§8.4 阶跃型光纤光学系统

光学纤维（以下简称光纤）由于其具有传光、传像和传输其它光信号的功能，因此在医学、工业、国防和通讯事业等方面得到了广泛应用。光纤根据其传光特性又分为二种，一种是阶跃型折射率光纤，即光纤的内芯和外包皮分别为折射率不同的均匀透明介质，因此光线在阶跃型光纤内的传输是以全反射和直线传播的方式进行。另一种是梯度折射率光纤，即光纤的中心到边缘折射率呈梯度变化，因此光线在光纤内的传播轨迹呈曲线形式。本节主要介绍阶跃型光纤的特性及其光学系统。

一、阶跃型光纤的基本原理

由全反射原理知道，当光线由光密介质（折射率n1）射入光疏介质（折射率n2）的光滑分界面时，入射角I大于临界角Im时，则入射光将发生全反射，即

阶跃型光纤就是根据全反射原理制成的细而长的光学纤维。当光线的入射角为U时，则经光纤输入端面折射后，其折射角U'应满足下式

根据全反射定律有

所以

即入射在光纤输入端面的光线最大入射角U，应满足上式，否则光线在光纤内不发生全反射而通不过光纤。我们定义

为光纤的数值孔径，即。

当光纤位于空气中时，。

与几何光学中的物镜一样，光纤的数值孔径表示光纤接收光能的多少，要想使 光纤通过较多的光能，就必须增大光纤的数值孔径NA,须使n1和n2 的差值增大。当光纤的直径不变、

且不弯曲光纤时，光线在光纤子午面内传播，由光纤出射端面射出的光线出射角是不变的，但其射出方向视其在光纤内的反射次数 而定，若光线在光纤内的反射次数为偶数时，则出射光线方向与入射光线方向相同，若光线在光纤内的反射次数为奇数时，则出射光线方向与

入射光线方向对称于光 纤的光轴。

因此一束平行光或一束会聚光入射在光纤的端面时，其出射光已不是一束平行光或发散光，平行光束变成一锥面平行光束，会聚光束变成一锥面发散光束。当光纤的直径不均匀时或光纤被弯曲时，其出射光束将变得更加复杂。

当光纤的直径不均匀时，即光纤在某处直径稍大，在某处直径稍小，就会形成圆锥形光纤。当光线由光纤大端入射时，光线在光纤内每反射一次，反射角减小了圆锥夹角的二倍，反之则反射角增大了角的二倍。由于光纤的长度比其直径大得很多，光纤在整个长度范围内不可能保持直径的严格相等，在不相等的地方形成不同角度的圆锥型光纤，因此光线在光纤内的入射角和反射角有可能不断地微量变化，光线从光纤端面射出时的角度和方向也就无法严格地确定了。

根光纤被弯曲成曲率半径为R的圆弧状时，光线在光纤内的入射角和反射角也会发生改变，甚至有的光线会折射到光纤的外包皮层，造成光能损失。设光纤的弯曲圆弧半径为R，光纤的内芯半径为r0，在子午面内的光线与轴心垂直端面的夹角为反射角分别为和 可得

，在C点的入射角和反射角分别为和

，光线在B点的入射角和。

因为只有当时，B点的光线才会发生全反射，所以有

上式说明弯曲后的光纤数值孔径小于原光纤数值孔径，且其出射光线的方向也要发生变化。 由于光纤单丝直径的变化和光纤束在使用过程中经常成弯曲状态，因此入射在光纤端面的平行光束或会聚光束不再成上述的圆锥平行光束或圆锥发散光束，综合其各种变化的几率，射出光纤端面的光束应看成为充满光纤数值孔径角的发散光束。 二、阶跃型光纤束的传光、传像特性

阶 跃型光纤既具有传递光能的特性，又具有可挠性，因此在医用和工业内窥镜及其它光纤仪器中常利用光纤束作为传光和传像的光学元件。所为光纤束就是把许多单根 光纤的两端用胶紧密地粘贴在一起，做成不同长度和不同截面形状与大小的光纤元件。光纤束既可作为

