专题10 等效重力场模型
模型界定
物体在运动过程中所受的外力包含有恒定的场力作用，如匀强电场中的电场力、匀强磁场中恒定电流与磁场间方向关系不变时所受的安培力等，可将其与重力的合力作为一个＂等效重力＂，然后利用重力场中的相关结论来解决的一类问题． 模型破解
（i）在等效重力场中平衡的液体，其液面与等效重力方向垂直．
例１.粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图所示，已知：L=10cm，当此U形管以4m/s的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差。（
2
）
【答案】0.04m
（ii）．在等效重力场中，从斜面上某点由静止释放的物体，当等效重力与水平方向的夹角大于等于斜面倾角时物体可静止于斜面上或沿面运动；当等效重力与水平方向的夹角小于斜面倾角时物体将沿等效重力方向做类自由落体的匀加速直线运动．
例２.如图，一质量为m的小物块带正电荷Q，开始时让它静止在倾角θ的固定光滑斜面顶端，整个装置放在场强大小为E=mg/Q、方向水平向左的匀强电场中，斜面高为H，释放物块后，求在斜面倾角分别为30与60一情况下物块到达水平地面时的速度大小为多少？（重
0
0
1
-
力加速度为g）
【答案】
【解析】物体受到恒定的电场力与重力两个场力的作用，其合力即＂等效重力＂的大小为
，方向与水平方向间夹角满足
将整个空间沿逆时针转过45角，如图所示．
０
，即．
由图可以看出，当θ＝30时，物体沿斜面下滑到地面，由动能定理（或＂等效机械能＂守
0
恒）有，可得
．
；当θ＝60时，
0
物体沿等效重力的方向做类自由落体运动，同理可得
（iii）沿任意方向以相同动能抛出的物体，只有等效重力做功时，沿等效重力方向通过位移最大的物体动能改变量最大
例３.如图所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：电场方向与ac间的夹角θ。
2
-
【答案】30°
（iv）绳系着的物体在等效重力场中摆动时（包括沿圆形轨道内侧运动的物体）： ①悬线在两侧最大位置关于等效重力方向对称，即关于等效重力方向的最大偏角相等； ②物体处于关于等效重力方向对称的位置上时物体的速率相等、悬线上拉力大小相等； ③沿等效重力方向上过悬点的直线与物体运动轨迹的交点是等效最低点，在此点物体的速率最大、绳中张力最大．
④由静止释放的物体，释放点在过圆心的等效水平线下方时，物体沿圆弧运动，释放点在过圆心的等效水平线上方时，物体要先沿等效重力方向做类自由落体运动，绳绷直后再沿圆弧运动．
例４．如图所示`，一条长为L的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线3
-
与竖直线的夹角为
。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，
细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
【答案】
【解析】如图甲，
分析小球在B点时受力，将重力与电场力等效为一个等效重力，可得：，从而
可认为小球就做只受“重力”mg′与绳拉力运动．如图乙所示，根据对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足度恰好为零。
例５.如图所示，用长L的绝缘细线拴住一只质量为m的、带电量为q的小球，线的另一端拴在水平向右的匀强电场中，开始时把小球、线拉到和O在同一水平面上(线拉直)A点，让小球由静止开始释放，当摆线摆到与水平线成60°角到达B点时，球的速度正好为零，求： 4
，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速
-
(1)A、B两点之间的电势差。 (2)匀强电场的场强。
(3)小球运动到B点时细线上的拉力大小。 (4)分析小球到达B点以后的运动情况。
【答案】(1)(2)(3)(4)见解析
【解析】带电小球从A点到由静止释放摆到B点过程中重力做正功，但球由A到B时动能增量为零，因此电场力在这一过程中做负功，小球应带正电，由动能定理可以知道
