高中数学立体几何判定定理与性质

高中立体几何判定定理及性质

一、公理及其推论

文字语言 公理 1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理 2

符号语言 图像语言

, B

作用

A l , B l , A

l

①用来验证直线

在平面内； ② 用来说明平 面是无限延展的

如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点

P

l 且 P l

① 用来证明两

个平面是相交关

系；

② 用来证明多 点共线，多线共 点。

的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论 1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

A, B, C不共线

A, B,C确定一个平面

用来证明多点共

面，多线共面

A

, a

有且只有一个平面 ， 使A a b

P

有且只有一个平面 ， 使a a ∥ b

,b

a ∥ c

,b

推论 3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

有且只有一个平面 ， 使a a ∥ b b ∥ c

公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行

用来证明线线平 行

二、平行关系

文字语言

（ 1）公理 4 （平行公理）

符号语言

图像语言

作用

a ∥ b

平行于同一条直线 的两条直线平行 （ 2）线面平行的判 定定理

b ∥ c

a ∥ c

如果平面外一条直 线和这个平面内的 一条直线平行，那 么这条直线和这个 平面平行。

（ 3）线面平行的性 质定理

如果一条直线和一 个平面平行，经过 这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（ 4）面面平行的判定定理

a ∥ b a b

a ∥

b ∥

b

a ∥ b

a

a ∥ b ∥ a b O a b

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 ,那么这

∥

两个平面平行 . （ 5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 （ 6）面面平行的性质定理如果两个

OO OO

∥

∥

a

a ∥ b

平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行。 （ 7）面面平行的性质如果两个平面平行 ,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（ 8）面面平行的性

b

∥ a

a ∥

质如果一条直线 垂直于两个平行平 面中的一个平面， 那么它也垂直于另 一个平面。

（ 9）面面平行的性 质

平行于同一个平面 的两个平面平行。 三、垂直关系 文字语言

∥ l

l

∥

∥

∥

符号语言

PA PO a a

图像语言

作用

（ 10）三垂线定理

在平面内的一条直线， 如

O

a

PO

果和这个平面的一条斜 和这条斜线垂直

AO

线的射影垂直， 那么它也

（ 11）三垂线定理的逆定 理

在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线垂直 ,那么它也和这条斜线的射影垂直 .

（ 12）线面垂直的判定定 理

如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

PA PO

PO

O

a a

a AO

l

m l n

m n B m n a∥ b a

l

（ 13）线面垂直的判定如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一

条也垂直于这个平 面

（ 14）线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 , 那么这两条直线平行 。

b

a b

a ∥ b

（ 15）线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一 个平面 ,那么这条直线垂 直于这个平面内的所有 直线

∥

aa ∥ b b

（ 16）面面垂直的判定定 理

如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。 （ 17）面面垂直的性质定 理

如果两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

AB

AB

CD

AB CD

AB

AB