有一边长为a的正立方体，在图中A、C、F三个顶点放上电荷量相等的负点电荷q，静电力常量为k，设无穷远处的电势为零，以下说法正确的选项是〔 〕
A． A处点电荷受到另两个点电荷对其作用力的合力大小为
B． B点处的电场强度的大小为C． D、E、G三点电势相等
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D． 将一电子先后置于H点和B点，电子在H点的电势能小于其在B点的电势能 【答案】BCD
2．〔2021四川省攀枝花市高三第三次统一考试〕
均匀带电的球体在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如下图，在半球体上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球半径为R，MN为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有A、B两点，A、B关于O点对称，AB=4R。A点的场强大小为E，那么B点的场强大小为
A． C． 【答案】B
【解析】假设将带电量为2q的球面放在O处，均匀带电的球壳在A、B点所产生的电场为由题知当半球面产生的场强为E，那么B点的场强为3．〔2021江西省南昌市第二中学高三上第四次考试〕 是长为的均匀带电细杆, 和是位于
所在线上两点,如下图.
上电荷产生静电场在处场强大小
。解得
，应选B。
，
B． D．
为,在处场强大小为,那么以下说法正确的选项是( )
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A． 两处的电场方向相反，E1＜E2 B． 两处的电场方向相反，E1＞E2 C． 两处的电场方向一样，E1＜E2 D． 两处的电场方向一样，E1＞E2 【答案】A 【解析】如图，
4．〔2021陕西省榆林市绥德中学高二下期末〕
如图，有一带电荷量为+q的点电荷与外表均匀带电圆形绝缘介质薄板相距为2d，此点电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心．假设图中a点处的电场强度为零，那么图中b点处的电场强度大小是〔 〕
A． 0 B． C．
D．
【答案】D
【解析】+q在a处产生的场强大小为E=k，方向水平向左。据题，a点处的电场强度为零，+q与带电薄板在a点产生的场强大小相等，方向相反，那么带电薄板在a点产生的场强大小为E=k，方向水平向右。
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根据对称性可知，带电薄板在b点产生的场强大小为E=k，方向水平向左。+q在b处产生的场强大小为E=k
，方向水平向左，那么b点处的电场强度大小是：Eb=
。应选D。
5．〔2021山东省济南市长清区高一下期末考试〕
如下图，一半径为的圆盘上均匀分布着电荷量为的电荷，在垂直于圈盘且过圆心的轴线上有、、三个点。和，和，和间的距离均为，在点处有一电荷量为〔强为，那么点处场强的大小为〔为静电力常量〕〔 〕
〕的固定点电荷。己知点处的场
A．
B．
C．
D．
【答案】B
6．〔2021河南省驻马店市高二下期末考试〕
如下图，16个电荷量均为+q(q>0)的小球(可视为点电荷)，均匀分布在半径为R的圆周上假设将圆周上P点的一个小球的电荷量换成-2q，那么圆心 0点处的电场强度为
A．
，方向沿半径向左 B．
，方向沿半径向右
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C． ，方向沿半径向左 D． ，方向沿半径向右
【答案】D
【点睛】该题考察了场强叠加原理，还有对对称性的认识．由于成圆周对称性，所以如果没改变电荷之前肯定圆心处场强为0，而该点场强是所有电荷在该点场强的叠加，可以把这些电荷归为两类：一种是要移去的电荷，另一种是其他电荷．不管怎样，总之这两种电荷产生的合场强为0，所以只要算出改变的电荷在该点的场强和与它对称的电荷的场强即可得到．
7．如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d.图中a点的电场强度为零，那么带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A． C．
，水平向右 B． ＋
，水平向右 D．
，水平向左 ，水平向右
【答案】A
【解析】由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a处产生的场强与点电荷－q在a处的场强等大反向，大小为
。由对称性可知，矩形薄板在b处产生的场强也为
，方向向右。故A正确。
8．〔2021天津市河西区高三下三模〕
如下图，以O点为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f等量正、负点电荷分别放置在a、d两点时，在圆心O产生的电场强度大小为E。现仅将放于a点的正点电荷改放于其他等分点上，使O点的电场强度改变，那么以下判断正确的选项是
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A． 移至c点时，O点的电场强度大小仍为E，沿Oe方向 B． 移至e点时，O点的电场强度大小为，沿Oc方向 C． 移至b点时，O点的电场强度大小为D． 移至f点时，O点的电场强度大小为【答案】B
，沿Oc方向 ，沿Oe方向
9．〔2021江苏苏州高新区第一中学高一下电场复习测试题〕 长为l的导体棒原来不带电，现将一电荷量为
的点电荷放在与棒的左端距离为R的地方，如下图到达静
______ ，方向______ ．
电平衡后，棒上的感应电荷在棒内距左端处产生的场强
【答案】 水平向右
【解析】水平导体棒当到达静电平衡后，棒上感应电荷在棒内距离左端L处产生的场强大小与一带电量为
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−q的点电荷在该处产生的电场强度大小相等，那么有：；由于该处的电场强度为零，所以
方向与一带电量为−q的点电荷在该处产生的电场强度的方向相反，即水平向右。
【点睛】根据静电平衡可知，到达静电平衡后，感应电荷产生的附加电场与外面的电场大小相等，方向相反，所以导体内部场强处处为0，同一个导体为等势体，导体上的电势处处相等．然后在结合库仑定律解答即可。
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