由于Fx大于Gx，在B位置时小球不平衡，B位置小球对线的拉力不能用平衡条件∑F＝0来求，只能根据球在沿线方向合力为零来求，设线上拉力为T，则： T＝Eqsin30°＋mgsin60°＝
mg
另解：因为ＡＢ两位置分别是小球摆动中等效最低点两侧的两个最大位置，由对称性可知在此两位置上线中张力相等．
小球在Ａ点时，由于速度为零，所需向心力为零，则沿半径方向上的合力为零．分析小球在Ａ点处受力可知，沿半径方向上只有电场力与线的拉力，故有TＡ＝Eq＝所以小球处于Ｂ点时线上的张力TＢ＝5
mg．
mg．
-
(4)由于在B位置时，Fx＝Eqsin30°＝3mg/2大于Gx＝mgsin30°＝mg/2，小球将沿圆弧向上运动，在A、B之间的圆弧上某点(设这时线与水平成θ角，如图)有Eqsinθ＝mgcosθ，即：
θ＝30°
在θ＝30°(即小球在C位置)时，小球切向合力为零，C位置为小球的平衡位置，所以小球到达B点以后会往回绕过C位置振动。
例６.如图所示，水平放置的铜棒ab长0.1m，质量为6×10kg，两端与长为1m的轻铜线相连，静止于竖直平面上。整个装置处在斜向纸内与竖直方向成37角斜向下的匀强磁场中，磁场方向与ab垂直，磁感应强度B=0.5T。现接通电源，使铜棒中保持有恒定电流通过，铜棒垂直纸面向外发生摆动。已知铜棒摆动的最大偏角与竖直方向成74角，求通过的电流大小为多少？方向如何？(不计空气阻力，sin37=0.6，cos37=0.8，g取10m/s)
0
0
2
0
0
-2
【答案】25.7A，由b向a
【解析】对ab棒进行受力分析，ab棒受到重力、安培力和绳对它的拉力，而重力mg和安培力F都是恒力，其合力即等效重力为mg'.由于ab棒将在0°——74°之间来回摆动，ab棒位于θ=37°的位置为等效最低点，在此位置等效重力mg'与绳的拉力T共线反向。如图所示，
当θ=37°时,由力的平行四边形定则和正弦定理得：
6
-
即：
则通过的导体棒ab的电流大小为
（v）在等效重力所在平面内做变速圆周运动的物体 ①等效最低点与等效最高点的确定：
过圆心沿等效重力的方向作一直线与圆周相交于两点，沿等效重力的方向上侧点为等效最高点、下侧点为等效最低点．
②在等效最高点物体的速率最小、动能最小、绳中张力（或与轨道间的压力）最小，物体的＂等效重力势能＂最大，物体在此处最易脱离轨道．
绳系着的物体（或沿圆形轨道内侧运动的物体）在等效重力场中做完整的圆周运动的条件是在等效最高点处的速度
（式中g'为等效重力加速度）
③在等效最低点物体的速率最大、动能最大、绳中张力（或与轨道间的压力最大），物体的＂等效重力势能＂最小，绳在此处最易断裂．
④物体在圆周上关于过圆心沿等效重力方向对称的位置上，物体的速率、动能、绳上的张力等数值相等
例7.如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。现有
一质量为m的带正电，电量为速度应为多大？ 7
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初
-
【答案】
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有等效重力作功，则根据动能定理（或等效机械能守恒）有：
解得：
）或类抛体运
（vi）在等效重力场中不受其他约束力的物体将做类自由落体运动（动（
）．
2
例8．如图所示，空间存在着电场强度E＝2．5×10N／C、方向竖直向上的匀强电场，在电场内一长为L＝0．5m的绝缘细线一端固定于O点，另一端拴着质量m＝0.5kg、电荷量q＝4×10C的小球。现将细线拉至水平位置，将小球由静止释放，当小球运动到最高点时细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断开，取g＝10m／s。求：
2
－2
8
-
（1）小球的电性；
（2）细线能承受的最大拉力值；
（3）当小继续运动到与O点水平方向的距离为L时，小球速度多大? 【答案】（1）正电（2）15N（3）
（3）细绳断后小球做类平抛运动： 水平方向上：L=v0t ③
竖直方向上： ④
