山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中2012届高三第二次四校联考数学(文)试题

三第二次四校联考（数学文）

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．已知集合A{yZysinx,xR}，则集合A的子集的个数为( )

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．若复数z2i，则复数z的虚部为( ) 12iA．i B．i C． 1 D．1

23．y2cos(x4)1是( )

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为

的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 22224．已知命题p:xR，x12x；命题q:若mxmx10恒成立，则4m0 那么( )

A．\"p\"是假命题 C．“pq”为真命题

B．“q”是真命题

D．“pq”为真命题

5．曲线yxex2x1在x0处的切线方程为( )

A．y3x1 B．y3x1 C．y3x1 D．y2x1

6．设不等式组2x2,22表示的区域为W，圆C:(x2)(y2)4及其内部区域记

2y2为D．若向区域W内投入一点，则该点落在区域D内的概率为( ) A．

 B． C． D．

1648327．在等差数列an中，若a3a52a104,则S13( )

A．13 B．14 C．15 D．16

8．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为( )

A．3 B．0 C．33 D． 22(a2)x,x2,9．已知函数f(x)1x满足对任意的实数

()1,x22版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

8题图

x1x2都有

f(x1)f(x2)0成立，则实数a的取值范围为( )

x1x213] 8A．,2 B．(,C．,2 D．[13,2) 8x2y210．已知双曲线221(a＞0, b＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y216x的焦点

ab相同，则双曲线的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y21 B．1 C．1 D．1 A．266212441211．在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB 的

面积分别为

236、、，则该三棱锥外接球的表面积为( ) 222 B．6

C．46 D．24

A．2

12．若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有4个不同的交点，则实

数m的取值范围为( ) A．(3333,0)(0,) B．(,) 33333333,] D．(,)(,)

3333C．[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知 a2，b4，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角为 ．

y2114．x,y满足约束条件2xy0,则zxy5的最小值为 ．

2xy4015．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．

4 4 正视图

2 2 16．已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数， 当

x[0,1]时，f(x)x2；,3]内，若在区间[1函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围为 ．

4 侧视图

俯视图

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15题图

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

若数列an满足a11,an13an(nN*)．

（1）求an的通项公式;

（2）等差数列bn的各项均为正数，其前n项和为Tn，且T315，又

a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn．

18．（本小题满分12分）

若平面向量m(3,2sin),n(cosx,cos （1）求函数f(x)的值域；

（2）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(A)3，且

x2x)（xR），函数f(x)mn． 2b2c，求角C的值．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长 为2的正三角形，且与底面垂直；底面ABCD是菱形，

MPADC60，M为PB的中点．

（1）求四棱锥PABCD的体积； （2）求证：PA平面CDM． 20．（本小题满分12分）

DCB19题图

A甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：

甲： 78 76 74 90 82 乙： 90 70 75 85 80

（1）用茎叶图表示这两组数据；

（2）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．

21．（本小题满分12分）

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x2y233已知椭圆221(ab0)经过点M(1,． )，离心率为

ab22（1）求椭圆的方程；

（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

22．（本小题满分12分）

设函数f(x)x3ax2a2xm(a0)．

（1）若函数f(x)在x1,1内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）a1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；

（3）若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求实数m的取值范围．

2012届高三年级第二次四校联考

数学（文）试题参考答案

一、选择题：

DCADA CACBD BA 二、填空题:

13．

17322 14． 15． 16．(0,]． 3234三、解答题：

17．解：（1）由条件可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列．„„„„„2分

∴an3n1．„„„„„„4分

（2）设数列bn的公差为d，由T315可得b1b2b315，则b25．„„„6分

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设b15d,b35d， 又a11,a23,a39，

由题意可得5d15d953解得d12,d210 ∵数列bn的各项均为正，∴d0，∴d2．„„„8分 则Tn3nnn122n22n．„„„„„„10分

218．解：（1）由f(x)3cosxsinx2sin(x3)，

得函数f(x)的值域为[2,2]．„„„„„„„4分

（2）f(A)3，sin(A2223)3． 又A(0,)，A．„6分

32 由b2c及abc2bccosA得 a3c 则

sinAa13，sinC „„„„„„„„„„„„10分 sinCc2 ac，AC，则C6．„„„„„„„„„„„„12分

19．解：（1）作POCD于O,则PO=则VPABCD332=3．又SABCD2423, 2411SABCDPO2332． „„„„„„4分 33P（2）连接OA． 由侧面PDC与底面ABCD垂直， 则PO平面ABCD，所以POCD．

又由ADC60,DO1,AD2, D0NMOCB

得DOA90,即OACD，所以CD面POA, 所以CDPA． „„„6分

0A19题图

取PA中点N，连接ON,MN．由M为PB中点， 得四边形MNOC为平行四边形，所以CM∥ON．

又在三角形POA中OPOA3,N为PA中点，所以ONPA,

所以CMPA．又CMDCC，所以PA面CDM． „„„„12分

20．解：（1）

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甲 4 6 8 7 乙 0 5 2 8 0 5 0 9 0 „„„„„„3分

（2）从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下： （78，90） （78，70） （78，75） （78，85） （78，80） （76，90） （76，70） （76，75） （76，85） （76，80） （74，90） （74，70） （74，75） （74，85） （74，80） （90，90） （90，70） （90，75） （90，85） （90，80） （82，90） （82，70） （82，75） （82，85） （82，80）

共有25种，而甲大于乙的情况有12种，．P12． „„„„„„8分 2522（3）x甲80，x乙80，而s甲32，s乙50．

22，，选甲参加更合适．„„„„„„12分 s甲s乙1321．解：（1）由题设得221

a4ba2b23① ， 且 ②．„„„„2分 a2x2y2=1．„„„„„4分（2）由①、②解得a2,b1． 则椭圆的方程为4显然x0不满足题意，可设l的方程为ykx2，设A(x1,y1),B(x2,y2)．„6分

x2y21联立4(14k2)x216kx120ykx2

3△(16k)24(14k2)120,k2．

41216kx1x2,xx且．„„„„„„8分 1214k214k2又AOB为锐角，OAOB0，

x1x2y1y20，x1x2(kx12)(kx22)0．

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1216k4(4k2)(1k)x1x22k(x1x2)4(1k)2k()40．

14k214k214k222

„„„„10分

k24,又k233332，k4， k(2,)(,2)．„„„„„12分 442222．解：（1）由题设可知，方程f/(x)3x22axa20在1,1上没有实数根，

f/(1)32aa20/2∴f(1)32aa0，解得a3． „„„4分 a0（2）当a1时f(x)x3x2xm，∵f(x)有三个互不相同的零点，

32∴f(x)x3x2xm0即mxxx有三个互不相同的实数根．

令g(x)x3x2x，则g/(x)3x22x1(3x1)(x1) ∵g(x)在(,1)和(,)均为减函数，在(1,)为增函数， ∴g(x)极小g(1)1,g(x)极大g()所以m的取值范围是(1,1313135 275)． „„„„„„8分 27a/22（3）∵f(x)3x2axa3(x)(xa),又a0，

3aa∴当xa或x时，f/(x)0；当ax时，f/(x)0．

33aa∴函数f(x)的递增区间为(,a)和(,),单调递减区间为(a,)

33a当a3,6时， 1,2,a3， 又x2,2，∴f(x)maxmaxf(2),f(2)

3而f(2)f(2)164a0，∴f(x)maxf(2)84a2a2m， 又∵f(x)1在2,2上恒成立，∴f(x)max1即84a2a2m1， 即m94a2a在a3,6上恒成立．

22∵94a2a的最小值为87， ∴m87. „„„12分

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