求解均匀带电球面上场强的三种方法

孙国标

绍兴县柯桥中学，浙江绍兴，312030

问题提出：对于带电量Q均匀分布在半径为R的球面上的电场强度分布问题，由于电荷分布的球对称性，由高斯定理很容易求得球面内、外的电场强度，即

rRE0kQ

r2rR其E-r曲线如图1：

图1

那球面上r=R处的电场强度究竟是0还是kQr2呢？下面笔者给出三种解法，供大家参考。

方法一：利用定义式

在电场中某点的场强等于检验电荷在该处受到的电场力与其电荷量的比值。 EFq 现在我们要求球面上P点场强，可以在球面上P附近取一面元ΔS，带电量为Δq，其受到的电场力为球面上除ΔS外剩余部分在P处产生电场对其作用力，所以

EE剩余qpqE剩余

其中：E剩余为球面上除ΔS外剩余部分在P处产生的场强。

在P点两侧分别取点P1和P2，且P1，P2非常接近P，如图1所示，P1和P2两点

的场强为面元ΔS和剩余部分叠加而成， 图1

图2

根据对称性，面元ΔS在P1点和P2产生的场强等大，反向，而剩余部分在P1，P2处产生的场强大小相等，方向相同，如图2所示（该区域已放大）

因此有：E剩余ESEP1kQR2 E剩余ESEP20

所以EQ剩余ESk2R2 因此P点的场强为EQRk2R2

方法二：利用微元叠加法

如图3所示，对于球面上P点，其电场强度可以视为许多以P点和球心连线上某点为圆心，半径不同的带电圆环在P处产生的场

dS2rdl

带电量为dqQQ4R22rdl2R2rdl 其中rRsin，dlRd，于是有

dqQ2sind 根据对称性，此圆环在P点产生的场强叠加后仅有x分量，因此有

dEdq(RRcos)xk[(RRcos)2(Rsin)2]3/2 2Rco2s k2[2R2(1cos3/)2d]q kQsindkQ8R2cos4R2sin2d

2所以P点的合场强为

EdEkQPx4R2sin02d

kQ2R2sinkQ2d22R20

图3

方法三：利用功能原理

现将球面电荷缓慢地压缩到R-ΔR的球

面上，其中ΔR为一无穷小量，如图4所示，此过程中克服电场力做功为

AERQR

图4

其中ER为球壳表面的电场强度。 上述克服电场力做的功应转变为被收缩区域的电场能。

又因为静电场的能量密度为wE28k在微小压缩过程中可以认为不变。

且式中E为带电球面外外侧附近的电场强度，由高斯定律可以求得：

EkQR2 因此被收缩区域的电场能为

WwV 其中V4R2R 根据功能关系有：AW 得：EQRk2R2 小结：

均匀带电球面的场强分布情况，即球面内、球面上及球面外的场强．若球半径为R、电量为q

0rREkQ2R2rR kQr2rR

作者：孙国标

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