一元二次方程(知识点 考点 题型总结)

一元二次方程专题复习

考点一、概念

①②③

(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程就是一元二次方程。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．(2)一般表达式：axbxc0(a0) ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

21120 2xx222 C axbxc0 D x2xx1

22变式：当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。

A 3x122x1 B

例2、方程m2针对练习：

2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

★1、方程8x7的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程m2x0是关于x的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程m1xmx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

mn2

★★★4、若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

m12y3的值为2，则4y22y1的值为 。

22例2、关于x的一元二次方程a2xxa40的一个根为0，则a的值为 。

2例3、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为 。

22例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根，

例1、已知2y则m的值为 。 针对练习：

★1、已知方程xkx100的一根是2，则k为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x的方程xkx20的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程xx10的一个根，则代数式mm 。 ★★4、已知a是x3x10的根，则2a6a 。 ★★5、方程

2222222x13的解相同。 x1abx2bcxca0的一个根为（ ）

xyA 1 B 1 C bc D a

★★★6、若2x5y30,则432 。 考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：x※※对于

2mm0,xm

xa2m，axm2bxn2等形式均适用直接开方法

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典型例题： 例1、解方程：

12x280; 22516x2=0; 31x290;

例2、若9x116x2，则x的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ） A.x32x1 B.

2222x220 C.2x31x D.x290

xx1,或xx2

类型二、因式分解法:xx1xx20※方程形式：如

典型例题：

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

axm2bxn2，xaxbxaxc ，x22axa20

例1、2xx35x3的根为（ ）

552 B x3 C x1,x23 D x 2252例2、若4xy34xy40，则4x+y的值为 。

A x

b2a2b260,则a2b2 。

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

22变式3：若xxyy14，yxyx28，则x+y的值为 。

2例3、方程xx60的解为（ ）

变式1：A.x1a223，x22 B.x13，x2例4、解方程： x231x2340

xy22例5、已知2x3xy2y0,则的值为 。

xyxy22变式：已知2x3xy2y0,且x0,y0,则的值为 。

xy针对练习：

★1、下列说法中：

22 C.x13，x23 D.x12，x22

pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2) 222② x6x8(x2)(x4). ③a5ab6b(a2)(a3)

①方程x④ x22y2(xy)(xy)(xy)

2⑤方程(3x1)70可变形为(3x17)(3x17)0

正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以17与17为根的一元二次方程是（）

2222A．x2x60 B．x2x60 C．y2y60 D．y2y60

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 5、方程：x★★★6、已知

212的解是 。 2x6x2xy6y20，且x0，y0，求

2x6y的值。

3xy★★★7、方程1999x的值为 。

219982000x10的较大根为r，方程2007x22008x10的较小根为s，则s-r

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bb24ac类型三、配方法axbxc0a0x 22a4a22※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明x2x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x

例3、 已知x

222y22x4y7的最小值。

y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。

2例4、 分解因式：4x12x3

针对练习：

★★1、试用配方法说明10x7x4的值恒小于0。 ★★2、已知x★★★3、若t22111x40x . ，则2xxx23x212x9，则t的最大值为 ，最小值为 。

c114a22b14,那么a2b3c的值为 。

★★★4、如果ab类型四、公式法 ⑴条件：

a0,且b24ac0

bb24ac2⑵公式： x,a0,且b4ac0

2a典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

26. ⑵x3x68. ⑶x24x10 2⑷3x4x10 ⑸3x13x1x12x5

⑴31x

例2、在实数范围内分解因式：

22x3； （2）4x28x1. ⑶2x24xy5y2

2说明：①对于二次三项式axbxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，

2一般情况要用求根公式，这种方法首先令axbxc=0，求出两根，再写成 ax2bxc=a(xx1)(xx2).

（1）x②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题： 例1、 已知x

例2、如果xx10，那么代数式x2x7的值。

232223x1x213x20，求代数式的值。

x1a32a25a1例3、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。

a212

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例4、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

考点四、根的判别式b4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数；

②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题：

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 2例2、关于x的方程m1x2mxm0有实数根，则m的取值范围是( ) A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

2例3、已知关于x的方程xk2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x

22(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

x22y26,例5、m为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

mxy3.

针对练习：

★1、当k 时，关于x的二次三项式xkx9是完全平方式。

★2、当k取何值时，多项式3x4x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ ★3、已知方程mxmx20有两个不相等的实数根，则m的值是 .

222ykx2,★★4、k为何值时，方程组2

y4x2y10.（1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

★ ★★5、当k取何值时，方程x4mx4x3m2m4k0的根与m均为有理数？

考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：

例1、关于x的方程m1x2mx30 ⑴有两个实数根，则m为 , ⑵只有一个根，则m为 。 例2、 不解方程，判断关于x的方程x22222xkk23根的情况。

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例3、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入

2211，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内321不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到

30.1，133.61）

资金600万元，第二年比第一年减少

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

2

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

2

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点七、根与系数的关系

⑴前提：对于axbxc0而言，当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容：x1x2⑶应用：整体代入求值。 典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x8x70的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

22bc,x1x2 aa

3 B.3 C.6 D.6 22例2、已知关于x的方程kx2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

A.

（1）求k的取值范围；

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（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 例4、已知ab，a2a10，b2b10，求ab

22ab的值为 。 ba24例5、已知,是方程xx10的两个根，那么3 .

变式：若a2a10，b2b10，则

22针对练习： 1、解方程组2xy3,22(1)xy5(2)2

2．已知a7a4，b7b4(ab)，求

ba的值。 ab33、已知x1,x2是方程xx90的两实数根，求x127x23x266的值。

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