故速度大小为：模型演练
１.如图所示，一根对称的“Λ”型玻璃管ABC置于竖直平面内，管与水平面夹角为θ＝30, 一侧管长为L=2m，管对称线OO′的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E1，管对称线OO′的右侧的空间存在与竖直方向成
，大小为E2的匀强电场。质量为m，带正电电量为
0
q的小球在管内从A点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系数为μ，如果小球在B端与管作
用没有机械能量损失，已知一次速度为零的位置在何处？ 9
，
，
，求小球从A点开始至第
-
【答案】到B点的距离为
，大
【解析】如图甲所示，对小球在AB斜面上受力分析，电场力和重力的等效为重力小为
，方向竖直向上。对小球在BC斜面上受力分析，电场力和重力等
效为重力
，大小为
，方向垂直斜面向上，如果将整个模型转180就成了如
0
图乙所示的问题。
分析BC斜面上的受力特点，将BC斜面顺时针转30，就成了如图丙所示最熟悉的斜面模型。在斜面AB上的加速度为：第一次到B点的速度为：在斜面BC上的加速度为：10
0
-
速度为零时，到B点的距离为：
2.半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一个质量为m、带正电的珠子，空
间存在水平向右的匀强电场．如图所示。珠子所受静电力是其重力的最低位置A点静止释放．则珠子所能获得的最大动能Ek＝？
倍．将珠子从环上
【答案】
故小珠运动到B点时有最大动能
3.质量为m，电量为+q的小球以初速度
以与水平方向成θ角射出，如图所示，如果在某
方向做直线运动，试求所加匀强电场
方向加上一定大小的匀强电场后，能保证小球仍沿11
-
的最小值，加了这个电场后，经多长时间速度变为零？
【答案】
由①式得： ③
由③式得：其方向与
时，E最小为
垂直斜向上，将
代入②式可得
12
-
即在场强最小时，小球沿时速度为0，则：
做加速度为
的匀减速直线运动，设运动时间为t
，可得：
另解：小球在运动中只受到重力和电场力两个力的作用，可认为小球只受到一个等效重力的作用，则由题意可知小球应是在等效重力场中做类上抛运动或类下抛运动．由物体作竖直抛体运动的条件可知物体受等效重力的方向应与小球的初速度
在同一直线上．
如图乙所示，由力的合成及三角形知识可知，当电场力的方向与小球的初速度方向即等效重
力方向垂直时电场力最小，电场强度最小．由图中几何关系有
，则等效重力加速度
，
．由图可知当电场强度最小时，等效重力
0
方向与小球初速度方向相反，小球做类上抛运动，将整个空间沿逆时针转过90-θ则如图丙所示．当小球到达等效最高点时速度减小到零，经历的时间
．
4.放置在竖直平面内的光滑绝缘轨道如图所示，其中BC为水平面，斜面AB与BC通过较小光滑圆弧连接，CDF是半径为R（R大小未知）的圆形轨道。一个质量为m、带电量为＋q的小球，从距水平面BC高h处的P点由静止下滑，小球恰能通过竖直圆形轨道的最高点D而作圆周运动。试求：
（1）圆形轨道半径R的大小；
（2）现在竖直方向加方向竖直向下的足够大的匀强电场，且电场强度满足mg=2qE，若仍从P点由静止释放该小球，试判断小球能否通过圆形轨道的最高点D。若不能，说明理由；若能，求出小球在D点时对轨道的压力。 13
-
【答案】（1）（2）能，0
（2）存在电场时，由于电场力与重力的合力即等效重力方向仍向下，故Ｄ点仍是等效最高点．
设小球恰能通过D点的速度为
，则由等效重力提供向心力，即：
mg＋Eq= ③
即
高度为h时，若小球能通过D点，此时小球在D点的速度设为从P点到D点由动能定理，得到：
(mg＋Eq)(h－2R)= ④
解得：由于
，因此小球恰好通过D点
因此对D点的压力N＝0
5如图所示，粗糙的斜槽轨道与半径最底点，C为最高点。一个质量下，当滑到
处时速度
m的光滑半圆形轨道BC连接，B为半圆轨道的kg的带电体，从高为
m的
处由静止开始滑
m/s，此时在整个空间加上一个与纸面平行的匀强电场，带电
体所受电场力在竖直向上的分力大小与重力相等。带电体沿着圆形轨道运动，脱离C处后运14
-
动的加速度是
