山东枣庄 高三数学

数学（理）试题

2012.1

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1-2页，第II卷3-4页.满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.

3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II卷的答题纸一并收回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U=R，则正确表示集合M0,1和Nxx2x0关系的韦恩（Venn）图是

2.命题“存在x0R,2x00”的否定是 A.不存在x0R,2x0＜0 C.对任意的xR,20

x

B.存在x0R,2x0＜0 D.对任意的xR,2＜0

x3.在四边形ABCD中，若ACABAD，ACBDACBD，则四边形ABCD是 A.平行四边行 4.函数yA.0,

B.矩形

C.正方形

D.菱形

42x的值域是

B.0,2

C.0,2

D.（0，2）

5.设a＞0，b＞0.若2是2与2的等比中项，则A.8

B.4

C.1

D.

ab11的最小值为 ab1 4D.6

6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于 A.2

B.3

C.23

7.函数fxAsinxA＞0,＞0，＜象如图所示，则,的值分别为 A.2,的部分图23

B.3,6

C.3,3

D.2,6

8.直线txyt10tR与圆x2y22x4y40的位置关系为 A.相交

B.相切

C.相离

D.以上都有可能

9.设a，b为两条不重合的直线，,为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是 A.若a//,b,则a//b

B.若a//,b//,//,则a//b

C.若a,b,,则ab D.若a,b,a//,则// 10.设23m,且A.6

B.6

ab112 ,则m ab

C.12

D.36

x2y211.已知双曲线221的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且该双曲线的离心率

ab为5，则该双曲线的渐近线方程为

A.y1x2 2B.y2x4

C.y2x D.y2x 212.数列an中a1a,a2b，且满足an1anan2,则a2012的值为 A.b

B.b—a

C.—b

D.—a

＞0，

第II卷（非选择题 共90分）

说明：

1.第II卷3—4页；2.第II卷的答案必须用0.5mm黑色签字笔答在答题纸的指定位置. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.若平面向量a,b,c两两所成的角相等，ab1,c3,则abc_______.

xy1,14.设x,y满足约束条件xy1, 则zx2y的最小值是_______.

x1,15.设偶函数fx满足fx2x4x0，则不等式fx＞0的解集为_____.

16.在平面内有n条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这n条直线把平面分成________部分.

三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）

设数列an满足a12a22a322n1nan,nN*.

2（1）求数列an的通项公式；

（2）设bnbnbn11,cn,记Snc1c2cn,证明：Sn＜1.

log1ann1n218.（本题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知2acosAccosBbcosC. （1）求cosA的值； （2）若a1,cosBcosC3，求边c的值. 2

19.（本题满分12分）

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.

（1）证明：面PBD⊥面PAC；

（2）求锐二面角A—PC—B的余弦值.

20.（本题满分12分） 观察下表： 1， 2，3，

4，5，6，7，

8，9，10，11，12，13，14，15， „„ 问：（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？ （2）此表第n行的各个数之和是多少？ （3）2012是第几行的第几个数？

21.（本题满分12分） 已知函数fxxlnx. （1）求函数fx的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线yfx相切，求直线l的方程；

（3）设函数gxfxax1，其中aR，求函数gx在1,e上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

22.（本题满分14分）

y2x22已知椭圆C:221a＞b＞0的离心率为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和

ab2为22.斜率为kk0的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.

（1）求椭圆的标准方程； （2）求m的取值范围.

（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.

二○一二届高三第一学期期末检测 数学（理科）参及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ADDC BBDA CACA

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分 13.2或5

14.—3

15.,22,

n2n216.

2n, 2三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.解（1）由题意，a12a22a32当n2 时，a12a22a32两式相减，得2n12n22n2an12n1ann1. 2an1nn11. 2221所以，当n2时，ann.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

211*当n＝1时，a1也满足上式，所求通项公式annnN.„„„„„„„„6分

22an（2）bn1log1an21.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 nn1log1221cnn1n11„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 nn1nn11111111Snc1c2cn1 22334n1n1＜1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 n118.解：（1）由2acosAccosBbcosC及正弦定理得

1 2sinAcosAsinCcosBsinBcosC,即2sinAcosAsinBC.4分 又BCA,所以有2sinAcosAsinA,即2sinAcosAsinA. 而sinA0，所以cosA（2）由cosA1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 21及0＜A＜，得A＝. 232. 因此BCA3 由cosBcosC332,得cosBcosB, 232 即cosB1333，即得sinBcosBsinB.„„„„„„8分

22262 由A3,知B5,6662. .于是B,或B6363所以B6，或B.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 2若B6,则C123.在直角△ABC中，sin ，解得c; 23c3若B2,在直角△ABC中，tan13,解得c.„„„„„„„„12分 3c319.（1）因为四边形ABCD是菱形，

所以ACBD.

