第３４卷第４期 延安大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙａｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２０１５ ２０１５年１２月 ＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１５．０４．００４ 基于优化模型的折叠桌设计 苏碉莹，高莉丽，窦霁虹，胡君豪 （西北大学数学学院，陕西西安７１０１２７） 摘 要：基于２０１４年高教社杯全国大学生数学建模竞赛Ｂ题，研究了折叠桌的设计问题，运用 多目标优化模型，以稳定性、易加工性、省材性为目标，得到了平板折叠桌加工的各参数，并且分 析了折叠桌折叠时的动态变化过程。运用Ｍａｔｌａｂ软件确定最优设计，并用ＳｏｌｉｄＷｏｒｋｓ软件绘制 其实体模型。 关键词：折叠桌设计；多目标优化模型；ＳｏｌｉｄＷｏｒｋｓ软件 中图分类号：０２２１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—６０２Ｘ（２０１５）０４—０００４—０４ 折叠桌是一种轻巧耐用的便携式日常家具，如 何设计一款兼顾产品稳固性好、加工方便、用材最少 的折叠桌，一直是厂家最重要的问题之一。 心向两边的第ｉ根木条一半的长度， ｄ Ｅ［￣／ｒ 一（ｗｉ） ，￣／ｒ Ｗ（ｉ一１）］ ）， 其中，ｒ是圆形桌面的半径，即所给木板宽度的一 该折叠桌的桌面呈圆形，桌腿有若干木条组成， 随着铰链的活动可以平摊成一张平板且由钢筋连 接。钢筋两端固定在桌腿各组最外侧的两根木条 上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。任意 给定折叠圆桌高度和其桌面的直径设计要求，设计 半；Ｗ为每根木条的宽度，即 ＝ｒ／ｎ。 开槽长度（ ）：每根木条插入钢筋处需要开槽 的长度。 钢筋位置（Ｚ ）：链接桌腿木条的钢筋固定在桌 腿各组最外侧木条距桌腿末端的长度。 者希望据此确定折叠桌的动态变化过程并确定最优 设计加工参数。 切痕长度（ ）：相邻两根木条间所需切割的长 度的总和。 １ 概念定义及符号说明 木板尺寸（２ ｓ×２ ｒ× ：原料木板的长为２ ｓ； 宽为２ ｒ，即折叠桌桌面半径为ｒ；厚度为６。 弦心距（口）：第一根木条的长度所对应的弦到 圆心的距离，０＜ｎ＜ 。 ２模型假设 （１）厚度对模型结果的影响很小，假设木条的 夹角大小（０）：即边缘桌腿与竖直方向的夹角 大小，折叠到最大限度时为Ｏ／，即０∈［Ｏ／，９０。］。 折叠高度（ｈ）：桌子折叠完全后桌面的高度，其 中ｈ包含桌面厚度６。 厚度为定值３ ｃｍ。 （２）假设钢筋能够承受折叠桌以及其承担物体 的重量且钢筋很细。 （３）不考虑地面摩擦力。 （４）不考虑加工过程中失误导致材料的损失。 桌面木条的根数（ｎ）：即桌面是由ｎ跟木条所 组成。 桌面木条的半长度（ｄ ）：即作为桌面部分从中 收稿日期：２０１５—０７—２０ 作者简介：苏明莹（１９９４一），女，河南民权人，西北大学数学学院学生。 第４期 基于优化模型的折叠桌设计 ５ ３模型的建立 ３．１ 折叠桌的描述与加工参数的确定 给定长方形平板尺寸、木条宽度及折叠后桌高。 