圆锥曲线选择题

圆锥曲线选择题

x2ay21．过双曲线2b21(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线l，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C，若AB12BC，则此双曲线的离心率是（ ）

A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

2．已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l:2xy30和y轴的距离之和的最小值是（ ） A. 3 B.

5 C.

51 D. 2

．已知点F是双曲线x2y23a2b21(a0,b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A. 1, B. 1,2 C. 1,12 D. 2,

4．椭圆x24y21的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1是PF2的（ ）

A. 3倍 B. 4倍 C. 5倍 D. 7倍

5．已知双曲线C:y2x25a2b21（(a0,b0)）的离收率为3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）

A. y34x B. y463x C. y3x D. y62x

6．已知ABC中， A,B的坐标分别为0,2和0,2，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（ ）

x2y2x2A. 951（y0） B. 36y2201（y0） x2y2x2C. 591（x0） D. 32y2361（x0）

7．椭圆x2y21641上的一点A关于原点的对称点为B， F为它的右焦点，若AFBF，则△AFB的面积是（ ）

A. 2 B. 4 C. 1 D. 32

8．已知椭圆C:x22y21的上、下顶点分别为M,N，点P在椭圆C外，直线PM交椭圆于点A，若PNNA，则点P的轨迹方程是 （ ）

A. yx21x0 B. yx23x0 C. y2x221(y0,x0) D. y3x0

9．若双曲线x2y29m1的渐近线l的方程为y53x，则双曲线焦点F到渐近线l的距离（ ）

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A.

5 B. 14 C. 5 D. 25

x2y210．设F为双曲线221(a0,b0)的右焦点， O为坐标原点，若OF的垂直平分线与ab渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为x2y214．双曲线C:221(a0,b0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A，点P为双曲线Cab左支上一点，若APF周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（ ）

2OF，则双曲线的离心率为 3A. 56 B. 885 C. 785 D. 6A. 23 B. 35 C. 25 D. 5 103 5

11．已知Pxx20,y0是椭圆C:4y21上的一点， F1,F2是C的两个焦点，若PF1·PF20，则x0的取值范围是（ ）

A. 262623233,3 B.

3,3 C. 333,3 D. 663,3

x2y212．双曲线a2b21(a,b0)离心率为3，左右焦点分别为F1,F2， P为双曲线右支上一点，

F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q,F2Q2，则双曲线方程为（ ）

A. x22y21 B. x2y22y2x221 C. x31 D. 3y21

13．已知双曲线C:y2x22b28b21(b0)，点P是抛物线y12x上的一动点，且P到双曲线C的焦点F10,c的距离与到直线x3的距离之和的最小值为5，则双曲线C的实轴长为 （ ）

A. 23 B. 4 C. 8 D. 43

15．已知O为坐标原点， Fx2y21,F2分别是双曲线C:a2b21的左右焦点， A为C的左顶点，P为C上一点，且PF1x轴，过点A的直线l与线段PF1交于点M，与y轴交于E点.若直

线F2M与y轴交点为N， OE2ON，则C的离心率为（ ）

A. 13 B. 2 C. 233 D. 4

16．已知抛物线y24x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点（A在第一象限内）,AF3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（ ）A.

831633239 B. 9 C. 39 D. 9

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参

1．D

【解析】右顶点Aa,0,则直线方程为xya0,又双曲线的两条渐近线方程分别为

2ybax,所以

Ba2ab,abab,Caab,abab,则有

BC2a2b2a2babab1a2b2,a2b2,ABab,ab,又AB2BC，故4a2b2,所以离心率e5,故选D.

点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过

右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入

AB12BC中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中c2a2b2,即可求得离心率. 2．C

【解析】由题抛物线焦点为F1,0，准线方程为x1 ，如图，点P到直线l距离为PA，根据抛物线定义P到y轴距离等于PF1，所以P到直线l距离和y轴距离之和等于PAPF1，由于PAPF1AF1，所以当P,A,F三点共线时，距离最小，即FB ，

经计算点F到直线l的距离5，所以最小距离为51，故选择C.

点睛：与抛物线有关的最值问题的求解问题一般情况下都与抛物线定义有关，实现点到点的距离与点到线的距离的转化，解体策略为（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“直线上所有点的连线中的垂线段最短”解题，这类问题主要考查划归转化能力的应用. 3．D

【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若ABE是钝角三角形，显然AEB为钝角，因此EA·EB0，由于AB过左焦点且垂直于x轴，所以Ab2b2c,a， Bc,a， Ea,0，则EAb2b2ca,a， EBca,a，所以EA·EBca2b4a20，化简整理得： aacb2，所以a2acc2a2，即c2ac2a20，两边同时除以a2得e2e20，解得e2或e1（舍），故选择D.

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点睛： 求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式，利用b2a2c2和eca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查. 4．C

【解析】如图所示， M,O分别为PF1,F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线，则PF轴，根据通径易知PF2b2a12，根据椭圆定义， PF12aPF72x22，所以PF1是PF2的7倍，故选择D.

5．A

222【解析】根据eca53有ca1ba5b43，所以a3，所以根据焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为yabx ，所以双曲线C的渐近线方程为y34x，故选择A. 6．C

【解析】由题AB4， CACB6，且6AB，所以C点轨迹是以A,B为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点，故选择C.