因为PA平面ABCD，

所有PABD.„„„„„„„„„„2分 又因为PAAC=A，

所以BD面 PAC.„„„„„„„„3分 而BD面PBD，

所以面PBD面PAC.„„„„„„„5分

（2）如图，设ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ.

在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ//PA. 因为PA平面ABCD，

所以OQ平面ABCD，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 则A3,0,0,B0,1,0,C3,0,0,

P3,0,2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

因为BO面PAC，

 所以平面PAC的一个法向量为OB0,1,0.„„„„„„„„„„„„„8分 设平面PBC的一个法向量为nx,y,z, 而BC3,1,0,PB3,1,2,

3xy0,nBC, 由得

3xy2x0.nPB, 令x1,则y3,z3.

所以n1,3,3为平面PBC的一个法向量.„„„„„„„„„„„10分

 cos＜OB,n＞OBnOBn321.„„„„„„„„12分

71133n120.此表n行的第1个数为2n1,第n行共有2个数，依次构成公差为1的等差数

列.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （1）由等差数列的通项公式，此表第n行的最后一个数是2n1221112n1；8分

2（2）由等差数列的求和公式，此表第n行的各个数之和为

22n3n12n12n122n2

22n2,或2n12n12n12n11122n222n32n2.„„„„„8分

2（3）设2012在此数表的第n行. 则2n120122n1,可得n11.

故2012在此数表的第11行.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 设2012是此数表的第11行的第m个数，而第11行的第1个数为210，

因此，2012是第11行的第9个数.„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 21. 解：（1）fxlnx1,x＞0.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

而fx＞0lnx+1＞0x＞,fx＜0lnx1＜00＜x＜, 所以fx在0,上单调递减，在,上单调递增.„„„„„„3分

1e1e

1e1e 所以x1是函数fx的极小值点，极大值点不存在.„„„„„„„4分 e（2）设切点坐标为x0,y0，则y0x0lnx0,切线的斜率为lnx01,

所以切线l的方程为yx0lnx0lnx01xx0.„„„„„„„„5分 又切线l过点0,1，所以有1x0lnx0lnx010x0. 解得x01,y00.

所以直线l的方程为yx1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

（3）gxxlnxax1，则gxlnx1a.

gx＜0lnx1a＜00＜x＜ea1,gx＞0x＞ea1,

所以gx在0,ea1上单调递减，在ea1,上单调递增.„„„„„„8分 ①当ea11,即a1时，gx在1,e上单调递增，

所以gx在1,e上的最小值为g10.„„„„„„„„„„„„„„„9分 ②当1＜ea1＜e，即1＜a＜2时，gx在1,ea1上单调递减，在ea1,e上单调递增.

gx在1,e上的最小值为gea1aea1.„„„„„„„„„„„„„„10分

③当eea1,即a2时，gx在1,e上单调递减，

所以gx在1,e上的最小值为geeaae.„„„„„„„„„„„„11分 综上，当a1时，gx的最小值为0；当1＜a＜2时，gx的最小值为aea1；

当a2时，gx的最小值为aeae.„„„„„„„„„„„„„„„„12分

ac21,22.解：（1）依题意可得解得a2,c1.

ac21,y2x21.„„„„„„„4分 从而a2,bac1.所求椭圆方程为22222（2）直线l的方程为ykx1.

ykx1,22由y2可得k2x2kx10. 2x1,2该方程的判别式△=4k42k2288k2＞0恒成立.

设Px1,y1,Qx2,y2,则x1x2可得y1y2kx1x222k1,xx.„„„„„„5分 1222k2k24. k22设线段PQ中点为N，则点N的坐标为2k,.„„„„„„6分 22k2k2线段PQ的垂直平分线方程为y21kx. 22k2kk2

1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 2k21 又k0，所以0＜m＜.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

2 令x0，由题意m （3）点M0,m到直线l:ykx1的距离d22m11k21m1k2

PQ1kx1x21k2x1x224x1x2

242k 1k2 2k2k28k28 1k 2k22111m8k282于是SMPQdPQ 1k22221kk21m8k28 2.

2k2由m即S1132,k2.代入上式，得SMPQ2m1m, 可得2k2m132m1m0＜m＜.„„„„„„„„„„„„„„„„11分

232设fmm1m,则fm1m14m. 而fm＞00＜m＜

111,fm＜0＜m＜, 442所以fm在0,上单调递增，在1411,上单调递减. 42所以当m1127时，fm有最大值f.„„„„„„„„13分 44256136.„„„„„„„14分 时，△MPQ的面积S有最大值

416所以当m