要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给 出此折叠桌的设计加工参数的数学描述。据此建立 如下模型： ３．１．１动态变化过程模型： 为了方便描述，我们为折叠桌建立三维坐标 系 Ｊ，以折叠桌下底面的中心为原点， 轴方向平行 于木条放置方向，Ｙ轴垂直于桌面方向，ｚ轴平行于 钢筋插入木条的方向。利用相似三角形的性质得到 桌腿末端所在位置的坐标为： ）， ： ’ 其中， 是钢筋的位置的横坐标，ｙ 是钢筋的 位置的纵坐标。 ｆ Ｐ＝（ｓ—ｄ 一Ｚ１）・ｓｉｎＯ＋ｄ ， 【Ｙｐ＝（ｓ—ｄ 一２１）・ｃｏｓＯ， （０ Ｅ［Ｏｔ，９０。］）。 动态变化过程需要用不同折叠状态下的桌腿末 端位置来表现，所以将钢筋位置坐标整合进上式，建 立动态变化模型如下： ， （ｄ ～（ｓ－ｄ 一１１）・ｓｉｎ ＋ｄ ）（ｓ—ｄ ） ｄ．一——＝二二二＝＝＝二＝二二＝＝＝二二＝＝＝＝二二二＝＝＝＝二二二二＝＝＝二二＝ ￣／（（ｓ—ｄ 一ｆ１）・ｓｉｎ口＋ｄ －ｄ ） ＋（（ 一ｄ －ｌ１）・ｃｏｓ ） ｆ （ｓ—ｄ ） Ｉ【 ’ ： （ｉ－１）＋。， （０ Ｅ［ ，９０。］）。 ３．１．２加工参数模型 开槽长度： 设第ｉ条木条的开槽长度为ｚ ，可以以通过折 叠桌作为矩形平面时钢筋穿过桌腿的位置与桌子折 叠到最大限度时钢筋穿过桌腿的位置来计算。 桌子未折叠时钢筋位置为Ｚ 。 桌子折叠到最大限度时，钢筋的位置表示为： ｆ２ ＝ｓ—ｄ —Ｖ／（ｘｐ—ｄ ） ＋ｙｐ 。 其中， 。、 。是折叠到最大程度时钢筋的坐标， 即０： 。 所以得到木条开槽长度模型为： ｋ ＝ｆ１一（ｓ—ｄ 一￣／（ 一ｄ ）。＋ｙ ）。 桌面木条长度模型： 对于该问题需要建立优化模型，目标是使桌面 实际面积最接近于一个半径为ｒ圆形面积，决策变 量是ａ。由几何关系得出ｄ 的长度表达式为： ｄ ＝￣／ｒ ＿［Ｗ（ｉ一１）＋０］ 。 从而可以建立木条长度模型如下： ｍｉｎ ｚ＝ｌ ４ ｄ。・Ｗ一１．２百ｌ， Ｅ＝ｌ 。ｆｄ ＝√ｒ 一［ （ｉ一１）＋。］ ， 【ｓ～ｄ ＞ｈ一６。 ３．１．３ 边缘线模型的确立 观察折叠桌的图像可以看出边缘线是一条三维 曲线，我们对该曲线寻找数学模型。首先根据 ３．１．１建立空间坐标系。 根据几何关系，写出边缘线的数学模型： ： ＋ ， √（ 一√ｒ 一 ） ＋ 。 。（ｓ一厢） 其中 ，Ｙ。为３．１．１中确定的钢筋的位置坐标： 我们所建立的边缘线数学模型以ｚ为变量， ，Ｙ 之间相互表达即为桌角边缘线的数学表达形式。 ３．２最优设计的确定 需要讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计 加工参数，包括平板尺寸，钢筋位置，开槽长度，组成 桌面的木条长度等。根据设计折叠桌的要求可知该 问题是一个典型的优化问题，应利用规划模型对问 题进行多目标优化 。 由于需要优化的变量个数较多，共有５个变量， 分别为：木板的总长度、触地桌腿形成的面积、发生 形变的趋势（力矩）、重心与木条开槽长度，本文中 我们将问题设置为两层多目标优化问题，先满足第 一层模型，在此基础上求解第二层模型。 第一层优化的数学模型将木板长度ｓ、四条桌
