江苏

数 学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选

择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂

黑．

参考公式：

样本数据x1，x2，，xn的标准差

锥体体积公式

s1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n

V1Sh 3其中x为样本平均数 柱体体积公式

其中S为底面面积、h为高 球的表面积、体积公式

VSh

S4πR2，V43πR 3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．f(x)cos(x6)最小正周期为

，其中0，则 ▲ 52．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲

1i表示为abi(a,bR)的形式，则ab= ▲ 1i24．Ax(x1)3x7，则集合AZ中有 ▲ 3．

个元素

开始 S0 i1 输入Gi，Fi i i＋1 N S S＋Gi·Fi i≥5 Y 输出S 结束 5．a,b的夹角为120，a1,b3，则5ab ▲

6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率 ▲ 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：

h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表： 序号 分组 （i） 睡眠时间 1 2 3 4 5 [4，5） [5，6） [6，7） [7，8） [8，9] 组中值 （Gi） 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 （人数） 6 10 20 10 4 频率 （Fi） 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ．

1xb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b的值为 ▲ 29．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一

8．直线y同学已正确算的OE的方程：( ▲ )x1111xy0，请你求OF的方程： bcpa11y0 pa10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为 ▲

y211．x,y,zR,x2y3z0,的最小值为 ▲

xzx2y212．在平面直角坐标系中，椭圆221(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的

aba2圆，过点c,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ▲

*13．若AB2,AC2BC，则SABC的最大值 ▲

314．f(x)ax3x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a= ▲

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为A （1）求tan()的值； （2）求2的值。 B

O x

16．（14分）在四面体ABCD中，CBCD,ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD

B （2）面EFC⊥面BCD

F

E

D C A 17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

P D C

O

A B

225 ,105y 18．（16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求： （1）求实数b的取值范围 （2）求圆C的方程

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。 19．（16分）（1）设a1,a2,......，且公差d0，若将此数an是各项均不为零的等差数列（n4）列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

a1的数值；②求n的所有可能值； d（2）求证：对于一个给定的正整数n(n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,......bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

①当n4时，求

20. （16分）

f1(x),f1(x)f2(x)若f1(x)3，xR，p1,p2为常数，且f(x) ,f2(x)23f(x),f(x)f(x)122（1）求f(x)f1(x)对所有实数x成立的充要条件（用p1,p2表示） （2）设a,b为两实数，ab且p1,p2(a,b)若f(a)f(b)

ba求证：f(x)在区间a,b上的单调增区间的长度和为（闭区间m,n的长度定义为nm）

2xp1xp2卷2

21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分． A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：EDEBEC．

B．选修4—2 矩阵与变换

A

2B D C E

2 22在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4xy1在矩阵A=0 求F的方程．

C．选修4—4 参数方程与极坐标

0

1对应的变换作用下得到曲线F，

x2y21上的一个动点，在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆求Sxy的最大值． 3

D．选修4—5 不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：

必做题

22．记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A记1BC11D1的对角线BD1上一点，

111+abc≥23． a3b3c3D1P．当APCD1B为钝角时，求的取值范围．

23．请先阅读：在等式cos2x2cosx1（xR）的两边求导，得：

2(cos2x)(2cos2x1)󰀀 ，

sinx． 24cosx(sinx)󰀀由求导法则，得(sin2x)，化简得等式：sin2x2cosx122nnn

xR，（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）＝C0nCnxCnxCnx（

n正整数n≥2），证明：n[(1x)n1k1． 1]＝kCknxk1（2）对于正整数n≥3，求证： （i）

(1)k1nnkkCkn＝0；

（ii）

(1)k1kk＝0； k2Cn1k2n11（iii）． Cnn1k1k1n

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

111 3、1 4、0 5、7 6、 7、6.42 8、ln21 9、 1216cbn2n6210、 11、3 12、 13、22 14、4

221、10 2、

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15、【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查运算求解能力。

225 ,cos1051725tan7,tan 、为锐角，sin,sin210517tantan23 （1）tan()1tantan171241722tan31 24tan(2)tantan2（2）tan221tan1(1)231tantan217423332、为锐角，02 24由条件得cos16、【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、

推理论证能力。

（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD 又∵EF面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD （2）