点睛：求轨迹方程问题是建立在对圆锥曲线知识整体掌握的基础之上，考查学生对圆锥曲线的综合掌握.常用的求轨迹方程方法有直接法、相关点法、定义法、参数方程法、交轨法等.本题主要考查定义法求轨迹方程，定义法求轨迹方程的一般步骤为（1）判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量；（3）求轨迹方程. 7．B

【解析】由椭圆方程知a4,b2,c23，因为AFBF,O是AB的中点，所以

AO=BO=OF=23,设Ax,y,则x2y21且x216y241，解得|y|233，所以三角形的面积是212232334，故选B． 8．D

【解析】解：设A点坐标为A2cos,sin ，由题意可知 ： M0,1,N0,1 ，则：

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k12cos,ksin12cosAMsinAN2cos,kPNsin1 ，

直线AM 的方程为： y1sin12cosx ， ①

直线PN 的方程为： y12cossin1x ， ② 点P 为①②两式的交点，消去参数 结合题意可得点P的轨迹方程为： y3x0. 本题选择D选项.

点睛：求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x：y之间的关系F(x：y)：0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

(4)代入(相关点)法：动点P(x：y)依赖于另一动点Q(x0：y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x：y)的轨迹方程． 9．A

【解析】解：m＞0，双曲线x29y2m1的渐近线l的方程为y53xm3x ， 得m=5，焦点为14,0 ，

所以焦点到渐近线的距离为d514955 .

本题选择A选项. 10．B

【解析】解答：

双曲线x2y2ba2b21(a0,b0)渐近线方程yax，

由OF的垂直平分线为xc2,将xc2,代入ybbcax ,则y2a， 则交点坐标为c2,bc2a， bcbc由c,bc到yb2222aax ,即bx+ay=0的距离： da2b223OF23c， 解得： c32b32c2a2,即9a25c2 ， 则双曲线的离心率eca355. 本题选择B选项.

点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式eca； ②只需要根据一个条件得到关于a：b：c的齐次式，结合b2：a2：c2转化为a：c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)： 11．A

【解析】解：由题意可知： F13,0,F23,0 ，则： PF1PF2x03x03y2x20y20030 ，

y2x2点P 在椭圆上，则：0014 ，故：

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x2x2001430 ，解得： 263x0263 ， 即x 26260的取值范围是3,3 .

本题选择A选项.

点睛：解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 12．B

【解析】由题意，得直线l是线段F1Q的中垂线，则2aPF1PF2PQPF2F2Q2，即a1，又因为该双曲线的离心率为ca3，所以c3,b22，即双曲线的方程为x2y221；故选B.

13．D

【解析】由题意可知，抛物线y212x 的焦点为F3,0 ，准线方程为x3 ，又点P 到

直线x3 的距离等于点P 到点F3,0的距离，设点P到直线x3的距离d ，则

dPF2221PFPF1FF1 ,所以|FF|=13c5 ，所以c4 ， b8 b16 ，则b24 ， a2b2812 2a43 . 故选D.

点晴：本题考查的是圆锥曲线综合问题，关键是注意到直线x3是抛物线的准线，利用抛物线的定义把到直线x3的距离转化为到点F3,0的距离，则dPF1PFPF1FF1（当P、F、F21三点共线时取到最小值时）,可得|FF|=13c5，解得c4.进而可求得2a43. 14．B

【解析】设双曲线的右焦点为

F' ， AFP的周长为

AFAPPFAFAPPF'2a ， 而APPF'AF' ，所以三角形周长的

最小值是

AFAF'2a 2b2c22a6b，解得： 7b6a ，

49b236a249c2a236a2c285c85a249 ，解得： ea7 ，故选B.

【点睛】解析几何中的最值问题，包括几何法和代数法，如几何法经常涉及圆锥曲线的定义和

比较明显的平面几何的定理和性质，所以做题时要充分考虑这些定义来进行转化，比如椭圆和双曲线定义涉及两条焦半径，所以给出PF1 ,就联想PF2 ,抛物线有PF，就联想到准线的距离. 15．B

【解析】由PF1x轴可令Mc,t,得Aa,0,Ba,0.则kAEtac,可得AE的方程为ytxa,令x0,知Eac0,taac,又Nt0,2且OE2ON,可得

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2t22taac,所以c2a,即eca2.故本题答案选B. 16．C

【解析】作出抛物线的准线l:x1，设A、B在l上的射影分别是C、D，

连接AC、BD，过B作BEAC于E，

∵AF3FB，则设AF3m， BFm，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC3m， BDm，因此， RtABE中， cosBAEAE1AB2，得BAE60，∴直线AB的倾斜角AFx60，得直线AB的斜率ktan603，

则直线l的方程为： y3x1，即3xy30，设Ax1,y1， Bx2,y2，

则{y3x110y24x ，整理得： 3x210x30，则x1x23， x1x21， 则y431y23x113x21yy23， 12233，

∴AB中点E5,23，则EG333的方程的斜率为， 3则EG的方程： y2335111133x3 ，当x0时，则y3，则G3,0， 11则G到直线l的距离d33313433， ABxx1612p3，

则S12ABd113323ABG2339，故选C. 点睛：本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标

公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题；由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运

算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得AB及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）