2018届高三五月调研考试(数学试题答案)

2018届高三五月调研考试数学参

一、选择题：

CAACB ADBDC AA 二、填空题：

13. 15； 14. x3y22 ； 15. 三、解答题：

17. 解：(I)设{an}的公差为d，{bn}公比为q，

232； 16. 2

(3d)q12,， ………………2分

93dq20,∴(3d)(113d)12，又d0，

∴d3,q2. …………………………4分

则∴an3n,bn2n1. …………………………6分 (II)∵cn3n2n1cosn3n2n1(1)n3n(2)n1， ………………8分 ∴

Tn3[1(2)02(2)0n(2)n1]2Tn3[1(2)(n1)(2)1n1n(2)]n，………10分

3Tn3[1(2)1(2)n1n(2)n]∴

， 2[1(2)n1]n3[1n(2)]3(3n1)(2)n1∴ Tn. ……………… 12分

3

18. 证明：（I）∵点E，F分别是边CD，CB的中点，

∴BD∥EF. …………………………1分 ∵菱形ABCD的对角线互相垂直， ∴BDAC. ∴EFAC.

∴EFAO，EFPO. …………………………2分 ∵AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，

∴EF平面POA. …………………………3分 ∴BD平面POA. …………………………4分 （II）：设AOBDH，连接BO，

∵DAB60， ∴△ABD为等边三角形.

∴BD4，BH2，HA23，HOPO3.………………………5分

BH2HO27，

222 在△PBO中，BOPO10PB，

在R t△BHO中，BO ∴POBO. ……………6分

∵POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED， ∴PO平面BFED. ………………7分 以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，

高三理科数学试题 第 1 页 共 6 页

OP所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，

则A0,33,0，B2,3,0，P0,0,3，

zPH0,3,0.  ∴AP0,33,3，AB2,23,0.

DABEHFxOy 设平面PAB的法向量为nx,y,z，

 由nAP，nAB，得 33y3z0,……9分 2x23y0. 令y1，得z3，x3. ∴平面PAB的一个法向量为n3,1,3. …………………………10分

 由（I）知平面PAO的一个法向量为BH2,0,0， ……………………11分 设二面角BAPO的平面角为，

nBH2339 则coscosn,BH. 13132nBH ∴二面角BAPO的余弦值为39. …………………………12分 13__19.解：解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为x元，则：x=（1000×0.00015+3000×

0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分） （Ⅱ）由频率分布直方图，得：

损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户， ∴ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

=

，

∴ξ的分布列为：

ξ P Eξ=0×

+1×

+2×

=．

高三理科数学试题 第 2 页 共 6 页

0 1 2

（Ⅲ）如图：

经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 30 5 35 9 6 15 合计 39 11 50 捐款超过500元 捐款不超过500元 合计 2=≈4.046＞3.841，

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）

20. 解：（1）由题设知l：x﹣y+b=0，且b＞0，

由l与C2相切知，C（0）到l的距离20，∴l：

．

，得，

将l与C1的方程联立消x得其∴C1：综上，l：

．

，C1：

．

得

，

，

（2）不妨设k＞0，根据对称性，k＞0得到的结论与k＜0得到的结论相同． 此时b＞0，又知p＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由

消y得k2x2+2（kb﹣p）x+b2=0，

，

，得

其△=4（kb﹣p）2﹣4k2b2=0得p=2kb，从而解得由l与C2切于点N知C2（0，0）到l：kx﹣y+b=0的距离

则，故．

高三理科数学试题 第 3 页 共 6 页

由得，

故

y+b=0的距离为2k2+2， ∴∴当且仅当

即

==.到l：kx﹣

=

=

时取等号，

，=

．

，

与上同理可得，k＜0时亦是同上结论． 综上，λ的取值范围是

．

21.解：（Ⅰ）由f（x）=（ax2+x﹣1）ex．

f'（x）=[ax2+（2a+1）x]ex=[x（ax+2a+1）]ex． ①若a＞0，当x＜﹣2﹣或x＞0时，f'（x）＞0； 当﹣2﹣＜x＜0时，f'（x）＜0，

所以f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2﹣），（0，+∞）；单减区间为（﹣2﹣，0）． ②若a=0，f（x）=（x﹣1）ex，f'（x）=xex，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，

所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）． ③若﹣＜a＜0，当x＞﹣2﹣或x＜0时，f'（x）＜0； 当0＜x＜﹣2﹣时，f'（x）＞0，

所以f（x）的单调递增区间为（0，﹣2﹣）； 单调递减区间为（﹣∞，0），（﹣2﹣，+∞）．

高三理科数学试题 第 4 页 共 6 页

④若a=﹣，f′（x）=﹣x2ex≤0，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）． ⑤若a＜﹣，当x＜﹣2﹣或x＞0时，f'（x）＜0； 当﹣2﹣＜x＜0时，f'（x）＞0，

所以f（x）的单调递增区间为（﹣2﹣，0）； 单调递减区间为（﹣∞，﹣2﹣），（0，+∞）．

综述：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2﹣），（0，+∞）； 单调递减区间为（﹣2﹣，0）．

当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）． 当﹣＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，﹣2﹣）； 单调递减区间为（﹣∞，0），（﹣2﹣，+∞）． 当a=﹣时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）； 当a＜﹣时，f（x）单调递增区间为（﹣2﹣，0）； 单调递减区间为（﹣∞，﹣2﹣），（0，+∞）；

（Ⅱ）证明：g（x）=e﹣xf（x）+lnx=e﹣x（ax2+x﹣1）ex+lnx=ax2+x﹣1+lnx， 设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=ex2，k2=ex2=所以x2=1，y2=e，k2=e．

由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex， 设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1）， 则k1=g′（x1）=2ax1+1+

=

=﹣e，

，

高三理科数学试题 第 5 页 共 6 页

a=﹣﹣，又y1=a+x1﹣1+lnx1=﹣ex1，即

+，

x1+lnx1﹣=0，

令u（x）=x+lnx﹣，u′（x）=

在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数， 又u（1）=

＞0，u（

）=+ln

﹣＜0，

所以u（1）•u（令t=

，则1＜t＜

）＜0，即

＜x1＜1，

，a（t）=﹣[t2+（e+1）t]，

所以a＞a（）=﹣，a＜a（1）=﹣，故﹣＜a＜﹣．

22.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2y21；l：y＝x－2． 解：（Ⅰ）C： …4分 52x0t2（Ⅱ）点P(0,－2)在l上，l的参数方程为 (t为参数) y22t23x2y21整理得t222t30 …7分 代入

55102 由题意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝ …10分

3（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）因为|x－3|＋|x－m|≥|(x－3)－(x－m)|＝|m－3| …2分 当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号，

令|m－3|≥2m，所以当m>0时，m－3≥2m，或m－3≤－2m． 解得m≤－3，或m≤1

当m≤0时，不等式恒成立，

∴m的最大值为1 …5分

112

（Ⅱ）由柯西不等式，(＋＋1)( 4a2＋9b2＋c2)≥(a＋b＋c)＝1， …7分

4936

∴4a2＋9b2＋c2≥，等号当且仅当4a＝9b＝c，且a＋b＋c＝1时成立．

49943636

即当且仅当a＝，b＝，c＝时，4a2＋9b2＋c2的最小值为． …10分

49494949

高三理科数学试题 第 6 页 共 6 页