九年级下二次函数图像与性质教案

一、阅读教科书 二、学习目标：

1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点：

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习

3

1．观察：①y＝6x2；②y＝－x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽

2然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．

3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2

（4）y＝3x3＋2x2 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x

m2m1

（5）y＝x＋

x

－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．

2．下列函数中是二次函数的是（） 1

A．y＝x＋

2

B． y＝3 (x－1)2

C．y＝(x＋1)2－x2

1

D．y＝2－x

x

3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米 B．48米 C．68米 D．88米

4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．

5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3． 求：（1）函数y与x的函数关系式；

（2）当x＝4时，y的值；

1

（3）当y＝－时，x的值．

3

6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

六、目标检测

1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（） A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 2．下列函数中，是二次函数的是（） A．y＝x2－1

B．y＝x－1

8

C．y＝

x

D．a≠－1

8

D．y＝2

x

3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．

4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．

第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质

一、阅读课本 二、学习目标：

1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用． 三、探索新知：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】 列表：

x y＝x2 … … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 描点，并连线

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________． 3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．

四、例题分析

1

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象．

2解：列表并填： x 1y＝x2 2… … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … …

y＝x2的图象刚画过，再把它画出来． x y＝2x2 … … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … …

1

归纳：抛物线y＝x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；

2对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．

1

例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的图象．

2列表：

x y＝x2 … … … … －3 －2 －1 －2 －1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 … … … …

x 1y=－x2 2－4 －3

x y＝－2x2 … … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … …

1

归纳：抛物线y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，

2对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）． 五、理一理

1．抛物线y＝ax2的性质 a＞0 a＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______． 图象（草图） 开口 方向 顶点 对称轴 当x＝____时，y有最_______值，是______． 有最高或最低点 最值

2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______

对称，开口大小_______________．

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________； 当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；

因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．

六、课堂训练 1．填表： 开口方向 2y＝x2 3y＝－8x 2顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 当x＝____时，y有最_______值，是______．

2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 4．如图，① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ___________________________________

七、目标检测

3

1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

7当x＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y＝mx

m22有最低点，则m＝___________．

3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为___________．

4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、阅读课本 二、学习目标：

1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；

2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用； 3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系． 三、探索新知：

在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象． 解：先列表

x y＝x2＋1 … … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … y＝x2－1 … … 描点并画图

观察图象得： 1． y＝x2 y＝x2－1 y＝x2＋1 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1． 3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．

四、理一理知识点 1． 开口方向 顶点 y＝ax2 y＝ax2＋k 对称轴 有最高（低）点 a＞0时，当x＝______时，y有最____值为最值 ________； a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________． 增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．

五、课堂巩固训练

1．填表 函数 y＝3x2 y＝－3x2＋1 y＝－4x2－5 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性

2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛

物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

六、目标检测

1．填表 函数 开口方向 y＝－5x2＋3 y＝7x2－1 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性

11

2．抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向___________平移_________个单位

33得到的．

3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．

4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．

第4课时 二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质

一、阅读课本： 二、学习目标：

1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；

2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：

11

画出二次函数y＝－(x＋1)2，y－(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、

22顶点以及最值、增减性．

先列表： x 1y＝－(x＋1)2 21y＝－(x－1)2 2… … … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … … … 描点并画图．

1．观察图象，填表： 函数 1y＝－(x＋1)2 21y＝－(x－1)2 2开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 1

2．请在图上把抛物线y＝－x2也画上去（草图）．

2

111

①抛物线y＝－(x＋1)2，y＝－x2，y＝－(x－1)2的形状大小____________．

22211

②把抛物线y＝－x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2；

2211

把抛物线y＝－x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2．

22四、整理知识点

1． y＝ax2 y＝ax2＋k 开口方向 顶点 对称轴 y＝a (x-h)2 最值 增减性 （对称轴左侧）

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．

五、课堂训练

1．填表 图象（草图） 1y＝x2 2 开口 方向 顶点 对称轴 最值 对称轴 右侧的增减性 y＝－5 (x＋3) 2 y＝3 (x－3) 2

2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．

把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________． 14．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．

3

5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式

___________________________． 六、目标检测

1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．

2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．

第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

一、阅读课本： 二、学习目标：

1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象； 2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；

3．会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题． 三、探索新知：

1

画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

2列表： x 1y＝－(x＋1)2－1 2… … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … …

由图象归纳： 1． 函数 1y＝－(x＋1)2－1 2 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性

1

2．把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，

21

就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．

2四、理一理知识点

开口方向 顶点 对称轴 最值 y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 y＝a (x－h)2＋k 增减性 （对称轴右侧）

2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．

五、课堂练习 1． 开口方向 顶点 y＝3x2 y＝－x2＋1 1y＝(x＋2)2 2 y＝－4 (x－5)2－3 对称轴 最值 增减性 （对称轴左侧）

2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同． 1

3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（）

21

A．y＝(x－2)2＋3

21

C．y＝(x＋2)2＋3

2

1

B．y＝(x＋2)2－3

21

D．y＝－(x＋2)2＋3

2

4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．

5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物

线的解析式为_______________________．

6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值． 7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为

__________________．

六、目标检测

1． y＝x2＋1 y＝2 (x－3)2 y＝－ (x＋5)2－4 开口方向 顶点 对称轴

2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________． 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）

A

B

C

D

4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．

5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这

条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）

第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

一、阅读课本： 二、学习目标：

1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象． 三、探索新知：

1

1．求二次函数y＝x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．

2

1

解：将函数等号右边配方：y＝x2－6x＋21

2

1

2．画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．

2

1

解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．

2列表： x 1y＝x2－6x＋21 2… … 3 4 5 6 7 8 9 … …

3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．

四、理一理知识点： y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h)2 开口方向 顶点 对称轴 最值 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 增减性 （对称轴左侧）

五、课堂练习

1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标． 3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．

4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

六、目标检测

1

1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标．

22．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

第7课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、复习知识点： 二、学习目标：

1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法； 2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响． 三、基本知识练习

1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．

2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________． 5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用

1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物

线与x轴交点的横坐标）．

例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵

坐标）．

例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响． （1）a决定：开口方向、形状

（2）c决定与y轴的交点为（0，c）

b

（3）b与－共同决定b的正负性

2a

0与x轴有两个交点（4）△＝b2－4ac0与x轴有一个交点

0与x轴没有交点例3 如图， 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0

例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9． ①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； ③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点． 五、课后练习

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．

2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________． 3．如图： 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △＝b2－4ac______0

六、目标检测

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．

2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：

由图可得：a _________0 b_________0 c_________0

△＝b2－4ac_________0