利用导数证明不等式的几种方法研究

作者：赵伟

来源：《俪人·教师版》2016年第11期

【摘要】高中数学学习中利用导数进行不等式证明是学生需要掌握的内容，也是高中学习的重点内容。利用倒数证明不等式可以简化计算步骤，提高运算准确性。但是，高中数学中利用导数计算不等式方法很多，怎样根据不同已知条件选择合适的方法是需要关注的问题，也是教学的难点。本文主要针对利用导致证明不等式的几种方法进行研究，根据不同方法适用的范围具体的进行分析，为不等式的证明提供更加细致的解题技巧。 【关键词】导数 不等式证明 方法研究

高中数学学习中经常会遇到各种不等式问题，涉及范围广泛并且方法多样，因此解题方法也是多变的，需要根据具体题型找到解题思路和方法，导数是证明不等式的方法之一，也是经常使用的方法，因此可以通过对题型进行分析，从而将导数证明方法进行掌握，引导学生使用正确的方法进行不等式证明。 一、作差证明不等式方法研究

例：已知函数f（x）=12x2+lnx，求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图像在函数gx=23x3的图像下方。

分析：对于这个题目首先需要将函数进行分析，可以看出函数f（x）与函数g（x）之间位置关系，实际上就是分析这两者函数之间大小的关系，这样可以采用作差的方法，利用这两者之差的比较，即只需要证明在（1，+∞）范围内恒有12x2+lnx

解：设FX=gx-f（x）=23x3-12x2-lnx，则F（X）一阶导数F'X=2x2-x-1x=2x3-x2-1x=x-1（2x2+x+1）x，然后根据导数的性质推断出题目中函数的关系，即：

当x>1时，F'（X）在（1，+∞）上是恒大于0的，因此这个函数是增函数，这样可以判断出F（1）为函数取得的最小值，为16。不等式计算中gx-fx>0，这样就可以证明fx在gx下方。

总结：通过上述例题可以发现，在进行函数计算过程中，如果出现不等式问题，需要将其和导数进行关联，通过导数的性质将不等式证明进行转化，这样可以更加直观的将计算结果进行表达，从而利用函数的最大值或者是最小值将数据将不等式进行计算。在两个函数都是复杂函数，不易转换为图形的情况下可以选择作差的形式，将函数进行转化。

二、利用换元法构造函数导数计算不等式

例：证明：对于任意正整数n，不等式ln1n+1>1n2-1n3都是成立的。

分析：这种类型题目单纯的计算是较为困难的，因为需要进行化简，化简过程也是复杂的，不容易发现其中的内在关系，因此遇到这样的问题可以通过换元法进行计算，可以将步骤简化。

解：令1n=x，则上述函数可以转化为lnx+1>x2-x3，x>0。构造函数 FX=x2-x3-lnx+1

则，F'X=2x-3x2-1x+1=-x+1x+12+-3x3x+1，得出F'X是恒小于0的，函数单调递减，因此可以证明上述不等式。

结论：在遇到一些不宜计算或者是化简的函数中，需要将函数进行化简，如果函数前后形式一样，可以使用换元法将函数进行转化，这样可以将复杂函数中不易察觉的规律展示出来，转化为解题的已知条件，充分将已知条件进行利于，得到结论。换元法是常用的解题方法，但是其使用受到条件的，需要根据实际题型进行使用。 三、利用单调性证明不等式 例：证明函数lnx+1

分析：题中函数在单独进行函数单调性观察较为复杂，因此需要函数进行简化，便于进行比较，这样就可以使用导数的性质对函数大小进行推断，从而解出题目。

解：构造函数FX=lnx+1-x，则F'x=1x+1-1，由题意可知x的范围是（-1，∞），在这个定义域内f（x）是单调的，这样就可以利用最值进行不等式的证明。

令F'X=0，解得x=0，因为函数是单调递减的，这样可以发现0是其最大值。这样可以得到fx=lnx+1-x

结论：在进行不等式的证明中如果遇到本身就复杂并且性质不一样的函数，可以将导数的增减性利用起来证明不等式，将复杂的问题简单化，提升计算准确性，节省计算时间。导数性质也是解题中经常使用的方法，利用导数的性质在求函数单调性和最大值方面效果较好。 结束语

利用导数证明不等式是经常使用的方法，通过这样的方式可以减少一定的运算过程，将复杂的函数进行简单化处理，进一步提升解题效率。在进行导数证明不等式的计算中，可以使用构差法、换元法和函数单调性等方法，根据题目中的隐含条件计算函数大小，简化运算过程。因此，可以在实际联系中充分发挥导数的作用，将不等式的证明准确性进行提升。 【参考文献】

[1]秦昊.利用导数证明不等式的几种方法[J].教育教学论坛，2015，10：1-190.

[2]全梅花，张雪梅.浅议利用导数证明不等式的几种方法[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2015，01：15-17.

[3]徐志科，王彦博.利用导数证明不等式的几种方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2013，14：7-8.