《字母表示数》 教案 (公开课获奖)2022北师版 (7)

【教学目标】 知识与技能

能用字母表示以前学过的运算律、计算公式以及实际问题中的量. 过程与方法

经历探索规律并用字母表示数的过程,体会字母表示数的意义,形成初步的符号感,提高应用数学的意识. 情感、态度与价值观

激发强烈的求知欲,培养积极探索、勇于创新的精神和团结合作的习惯. 【教学重难点】

重点:用字母表示数的意义及用字母表示规律. 难点:用字母表示规律. 【教学过程】

一、创设情境,引入新课

搭一个正方形需要4根火柴棒.

(1)按如下图的方式,搭2个正方形需要 根火柴棒,搭3个正方形需要 根火柴棒;

(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?

(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?

(4)如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流.

第一个正方形用4根,每增加一个正方形增加3根,那么搭x个正方形就需要火柴棒[4+3(x-1)]根.

上面的一排和下面的一排各用了x根火柴棒,竖直方向用了(x+1)根火柴棒,共用了[x+x+(x+1)]根火柴棒.

师:今天这节课,我们就来学习用字母表示数. 二、讲授新课 活动(一)

问题1:2003年10月15日,我国成功发射了“神舟五号〞载人飞船,它在椭圆轨道上环绕地球飞过14周,历时21h.

(1)该飞船绕地球飞行一周需多少分? (2)假设绕地球飞行n周,需多少分? 生:(1)=90(分) (2)×n=90n(分)

问题2:能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数,如果用k表示任意一个

整数,用含有k的代数式表示:(1)任意一个偶数;(2)任意一个奇数.

整数:… -3 -2 -1 0 1 2 3 … k … 偶数:… -6 -4 -2 0 2 4 6 … ( ) … 奇数:… -7 -5 -3 -1 0 1 3 5 … ( ) … 学生思考,并举手答复.

通过探究,我们发现字母可以表示任何一个数. 1.你知道扑克牌中的字母表示什么数吗?

2.一那么招领启事是这样写的“小明同学今天在操场上拾到人民币n元,请失主到政教处认领〞.你知道这里为什么要用字母n吗?

活动(二)

问题3:在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如何用字母表示它们?请同学们填写下表: 运算定律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 学生讨论交流,并举手答复.

师:请同学们比拟一下,哪种表示方法更简明、更有利于掌握呢? 学生答复.

师:通过问题3使我们认识到正确使用字母表示所学过的运算律、公式和法那么,既简单又明了.

三、例题讲解

【例1】练习簿的单价为a元,怎样表示100本练习簿的总价?

解:因为练习簿的总价=练习簿的数量×单价,所以100本练习簿的总价为100×a元,即100a元.

【例2】以下表述中,字母表示什么? (1)正方形的面积为a;

(2)七年级一班有男生20人,全班共有(20+x)名同学. 解:(1)字母a表示该正方形的边长; (2)字母x表示七年级一班的女生人数.

师:我们知道,利用字母表示数还能简明地表示一些数学规律,例如:

2

字母表示 a+b=b+a 语言表述 加法交换律:a+b=b+a;乘法结合律:(ab)c=a(bc); 假设a≥0,那么|a|=a;假设a<0,那么|a|=-a.即|a|= 四、举例应用

你能填出下表中各图形的周长和面积公式吗? 名称 正方形 三角形 梯形 圆 活动(三)

C=2πr S=πr 2图形 用字母表示公式 周长(C) C=4a 面积(S) S=a 2C=a+b+c S=ah C=a+b+c+d S=(a+b)h 问题4:(1)如下图,用长方形框系?请用一个等式表示这个关系.

任意框出月历中的三个数,这三个数之间有什么关

(2)如下图,假设用正方形框任意框出月历中的四个数,又能用什么等式表示呢?

学生观察、探究并写出结果. 五、课堂小结

这节课我们通过活动探索规律,得出规律,并用含字母的式子表示出来,这使我们知道:用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,也可以简明地表达数和公式,这样给我们研究问题带来了很大的方便.

第五章 反比例函数

一、学生知识状况分析

通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.

教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.

二、教学任务分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此根底上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标 (一)知识与能力

1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念. 2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.

3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.

(二)过程与方法

1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.

2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.

3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.

4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结

合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题. (三)情感与价值观

通过本章内容的回忆与思考，开展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点

本章知识的网络结构体系. 反比例函数的概念.

会作反比例函数的图象，并掌握其性质. 反比例函数的相关应用.

教学难点

利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质. 反比例函数的相关应用.

教学方法

自主探究、合作交流.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，稳固新知；第四环节：交流探讨 、收获小结；第五环节：课后作业

第一环节：复习提问，引人入胜

活动目的 给学生设置疑问，激发学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。 活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容? 学生答复预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。 . 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。 .

