(完整版)定积分在经济中的应用

一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分：

R(b)R(a)R(x)dx （1）

abC(b)C(a)C(x)dx （2）

abL(b)L(a)L(x)dx （3）

ab例1 已知某商品边际收入为0.08x25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x)，总成本C(x)，利润I(x)的改变量（增量）。

解 首先求边际利润

L(x)R(x)C(x)0.08x2550.08x20

所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

R(300)R(250)300250R(x)dx300250(0.08x25)dx=150万元

C(300)C(250)300250C(x)dx300250dx=250万元

L(300)L(250)300250L(x)dx300250(0.08x20)dx=100万元

二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

设某经济函数的变化率为f(t)，则称

t2t1f(t)dt

t2t1为该经济函数在时间间隔[t2,t1]内的平均变化率。

t单位：例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间（

年）的函数：

r(t)0.080.015t 求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于

20r(t)dt(0.080.015t)dt0.160.01tt02200.160.022 所以开始2年的平均利息率为

r20r(t)dt200.080.012 0.094

例3 某公司运行t（年）所获利润为L(t)（元）利润的年变化率为

L(t)3105t1（元/年）求利润从第4年初到第8年末，

即时间间隔[3，8]内年平均变化率

解 由于

83L(t)dt310385t1dt210(t1)5328338105

所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

83L(t)dt837.6105（元/年）

即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元。

三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在t（年）时的收入为f(t)（万元），年利率为r，即贴现率是f(t)ert，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量为af(t)ertndt。

设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式

bT0aertdtA

成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。 例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为，求该工程的投资回收期。

解 这里A1000，a200，r0.08，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为

T0200e0.08tdt2000.08te0.08T02500(1e0.08T)

令 2500(1e0.08T)=1000，即得该工程回收期为

T110001ln(1)ln0.6 0.0825000.08 =（年）