解三角形

解三角形

一、选择题

1. (2006山东文、理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=

（A）1 （B）2 （C）3—1 （D）3

2.（2005春招上海）在△ABC中，若

acosAbcosBccosC3,a=3,b=1，c=( )

，则△ABC是（ ）

（A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形. 3. （2006全国Ⅰ卷文、理）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成

等比数列，且c2a，则cosB（ ） A．

14 B．

34 C．24 D．23

4. （2005北京春招文、理）在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

5. （2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为 A．123323，那么b=（ ） D．23

B．13 C．226. （2010上海文）18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 7. （2010湖南理）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则

A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 8. 在△ABC中，A=60°，a=433,b=42，则B等于( )

A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 9. △ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

10. (2006山东潍坊检测)在△ABC中，cos2A2bc2c(a、b、c分别为角A、B、C的对

边)，则△ABC的形状为( )

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

11. （2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（ ）

16233A. 27 B. 3 C. 3 D. 4

12.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab223bc，sinC23sinB，则A=

（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 13. （2010湖北理）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －

223 B

223 C －63 D 63 二、填空题

1．已知abcbca3bc则∠A=_________________________. 2.（2010山东文）（15） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab2,sinBcosB2，2,则角A的大小为 . 3. （2010北京文）（10）在ABC中。若b1，c3，c23，则a= 。

4.（2010广东理）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

5. （2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，abab6cosC，

则

tanCtanAtanCtanB=_________。

三、解答题

1. （2010陕西文）17.（本小题满分12分）

在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

2.（2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）

在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边， 且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.

3. （2010辽宁理）（17）（本小题满分12分） 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.

4. （2010安徽文）16、（本小题满分12分）

ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA (Ⅰ)求ABAC.

1213。

(Ⅱ)若cb1，求a的值。

5. △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果abbc,求

2证:A2B.

解三角形练习题一答案

一、选择题 题号 1 答案 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B 题号 答案 2.解：令 acosAb11 D 12 A ccosC13 D 14 15 16 17 18 19 20 cosBk,

则由正弦定理得

kcosAsinAkcosBsinBkcosCsinC,cotAcotBcotC,

ABC.4．解：由正弦定理，令

asinAbsinBakcsinCckk,则

sinA2ak,sinCck2.由已知条件2sinAcosBsinC得 c2a2cosB2,cosB2.故余弦定理得

c2aacb2ac,ab0,abab0,2

ab0,ab.另解：

2sinAcosBsinC,2sinAcosBsinAB,2sinAcosBsinAcosBcosAsinB,sinAcosBcosAsinB0,sinAB0,AB.32

5.解：因该三角形的面积为

12acsin30，B30,故

32,ac6.

由余弦定理得

bac2accos30ac63.

22222由因a,b,c成等差数列，故

2bac,4bac2acac18.

22222故3b1263,b6. 【答案】C

22312,b31.

解析：由sinA:sinB:sinC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得cosc5111325112220，所以角C为钝角

7. 解：

另解一：

由已知条件及正弦定理得

2asin120bsinBasinA,

故 absin1202sinB64sinB3,

sinAsin120262.42sinBsinACsinAcosCcosAsinC64cos12061sin120410322

ab61142464630823086.4sinB6511,ab.

另解二：

由余弦定理得

cab2abcos120abab.

22222因c2a,故

2a22abab,baab0,2222b15bb10,1.aaa2

故ab.

42322bsinA8. 解析：sinB=a=

43=2,又∵b答案：C

9. 解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC,

即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.

又∵-π另解：由已知条件及余弦定理得

a22ab22a2bcosC22abc2ab222,

aabc,acac0,ac.

A1cosA2221cosAbcb10. 解析：∵cos22=

2,∴

b222=2c,即cosA=c.

2bcabca2bc 又∵cosA=选B.

2bc,∴c=

,即a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.故

11.解析：因ACB90,ab,故c22ECa2a2a322a,由余弦定理得

2a3cos45222212a9329269252aa.92

易知FC259a,EF2292a.故由余弦定理得

22cosECFECFCEF2ECFC5a222sinECF341,553599a59a2229a2102102,tanECF53.54454

12. 【答案】A

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由由正弦定理得

c2R223b2Rc23b，

所以cosA=

b+c-a2bc223bcc2bc2=3bc23bc2bc32，所以A=30

0

另解：由正弦定理及sinC23sinB得c23b.又因a2b2

aba7b.22223bc，故

3b23b,

由余弦定理得

cosAbca2bc222bc7b2bc222c6b2bc221cb162bc213236.223asinAbsinB故A30.