传光束，又可作为传像束，传光束是用来传递光能的，传像束 是用来传递图像的，由于二者的作用不同，因此其结构形式和要求也不尽相同，下面来分别加以介绍。

1. 传光束传光束是传递光能的，因此要求光纤束应具有一定的光能透过率，设为光纤束的光能透过率，为

为光纤束输入端光通量，为光纤束输出端光通量，则光纤束的光能透过率

影响光纤束光能透过率的因素很多，但其主要因素为光纤束的端面反射损失、内芯材料吸收、内芯与外包皮的界面反射损失、光纤束的填充系统和数值孔径等，下面分别加以分析。 （1）光纤端面的反射损失当光纤束位于空气中时，光线由空气入射到光纤端面时，有一部分光被反射掉，且随入射角的不同，反射光损失也不同。根据光的电磁理论，当入射角U?0时，其强度反射率为

式中，n0为空气折射率，n1为光纤内芯的折射率。n0和n1不变时，无论从空气射入介质或从介质射入空气中的光线，其反射损失是一致的，因此在光纤束的输出端也存在同样的反射损失，通过光纤束两端面的光能透度率为

（2）内芯材料吸收任何光学材料对光能均有吸收作用，其大小可用吸收系数来表示，当光线在光纤内通过的路程为S时，则光线通过光纤的透过率为

因为

所以

式中U'为入射光线在光纤端面的折射角，L为光纤的总长度。光纤的透过率是呈负指数形式的衰减函数，随着L的增大，透过率越来越小，这是光纤光能损失的主要部分。

（3）内芯与外包皮的界面反射损失由于制造上的原因，光纤的内芯与外包皮的分界面不可能形成理想的光学反射面，因此其全反射系数，设全反射的损失系数为A，则有

若光线在光 纤中的全反射次数为N，则光能透过率为

（4） 填充系数和数值孔径的影响，光纤束是由许多单根光纤粘接而成的，除了粘层占有一定空间外，光纤的外包皮和排列间隔都占有光纤束的截面空间，这些空间是不能 传递光能的,而能够传递光能的只有光纤的内芯截面。我们把光纤束内芯截面的总和称为有效传光面积,有效传光面积与光纤束端面面积之比称为光纤束的填充系 数,其值远小于1,它与单根光纤的外包皮层厚度和光纤束的排列方式有关,六角形排列的光纤束其填充系数最大。 数值孔径是表示光纤束集光本领的参数，数值孔径越大，进入光纤束内的光线越多，光纤束的透过率就越高。

综合上述各种因素，光纤束的光能透过率为

式中，k为光纤束的填充系数。

表示子午面内一条折射角为U'的光线透过率，如果是一束光线，通过光纤束后的光能透过率为

式中，F(U')为光线束的角分布函数。

2. 传像束传像束之所以能传递图像是因为组成传像束的每一根光纤好比一个像元，当传像束的光纤成有规则排列，即输入端和输出端的光纤成一一对应时，输入端的图 像（或称亮暗）被光纤取样后传输到输出端。但就传像束中的单根光纤而言，其传光特性与传光束中的光纤相同，要求有一定的光能透过率和光谱吸收要求，以保证 传像束能获得优良的彩色传输图像。

作 为传输图像的传像束，其重要的指标是其传输图像的分辨率，它不仅与组成传像束的单根光纤直径有关，而且与光纤束的排列方式和排列紧密程度有关。当光纤的单 丝直径d一定时，传像束的分辨率主要取决于光纤的排列方式和使用状态，一般情况下，光纤的排列方式有二种，一种是正方形排列，其填充系数约为78.5%； 另一种是正六角形排列，其填充系数约为90.7％。由于其排列方式不同，相邻单丝光纤间的距离不同,取样间隔也就不同, 光纤束的分辨率不同。对正方形排列,在0°和90°方向上，其取样间隔近似等于单丝光纤的直径d，其极限分辨率为

但在45°和135°方向上，交错光纤的中心位于同一直线上，其取样间隔为0.7d，因此其极限分辨率为

说明正方形排列的传像束，在截面不同方向上的分辨率是不一样的。对正六角形排列，在0°、60°和120°方向上，其取样间隔约为

，因此其极限分辨率为

但在30°、90°和150°方向上，交错光纤的中心位于同一直线上，其取样间隔为0.5d极限分辨率为

说明正六角形排列的传像束在不同方向上的分辨率也是不一样的。

由上述分析可知，正六角形排列的传像束比正方形排列的传像束的分辨率要高，故大多数的传像光纤束均为正六角形排列。

上 述讨论是传像束在静态条件下的分辨率，当传像束对被传递的图像作相对运动，即在动态情况下取样时，每根光纤可分时对多个像元取样，输出图像则是动态取样的 综合效应，克服了静态条件下出现的图像像元漏取缺陷（非有效传光截面），从而提高了传像束的分辨率。根据实验和计算，传像束的动态分辨率与光纤的排列方式 无关，其大小为

