人教版九年级数学 反比例函数知识点归纳及典型例题

知识点归纳

（一）反比例函数的概念 1．

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量x的指数为

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数2．

（

这一限制条件；

）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解

析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量（二）反比例函数的图象

，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：

（

）

2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（

，

）在双曲线的另一支上．

图象关于直线 则（，）和（

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线轴于B点，则矩形PBOA的面积是

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， ，

）在双曲线的另一支上．

上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y（三角形PAO和三角形PBO的面积都是

）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 当

当

称．

（四）充分利用数形结合的思想解决问题．

与双曲线

的关系：

时，两图象没有交点；

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对

典型题目

21.反比例函数y的图像位于（ D ）

xA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（B ）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（ A ）

y o x y o x y o x y o x A B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ C ）

5544A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3

44551y5．如图 ，A、C是函数y的图象上的任意两点，过A作x x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt

ΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ C ） A． S1 ＞S2 B． S1 C． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定

2

6．对与反比例函数y，下列说法不正确的是（ C ）

xA．点（2,1）在它的图像上

OxB．它的图像在第一、三象限 C．当x0时，y随x的增大而增大 D．当x0时，y随x的增大而减小 7.已知反比例函数y经过（ B ）

A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）

k8．在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线y2没有交点，那么k1x和k2的关系一定是（B ） A. k1+k2=0

B. k1·k2<0

C. k1·k2>0 D.k1=k2

k，则这个函数的图象一定k0的图象经过点（1，-2）

x9. 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝__-3______． 1

10. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝_2_________．

kxx11. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__-3________．

12.如果函数ykx2k多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y

k

，（k0）即ykxx

12k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是

（k0）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：

12k2k21k1或k解得2

k0k0k1

21k1时函数ykx2kk2为y

x113.在反比例函数y的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3，y3 。若

xx1x20x3则下列各式正确的是（ ）

A．y3y1y2 B．y3y2y1 C．y1y2y3 D．y1y3y2 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得y1111，y2，y3 x1x2x3x1x20x3，y3y1y2所以选A

1解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y的图像

x描出三个点，满足x1x20x3观察图像直接得到y3y1y2选A 解法三：用特殊值法

1x1x20x3,令x12,x21,x31y1,y21,y31,y3y1y2

23nmy的图像相交于点14.如果一次函数ymxnm0与反比例函数x12）（，，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 2【解析】

1m23nm1mn2 直线ymxn与双曲线yx相交于，2，2解得x23nm1n1y2x111直线为y2x1,双曲线为y解方程组yxxx1得1 y111x22y221，另一个点为1

15. 如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线y点，且SAOB2，则m的值是_____.

m在第一象限的交x图

解:因为直线yxm与双曲线y 则有yAxAm,yAm过点A,设A点的坐标为xA,yA. xm.所以mxAyA. xA 又点A在第一象限,所以OBxAxA,AByAyA.

111OBABxAyAm.而已知SAOB2. 222 所以m4.

所以SAOB课后练习

n1的图象都经过点A（-2，1）. x 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

m2．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数yx1．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=

的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积。

1b的图象在每个象限内，y随x的增大而增x1b大,如果点a,3在双曲线上y，求a是多少？

x

3. 已知b3,且反比例函数y