第二环节：知识串联，形成体系

活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系， 将根底知识网络化，形本钱章知识的框架结构体系。

活动过程： 〔一〕本章知识结构

引导学生构造本章知识结构图。 (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)

本章内容框架

活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.

考前须知：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导； 2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。 （二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念. 学生答复预设：

例：当三角形的面积是16 cm时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a＝

2

32. hk(k是常数，k≠0)的形式,那么称yx 在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=是 x的反比例函数. 〔三〕说说函数y＝

22和y＝-的图象的联系和区别. xx 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；

(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形.

(4)虽然y＝

22和y=-的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分xx22的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-的两xx别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同，y=支曲线在第二象限和第四象限. (2)y＝

22的图象在每个象限内，y随x的增大而减小；y=-的图象在每个象限内，yxx随x的增大而增大.

〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质

画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.

反比例函数图象的性质有〔课件演示〕： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.

2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大. 4.因为在y=

k (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与xx轴相交，也不可能与y轴相交.

5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2那么S1＝S2

6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.

第三环节：例题精练，稳固新知

活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。 活动过程：课件展示

例一

1.以下函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些 ( )

170.210 (3)y= (2)y= (4)y=-

100x3xxx32.在函数y＝的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成

x(1)y=

的矩形面积是多少?

分析：根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y＝

1中，形式虽然和反比例函3x1数的形式不相同，但可以化成y=3的形式。

x答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有(3)(4).

2. S=｜k｜=3. 例二

1，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa，倒过来放，对桌面的压强是多4少?

2

3

3

3

，当体积v＝5米ρ＝1.98千克／米，求(1)ρ与v的函数关系式；(2)当v=9米时，

CO2的密度.

分析：压强p、受力面积S、压力F三者之间的关系为p=是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同. 质量m、密度ρ、体积v三者之间的关系为：ρ=

F，因为是同一物体，所以FSm33

，由v=5米，ρ=1.98千克／米,v可知质量m，实际代表反比例函数中的k，求出m，就确定了反比例函数的关系式. 答案：

解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝的压强p2＝

F＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面SF4F＝800Pa. 1SS43

3

2

的质量为m千克，将v=5米，ρ=1.98千克／米代入公式ρ＝

m中，得m=9.9千克. v 故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝

(2)当v＝9米时，ρ=

3

9.9. v9.93

＝1.1(千克／米)。 v课堂练习 课件演示： 1.对于函数y=

22，当x>0时，y_______0，这局部图象在第______象限；对于y＝-，xx当x<0时，y____0，这局部图象在第_____象限.

10的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______. xk3.根据以下条件，分别确定函数y＝的表达式

x2.函数y=

(1)当x=2时，y＝-3； (2)点(-,

121k)在双曲线y＝上.

x3

答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=

16 (2)y=；

6xx考前须知：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行思考，防止替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：交流探讨 收获小结

活动内容： 教师引导学生进行回忆和整理，然后通过师生交流和生生交流，答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容？

交流预设： 1.反比例函数概念

2.反比例函数图像的做法及性质 3.反比例函数在生活中的应用 4.做题时要注意数形结合 5.具体题目的解题思路

活动目的：使学生通过再次的回忆和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：课后作业 〔一〕复习题 〔二〕活动与探究

反比例函数图象与矩形的面积 假设点A是反比例函数y=

k (k≠0)图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，xk (k≠O)图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引xAC垂直于y轴，垂足为C,那么矩形面积SABOC=｜k｜.如图(1).

1.如图(2)，P是反比例函数)y=

垂线，得阴影局部(矩形)的面积为3，那么 这个反比例函数的表达式______.

2. 如图〔3〕过双曲线y=

2上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，假设矩形ADDC与x矩形BFOE的面积分别为S1,S2,那么S1与S2的关系是_____.

答案：

1.解：由题意得｜k｜=3.

又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3. ∴k=

3. x 2.解：由题意得 S1=S2=｜k｜=2.

〔三〕补充练习(课件展示〕

〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比拟分析

关系式 正比例函数y=kx(k≠0) K＞0 y yk (k为常数，且k≠0) xK＜0 K＜0 y K＞0 图象 0 x 0 x 图象经过点 ，图象经过点 ，双曲线的两个分支分别双曲线的两个分支分别性与第 象限。y与第 象限。y位于第 象限；位于第 象限；质 随着x的增大随着x的增大而 。 在 ，y随着x的增在 ，y随着x而 。 大而 。 的增大而 。

四、板书设计

回忆与思考

一、本章知识结构 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业

五、教学反思

本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。