因此传像束的动态分辨率远高于静态分辨率。对正方形排列

提高分辨率2.44倍。对正六角形排列提高分辨率2.12倍。 三、阶跃型光纤光学系统

由于光纤束具有传光和传像特性，因此作为传光和传像的光学元件，在许多光学系统中得到了广泛应用。例如内窥镜光学系统、光纤高速摄影系统、光纤全息内窥镜系统、光纤潜望系

统等。下面来介绍传像光纤束光学系统的特性和设计要求。

传 像光纤束的功能是传输图像，因此必须有一幅图像输入到传像束的输入端面。在一般的光纤系统中，担任这一任务的是成像物镜，它可把不同大小和距离的物体成像 在传像束的输入端面。对物镜光轴上的像点A'来说，其成像光束的立体角相对光轴是对称的，而对轴外像点B'来说，其成像光束的立体角是相对主光线对称的。 轴上像点A'的光束正入射在传像束的输入端面上，而轴外像点B'的光束是斜入射在传像束的输入端面上，当物镜L的像方孔径角u'和光纤的数值孔径角相等 时，轴上像点A'的光束能全部进入传像束中传输，而轴外像点B'的光束，由于其主光线与传像束的输入端法线成一夹角

（视 场角），使得光

束的一部分下光线的入射角大于传像束的数值孔径角，而使其不能通过传像束，相当于几何

光学中栏光作用。而且随着物镜视场角的增大，像点B' 的栏光增多，使得传像束输出图像的边缘变得较暗，这是光纤光学系统所不能允许的。为了克服上述缺陷，光纤光学系统的成像物镜应设计成像方远心系统。由于像 方远心系统的孔径光阑位于物镜L的前焦面处，使得物镜的像方主光线平行于物镜光轴，轴外像点B'的光束与轴上像点A'一样，正入射在传像束的输入端面，使 得轴外像点不存在拦光现像，可获得与输入图像光强分布近乎一致的输出图像。

为 了观察传像束的输出图像，在传像束的输出端面之后需连接目镜或光电图像转换器件，因此对传像束的后置光学系统也应有一定的要求。这是因为传像束输出端的光 束发散角受光纤束的传光特性所限,它不同于自发光物体, 而是以光纤数值孔径角的大小发散光线，因此后置光学系统应设计成物方远心光学系统，如图8－26所示。其后置光学系统的孔径光阑位于物镜的后焦面上，使其 物方主光线平行于物镜光轴，才能获得相匹配的光束衔接。 若 把传像束的输入端和输出端的光学系统连接起来，传像束的输入、输出端面相当于前后二个光学系统的中间像面，其光瞳位置是衔接的，尤如不存在传像束的二个光 学系统组合一样。但我们不能完全将其看成是二个光学系统的组合，这是因为二个光学系统的组合，只要考虑光瞳位置的衔接就可以了，而在光纤光学系统中，除考 虑光瞳位置的衔接外，前后光学系统的光瞳大小还必须单独考虑。例如前方成像系统的像方孔径角小于传像束的数值孔径角时，则后方成像系统的相对孔径不应以前 方成像系统的像方孔径角为准，原则上应以传像束的数值孔径角为准，这是因为光纤束的传光特性决定其出射光束以充满光纤的数值孔径角出射的，若不满足上述要 求，则后方成像系统就会传 像束的光能传输。 由 实验知道，光纤束射出的光线虽以充满数值孔径角的形式发散，但其光线在整个数值孔径角内的分布是不均匀的，中心处最密，越靠近最大孔径角处光线越疏，即光 能的分布呈高斯函数型。当后方成像系统对光能的要求不高时，只要满足一定的成像分辨率要求，其后方成像系统的相对孔径未必一定要和传像束的数值孔径相匹 配，适当减小其相对孔径大小 ，将会给后方成像系统的设计带来很大益处，若后方成像系统的相对孔径一定要和传像束的数值孔径相匹配时，在光学设计的像差校正中，也应以小相对孔径部分为 主，因为它占有物像点总能量的大部分。