dd狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法

狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法

孟宪红 白昭宇

(北京航空航天大学飞机设计与应用力学系固体所，北京100083)

摘要 以往矩形截面杆自由扭转问题的解仅在弹性力学中查到，本文从材料力学的教学法和便于应用的观点重新分析了该问题，得到了其材料力学的解，当h/b≥6时，可以满足工程应用的精度要求。

关键词 狭长矩形截面杆，自由扭转，材料力学

众所周知矩形截面杆自由扭转问题的即剪应力在各部分均为线性分布， 解可在弹性力学中查到。为便于过程应用，

r⎫

τ2x=−τmaxsinθ⎪将其写成如下形式

⎪R

⎬ (4)

TTlr∗∗

τmax=，ϕ= (1) τ2y=τmaxcosθ⎪32

αhbβhb

R

⎪⎭

其中，α，β与ϕ=h/b有关，并以表格形式给出。

若从材料力学的教学法和便于应用的观点考虑，用材料力学的方法来研究该问题仍有一定的价值。为此，用材料力学的解法介绍如下。 1 应力分布

首先，我们将图示长为h，宽为b的狭长矩形截面杆的截面用一矩形ABCD和两个半圆截面代替。矩形ABCD的长2h1=

在半圆内点的坐标均为

y=rsinθ2 确定τmax

x=h1+rcosθ (5)

由平衡条件，我们有

T=∫τ1ydA1+∫(−τ2xy+τ2yx)dA2

A1

A2

h−b，两半圆的半径R=b/2。参考坐标

系如图1所示。

⎡r2y2

=τmax∫dA1+τmax∫⎢sin2θA1RA2

⎣R

(6) r⎤

+cosθ(h1+rcosθ)⎥dA2

R⎦⎧1⎛1⎞π⎫2

=τmax⎨⎜+1−⎟⎬hb⎜⎟

⎩3⎝ς⎠16ς⎭

其中

ς=

图 1

根据余能概念我们设剪应力分布如下，在矩形部分截面内

h

(7) b

T

⎡π1⎛1⎞⎤2

⎜1−⎟+⎥hb⎢⎜⎟

⎣16ς3⎝ς⎠⎦

=

T

(8) Wk

τmax=

τ1=τx=τmax

在半圆截面内

YR

(0≤Y≤R) (2)

⎡π1⎛1⎞⎤2

+⎜Wk=⎢⎜1−ς⎟⎟⎥hb (9) 163ς⎝⎠⎦⎣

3 求扭转角ϕ

杆件的余能

1

τ2=τmax

r

R

(0≤r≤R) (3)

2001 Vol.23 No.1

⎫1⎧⎪2⎪2

ττUc=∫dV=dVdV+⎨∫11∫22⎬

22GG⎪⎪VV2⎩V1⎭

τ2

4l2⎧Rh1y2

τmax⎨∫∫2dydx=2G⎩00R

2

Rπ/2r⎫

rdrdθ⎬+∫∫00R2⎭4l⎛T⎜=

2G⎜⎝Wkl⎛T⎜=

2G⎜⎝Wk

1⎛1⎞⎤

⎜+⎟⎥⎜1−ς⎟∗

83ςϕ−ϕ⎝⎠⎦⎣ 1δϕ==−2

ϕ∗⎡π1⎛1⎞⎤

+⎜⎢⎜1−ς⎟⎟⎥16ς3⎝⎠⎦⎣

β⎢

⎡π⎞⎡1π2⎤

⎟()hbbb⎥−+⎟⎢32⎦⎠⎣122

⎞⎡π1⎛1⎞⎤⎟⎜1−ς⎟⎟⎥hb⎟⎢8ς+3⎜

⎝⎠⎦⎠⎣

(10)

2

其结果列于表1中。

表1

ς α

δr 1.0 0.2081.2 0.2191.5 0.2311.75 0.2392.0 0.2462.5 0.2583.0 0.2674.0 0.2826.0 0.2998.0 0.30710.0 0.313∞ 0.333

β

δϕ

ϕ=

⎫

⎪⎪2

⎪⎡π1⎛1⎞⎤3⎪+⎜1−⎟⎢⎥hb⎬ (11) ⎜⎟16ς3⎝ς⎠⎦⎪Jk=⎣

⎡π1⎛1⎞⎤⎪1−⎟⎢+⎜⎥⎪⎜⎟

⎣8ς3⎝ς⎠⎦⎪⎭

∂UcTl=∂TGJk

4 精度分析

将式(8)、式(11)之结果与精确解式(1)两式对比可得其精度，τmax和ϕ的相对误差分别以δr及δϕ表示，则有

∗

−τmaxτmaxα=−δr=1 ∗

τmax1⎛1⎞π+⎜1−⎟⎟16ς3⎜⎝ς⎠

-5.93% 0.141 -43.6%

0.08%0.166 -32.3%4.55%0.196 -24.8%6.30%0.214 -20.8%7.11%0.229 -18.5%7.37%0.249 -14.6%7.19%0.263 -12.2%5.71%0.281 -9.37%3.70%0.299 -6.44%2.91%0.307 -4.62%2.08%0.313 -3.94%0 0.333 0

由表1可知：当h/b≥6时，用上述材料力学方法求得的τmax与ϕ可以满足工程应用的精度要求。τmax稍小于τmax，ϕ稍低于ϕ。

参考文献

1 单辉祖主编．材料力学．北京：国防工业出版社，1995

2 徐芝纶．弹性力学．北京：高等教育出版社，1990

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