13. 【解析】根据正弦定理可得

15sin6010sinB解得sinB33，又因为ba，

则BA，故B为锐角，所以cosB1sin2B二、填空题答案

632，故D正确.

bca2211. 解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴

62bc=2.∴∠A=3.

答案：32..3. 1.4. 1.

解析：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，

12．由ab知，AB60，则A30，

1sinA3sin60，即

sinAC180AB180306090，sinCsin901

5. [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC13，tan2C21cosC1cosC12，tanC222，

tanAtanB1tanC22，tanCtanAtanCtanB= 4。

（方法二）abab6cosC6abcosCab，6ab22abc2ab222ab,ab22223c222

tanCtanAtanCtanBba2absinCcosCcosBsinAsinBcosAsinAsinBsinCsin(AB)1sinC cosCsinAsinBcosCsinAsinB另解：由

baab6cosC及余弦定理得

226abc2ab,ab2232c.

2于是由余弦定理及正弦定理得

tanCtanAtanCtanBsinCsinABcosCsinAsinB1abc2ab2c322222212c22sinC2cosCsinAsinB22c2ababc

4.2cc

三、解答题答案

1.解：解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得 ADDCAC2ADDC222cos

=

10036196210612,

ADC=120°, ADB=60°

在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得

ABsinADBADsinB,

322256. AB=

ADsinADBsinB10sin60sin45102. 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c

2

即a2b2c2bc

由余弦定理得a2b2c22bccosA 故cosA12,A120

2 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin

Asin2Bsin2CsinBsinC. 12又sinBsinC1，得sinBsinC因为0B90,0C90， 故BC

所以ABC是等腰的钝角三角形。

另：如用和差化积公式，可以比较方便地解第二个问题的。 3. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c 即 a2b2c2bc

由余弦定理得 a2b2c22bccosA 故 cosA12，A=120° ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinBsinCsinBsin(60B)32cosB12sinB

sin(60B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 另：如用和差化积公式，可以比较方便地解第二个问题的。

4. 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利

用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由cosA1213得sinA的值，再根据ABC面积

222公式得bc156；直接求数量积ABAC.由余弦定理abc2bccosA，代入已知

条件cb1，及bc156求a的值.

解：由cosA又

121213，得sinA1(1213)2513.

bcsinA30，∴bc156.

12（Ⅰ）ABACbccosA156144.

13（Ⅱ）a2b2c22bccosA(cb)22bc(1cosA)12156(1∴a5.

1213)25，

【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA1213，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问

中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.

另解：(1) 因cosA1213，故sinA12cos2A5121. 13132又因ABC的面积为30，故

12bcsinA30,bc60sinA60sinA,60cosA51213144.ABACcbcosA

13（2）因cb1,又由（1）得

bc60sinA605131213.

故bb11213,b12或13.但b为三角形的边，不可能为负数，故b12,c13.从而由余弦定理得

acb2cbcosA13122131222222121325,a25.

5.证一

2由正弦定理,a2RsinA,B2RsinB,c2RsinC,代入abbc中,得

sinAsinBsinBsinC2 1cos2A2121cos2B2sinBsinAB

cos2Bcos2AsinBsinAB

sinABsinABsinBsinAB. 因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.

讲评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求

证二

利用余弦定理,由a2bbc得

cosAbca2bc222bcbbc222bc2cb2b,

a2c2b22cos2B2cosB1212acbcc22bbcc22

1cb2b. 所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B. 另证：

2因abbc,故由余弦定理及正弦定理得

cosAbca2bc222bcbbc222bccbc2bc21c12b1sinC1sinAB112sinB2sinBsinAcosBcosAsinBsinB2sinB,

2cosAsinBsinAcosBcosAsinBsinB,sinABsinB.

因A、B、C都为三角形的内角，故由上式得AB与B相等或互补.若AB与B互补，

则ABB180,A180,矛盾.故ABB,A2B.