卡方分布

卡方分布

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什么是卡方分布

卡方分布 ( χ2分布 )是概率论 与统计学 中常用的一种 概率分布 。 k 个的 标准正态分布变量的平

方和服从自由度为 k 的卡方分布。卡方分布常用于 假设检验 和置信区间 的计算。 [编辑 ]

卡方分布的数学定义

若 k 个随机变量 Z1 、 ⋯⋯ 、 Zk 相互，且数学期望为 0、方差 为 1( 即服从标准正态分布) ，则

随机变量 X

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

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卡方分布的特征

卡方分布的概率密度函数

为：

其中 x≥0, 当 x≤0时 fk(x) = 0 。这里 Γ代表 Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数

为：

其中 γ(k,z)为不完全 Gamma 函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如

OpenOffice.org Calc 和 Microsoft Excel 中都包括卡方分布函数。

统计 模型是否符合实际要求。

卡方分布可以用来 测试 随机变量之间是否相互，也可用来检测 自由度为 k 的卡方变量的平均值是

k，方差是 2k 。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵

为：

其中 ψ(x) 是 Digamma function 。

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卡方变数与 Gamma 变数的关系

当 Gamma 变数频率 ( λ)为 1/2 时， α 的 2 倍为卡方变数之自由度 (Degree of freedom)

即 :

卡方变数之 期望值 = 自由度卡方变数之方差

=两倍自由度

卡方分布

参数

k > 0, 自由度

值域

,

概率密度函数

,

累积分布函数 (cdf)

,

期望值 k,

中位数

众数

方差

偏态

大约 k - 2 / 3 ,

k-2, if ,

2,k,

,

峰态

熵值

12/k,

动差生成函数 (mgf)

，2t<1,

特征函数

,

一、

定义： N 个服从正态分布（均值为 0，方差为 1）的随机变量的平方和 X 服从自由度为 N 的卡方分布。 问题：证明 D(X)=2N

二、

定义：假设 X 服从均值为 0 方差为 1 的正态分布， Z 服从自由度为 N 的卡方分 布，如果 X 和 Z ，那么T=[X/ 根号 (Z/N)] 服从自由度为 N 的 t 分布。 问题：证明 D(T)=N/(N-2)

要求： 1.只要有一题证明正确者追加分数！

2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。 辛苦各位了 ~

问题补充：

希望详细一点啦 ~我概率数上没有 ~

正在算，但是好难

最佳答案

1.设 X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2 其中 Yn 都是的而且服从 N(0,1)

那么 X 服从自由度为 N 的卡方分布

因为 Yn 那么 D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2)

=2N 因为 D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2

其中标准正态分布的四阶期望是 3 要么通过公式得出 E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n) 其中 Y 是标准正态随机变量 n 是奇数 如果 n 为偶数时 E(Y^n)=0 要么直接算 算法是分步积分法

或者可以直接计算卡方分布的方差 X 的任何阶期望 具体方法是 :

X 的 n 次方期望 就是密度函数乘 x^n 积分 这时你把 x^n 放进密度函数你的积分函数里面就得到 x 的 N/2-1+n 次方也就是说系数从 N/2 变成了 N/2+n 同样你把分式下面的 Gamma 函数和 1/2^(N/2) 提到积分外部 然后添加需要的系数 (使得该式变为系数为 N/2+n 和 1/2 的 Gamma 分布 对 1 积分为一 )然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的 x^n 的期望了

2.设 X 服从 N(0,1)Z 服从自由度为 N 的卡方分布 X 和 Z 那么 D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中 E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0 所以 D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)

其中 E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) ( 通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的 1/2 次方期望可以很容易求出 ) 所以 D(T)=N/(N-2)

很好计算 因为自由度为 N 的卡方分布其实

是系数为 N/2,1/2 的 Gamma 分布 而 Gamma 函数的性质让我们很容易计算出

卡方分布： E(X)=n ，D(X)=2n

t 分布： E(X)=0(n>1) ， D(X)=n/(n-2)(n>2) F(m,n) 分布： E(X)=n/(n-2)(n>2)

D(X)=[2n^2*(m+n-2)]/[m(n-2)^2*(n-4)](n>4)

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