m/s，经过一段时间后运动到斜槽轨道某处时速度的大小是
，带电体运动过程中电量不变，经过B点时能量
2
m/s 。已知重力加速度损失不计，忽略空气的阻力。求：
（1）带电体从B到C的过程中电场力所做的功（2）带电体运动到C时对轨道的压力
（3）带电体与斜槽轨道之间的动摩擦因数
【答案】（1）5J（2）16N（3）
（2）带电体从B到C运动的过程中，由于ＢＣ位于等效重力场中的同水平线上，等效重力不做功，所以
在C点，等效重力与ＢＣ垂直，向心力由轨道对小球的压力提供，由牛顿第二定律得：
解得：
（3）带电体脱离轨道后只受到水平方向上的等效重力作用，小球的初速度与等效重力方向15
-
共线且大于一段时间后的瞬时速度，可知小球做类上抛运动，等效重力加速度
．由运动学公式得：
代入数据得：
设斜面与水平面的夹角为，则，
带电体从A到B的运动过程中，由动能定理得：
代入数据解得：
６.如图所示，匀强电场水平向右，电量
C。在A点时速度大小为
N/C，一带正电的油滴的质量kg，
m/s，方向为竖直向上，则油滴在何时速
度最小且求出最小速度？ 【答案】0.5s,
分析可得，当y方向速度为零，油滴的速度最小为
16
-
m/s，
对应时间为：s
7.风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右,当小球静止在A点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求： ⑴ 水平风力的大小；
⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？
(3)小球静止在A点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ (4)若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．
【答案】（1）mgtanα（2）α，（3）（4）
17
-
(3)如图丙所示，小球必须能通过B点才能做完整的圆周运动，设通过B点时小球的最小速度为vmin，则此时绳上拉力恰好为零．
(4)分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动． 8.如图所示，直线形挡板p1p2p3与半径为r的圆弧形挡板p3p4p5平滑连接并安装在水平台面b1b2b3b4上，挡板与台面均固定不动。线圈c1c2c3的匝数为n,其端点c1、c3通过导线分别与电阻R1和平行板电容器相连，电容器两极板间的距离为d,电阻R1的阻值是线圈c1c2c3阻值的2倍，其余电阻不计，线圈c1c2c3内有一面积为S、方向垂直于线圈平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间均匀增大。质量为m的小滑块带正电，电荷量始终保持为q,在水平台面上以初速度v0从p1位置出发，沿挡板运动并通过p5位置。若电容器两板间的电场为匀强电场，p1、p2在电场外，间距为l,其间小滑块与台面的动摩擦因数为μ，其余部分的摩擦不计，重力加速度为g. 求：
（1）小滑块通过p2位置时的速度大小。 （2）电容器两极板间电场强度的取值范围。 （3）经过时间t,磁感应强度变化量的取值范围。
18
-
【答案】（1）（2）0< E （3）0<
【解析】(1)小滑块运动到位置时速度为v1，由动能定理有：
①
v1=
②
（2）由题意可知，电场方向如图，若小滑块能通过位置p，则小滑块可沿挡板运动且通过位置p5，设小滑块在位置p的速度为v，受到的挡板的弹力为N，匀强电场的电场强度为E，由动能定理有：
= ③
（3）设线圈产生的电动势为E1，其电阻为R，平行板电容器两端的电压为U，t时间内磁感应强度的变化量为
B，得： ⑧
U=Ed
19
-
由法拉第电磁感应定律得E1=n ⑨
由全电路的欧姆定律得E1=I（R+2R） ⑩ U=2RI
经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围：0<
20
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