EF//ADEFBD

ADBDCBCDBD面CEF CFBD面EFC面BC DF为BD中点BD面BCDCFEFF

17、【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则OA故OBAQ10，

cosBAOcos10 cos10101010tan coscos又OP1010tan，所以yOAOBOP所求函数关系式为y2010sin10cos(04)

②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以OAOB所求函数关系式为yx2x220x200(10x)2102x220x200 (0x10)

10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)（2）选择函数模型①，y' 22coscos1令y'0得sin 0

246当(0,)时y'0，y是θ的减函数；当(,)时y'0，y是θ的增函数；

6641201021010310 所以当时，ymin632此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边

103km处。 318、【解析】：本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。 （1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0 （2）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b 令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1 所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0 所以圆C必过定点（0，1）； 同理可证圆C必过定点（-2，1）。 19、【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 （1）①当n=4时, a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

若删去a2，则a32a1a4，即(a12d)2a1(a13d)化简得a14d0，得

若删去a3，则a22a1a4，即(a1d)2a1(a13d)化简得a1d0，得综上，得

a14 da11 da1a4或11。 dd②当n=5时, a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。

若删去a3，则a1a5a2a4，即a1(a14d)(a1d)(a化简得3d0，因为13d)2d0，所以a3不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列a1,a2,a3,,an2,an1,an中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1ana3an2，这与d0矛盾；同样若删去an1也有

a1ana3an2，这与d0矛盾；若删去a3,,an2中任意一个，则必有a1ana2an1，这与d0矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)

综上所述，n4。 （2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,......bn，其中bx1,by1,bz1（0xyzn1）为任意三项成等比数列，则b2y1bx1即bz，1(b1y2d)(1b，化简得x)d1(bz)d(y2xz)d2(xz2y)b1d （*）

由b1d0知，y2xz与xz2y同时为0或同时不为0 当y2xz与xz2y同时为0时，有xyz与题设矛盾。

b1y2xz故yxz与xz2y同时不为0，所以由（*）得

dxz2y2因为0xyzn1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而于是，对于任意的正整数n(n4)，只要

b1为有理数。 db1为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。 d例如n项数列1，12，122，……，1(n1)2满足要求。 20、【解析】：本小题考查充要条件、指数函数于绝对值函数、不等式的综合运用。 （1）f(x)f1(x)恒成立f1(x)f2(x)3xp123xp23xp1xp22

xp1xp2log32 （*）

若p1p2，则（*）0log32，显然成立；若p1p2，记g(x)xp1xp2

,xp2p1p2当p1p2时，g(x)2xp1p2,p2xp1

pp,xp121所以g(x)maxp1p2，故只需p1p2log32。

,xp1p1p2当p1p2时，g(x)2xp1p2,p1xp2

pp,xp221所以g(x)maxp2p1，故只需p2p1log32。

综上所述，f(x)f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1p2|log32

（2）10如果|p1p2|log32，则f(x)f1(x)的图像关于直线xp1对称。（如图1） 因为f(a)f(b)，所以区间[a,b]关于直线xp1对称。 因为减区间为[a,p1]，增区间为[p1,b]，所以单调增区间的长度和为20如果|p1p2|log32，不妨设p1p2，则p2p1log32，

于是当xp1时，f1(x)31当xp2时，f1(x)3pxba。 23p2xf2(x)，从而f(x)f1(x)

xp13p2p13xp23log323xp2f2(x)，从而f(x)f2(x)

xp1当p1xp2时，f1(x)3由方程30xp1及f2(x)23p2x，

23p2x0得x0p1p21log32，（1） 22显然p1x0p2[(p2p1)log32]p2，表明x0在p1与p2之间。 所以f(x)12f1(x),p1xx0

f2(x),x0xp2f1(x),axx0综上可知，在区间[a,b]上，f(x)（如图2）

xxbf(x),02故由函数f1(x)及函数f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0p1)(bp2)，由f(a)f(b)，即3p1a23bp2，得p1p2ablog32（2）

故由（1）（2）得(x1ba0p1)(bp2)b2[p1p2log32]2

综合1020可知，f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为ba2。

y y

(a,f(a)) (b,f(b)) (a,f(a)) (b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) O 图1 x O 图2 x