2019年吉林省中考数学试题(含答案解析) (2)

数学试题

数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。全卷满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（ ）

0（第1题）

A．3 答案：D 考点：数轴。

解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1有可能， 选D。

2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）

B．2

C．1

D．－1

正面（第2题）A．

答案：D 考点：三视图。

B．C．D．

解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D符合。

3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（ ） A．a1

B．a1

C．a1

D．a1

1

答案：B

考点：实数的运算。

解析：a1表示比a小1的数，所以，B符合。

4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A．30°

B．90°

C．120°

D．180°

（第4题）

答案：C 考点：旋转。

解析：一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°， 所以，旋转120°后与自身重合。 选C。

5．如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB=50°，若P为AB上一点，∠AOP=55°，则∠POB的

度数为（ ） A．30°

COBAP（第5题）B．45° C．55° D．60°

答案：B

考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。

解析：圆周角∠ACB、圆心角∠AOB所对的弧都是弧AB， 所以，∠AOB＝2∠ACB＝100°，

∠POB＝∠AOB－∠AOP＝100°－55°＝45°，

2

选B。

6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观

赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．垂线段最短

D．两点确定一条直线

A曲桥B(第6题)

答案：A

考点：两点之间，线段最短

解析：A、B两点之间，线段AB最短。

二、填空题（每小题3分，共24分） 7．分解因式：a21________．

答案：

（a1)(a1) 考点：分解因式，平方差公式。

解析：a21（a1)(a1)

8．不等式3x21的解集是________． 答案：x＞1

考点：一元一次不等式。 解析：移项，得：3x＞3， 系数化为1，得：x＞1

3

9．计算：答案：

yx________． 2x2y1 2x考点：分式的运算。 解析：

10．若关于x的一元二次方程x3c有实数根，则c的值可以为________（写出一个即可）． 答案：5（答案不唯一，只有c≥0即可） 考点：实数平方的意义 解析：因为x3c

左边是实数的平方，大于或等于0，所以，c大于或等于0即可。

11．如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°， 则∠B=________°．

EAD221yx ＝2x2y2xBC(第11题)

答案：60

考点：两直线平行，内错角相等，三角形内角和定理。 解析：ED∥BC

所以，∠C＝∠E＝50°， 在△ABC中，

∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，

所以，∠B＝180°－50°－70°＝60°

12．如图，在四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD．若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E

恰好重合，则四边形BCDE的周长为________．

4

BCD(第12题)EA

答案：20

考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 解析：因为E为AB中点，BD⊥AD 所以，DE＝

1AB＝5，BC＝DE＝5， 2DC＝EB＝5，

所以，四边形BCDE的周长为20

13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则

这栋楼的高度为________m． 答案： 考点：相似比。

解析：设这栋楼的高度为xm，则

1.8x＝ 390解得：x＝

14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的

□ODCE的顶点C在AB上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是________（结果保留

π）． BECO(第14题)DA

答案：25－48

考点：扇形的面积，勾股定理。

5

解析：四边形ODCE为矩形，

阴影部分面积为四分之一圆面积－矩形ODCE的面积， 扇形所在圆的半径为R＝OC＝8262=10， S＝1048=25－48 三、解答题（每小题5分，共20分）

15．先化简，再求值：a1aa2，其中a2． 考点：整式的运算。

解析：原式＝a22a1a22a2a21， 当a21422时，原式＝5

16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿

色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

甲口袋（第16题）乙口袋

考点：概率，会画树状图。 解析：画树状图如下：

共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能， 所以，所求的概率为：P＝

1 4

17.已知y是x的反比例函数，并且当x2时，y6． ⑴求y关于x的函数解析式； ⑵当x4时，求y的值．

6

考点：待定系数法。

解析：（1）y是x的反例函数， 所以，设yk(k0)， x当x2时，y6． 所以，kxy12， 所以，y12 x（2）当x＝4时，y＝3

18．如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接

BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．

AEDBF（第18题）C

考点：三角形全等的证明。

解析：证明：AE＝FC，

在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C 在△ABE和△CDF中，

AECF

AC ABCD

所以，△ABE≌△CDF（SAS）

四、解答题（每小题7分，共28分） 19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，

在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图： ⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点； ⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G,H为格点，∠CGD=∠CHD=90°

7

考点：作图题，菱形的性质。 解析： （1）（2）如下图所示

20.问题解决

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

（第20题）

反思归纳

现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．

⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac-d=b． 考点：应用题，二元一次方程组。 解析：

8

21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）

DA170CBE（第21题）

考点：三角函数。 解析：

9

22.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

⑴该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是________；

⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为________人； ②统计图中人数最多的选项为________；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 考点：统计图。 解析：

10

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶

到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示． ⑴m=________，n=________；

⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； ⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程

考点：函数图象，待定系数法。 解析：

11

24.性质探究

如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．

CEHA图①BF图②G（第24题）

理解运用

⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843，则它的面积为________；

⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．

①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;

②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长． 类比拓展

顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．

12

考点：探究题。 解析：

六、解答题（每小题10分，共20分）

25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q

从点A同时出发，点P以2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm²）．

⑴AE=________cm,∠EAD=________°；

⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 5⑶当PQ=cm时，直接写出x的值．

4CEPBCEBDQ（第25题）AD（备用图）A

考点：三角函数，二次函数，矩形的性质。 解析：

13

14

26.如图，抛物线yx1k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，－3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． ⑴求此抛物线的解析式；

⑵当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；

⑶设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h=9时，直接写出△BCP的面积．

2考点：二次函数，待定系数法。解析：

15

参

1、D 2、D 3、B 4、C 5、B 6、A

1 10、5（答案不唯一，只有c≥0即可） 2x11、60 12、20 13、 14、25－48

（a1)(a1) 8、x＞1 9、7、

16

15、解：原式＝a22a1a22a2a21， 当a2时，原式＝5

16、解：画树状图如下：

共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，所以，所求的概率为：P＝14

17、解：（1）y是x的反例函数， 所以，设ykx(k0)， 当x2时，y6． 所以，kxy12， 所以，y12x （2）当x＝4时，y＝3 18、证明：AE＝FC，

在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C 在△ABE和△CDF中，



AECFAC 

ABCD所以，△ABE≌△CDF（SAS）

19、（1）（2）如下图所示

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