[轴对称图形]
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． [轴对称]
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． [图形轴对称的性质]
如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
[轴对称与轴对称图形的区别]
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
[线段的垂直平分线]
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
轴对称变换
[轴对称变换]
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． [轴对称变换的性质]
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． [作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
1
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
用坐标表示轴对称
[关于坐标轴对称]
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y） [关于原点对称]
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y） [关于坐标轴夹角平分线对称]
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x） [关于平行于坐标轴的直线对称]
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）； 点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
等腰三角形
[等腰三角形]
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
[等腰三角形的性质]
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. [等腰三角形的判定定理]
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
[利用“三角形奠基法”作图]
根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.
2
等边三角形
[等边三角形]
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． [等边三角形的性质]
等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60° [等边三角形的判定方法]
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
角平分线的性质
[角平分线的作法] ．．．．．．．．．见课本 ．．．
[角平分线的性质] ．．．．．．．．．
在角平分线上的点到角的两边的距离相等. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
AMPCBON
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于，PN⊥OB于， ．．．．．．．．．．．．．．．．M．．．．．．．．N．．∴PM=PN ．．．．．．
[角平分线的判定]
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3
AMPCBON
∵PM⊥OA于，PN⊥OB于，PM=PN ．．．．．．．M．．．．．．．．N．．．．．．．∴OP平分∠AOB ．．．．．．．．．
[三角形的角平分线的性质] ．．．．．．．．．．．．．
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． [添加辅助线口诀]
几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现； 公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
角平分线＋平行线→等腰三角形 ．．．．．．．．．．．．．．
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图（1）中，若平．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．．．．．．．AD．．．
分．
，AD．．．
如图，在．．．．
中，AB＝AC，在上取点，过点作，交的延长线于点，垂足为点。求．．．．．．．．．AC．．．．．P．．．．P．．．．BA．．．．．．．．E．．．．．．F．．．
证：AE＝AP ．．．．．．．
1．已知，如图－11，在直角坐标系中，点在轴上，BC⊥x轴于点，点关．．．．．．．1．．．．．．．．．．．．．．A．．y．．．．．．．．．．．C．．．A．．
4
于直线的对称点恰好在上，点E与点关于直线对称，∠OBC＝35°，求∠．．．OB．．．．．．D．．．．BC．．．．．．．．O．．．．．BC．．．．．．．．．．．．．．．OED的度数． ．．．．．．．
2．已知：如图－3，线段． ．．．．．．．2．．．．．．AB．．．求作：线段的垂直平分线． ．．．．．AB．．．．．．．．MN．．．作法： ．．．
图－3 ．2．．．
3．已知：如图－4，∠ABC及两点、N． ．．．．．．．2．．．．．．．．．．．M．．．．求作：点，使得＝PN，且点到∠ABC两边的距离相等． ．．．．P．．．．PM．．．．．．．P．．．．．．．．．．．．．．．作法： ．．．
图－4 ．2．．．
4．已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，．．．．．A．．．．l．．．．P．．．．l．．．．．．．．．．．．．．．．．．B．．当点在直线上运动时，点与、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点；．．P．．．．l．．．．．．．P．．A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B．．若不存在，请说明理由． ．．．．．．．．．．．
5
图－5 ．2．．．
5．如图－6，AD为∠BAC的平分线，DE ⊥AB于，DF⊥AC于，那么点、F是．．．．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．E．．．．．．．．F．．．．．E．．．．
否关于对称若对称，请说明理由． ．．．AD．．．．．．．．．．．．．．
图－6 ．2．．．
综合、运用、诊断 ．．．．．．．．
6．已知：如图－7，A、B两点在直线的同侧，点'与关于直线对称，连接．．．．．．．3．．．．．．．．．．．．l．．．．．．A．．．A．．．．．l．．．．．．
A'B交于点，若'B＝a. ．．．．l．．P．．．．A．．．．．．（1）求＋PB； ．．．．AP．．．．．．（2）若点是直线上异于点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB． ．．．．．M．．．．l．．．．P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
7．已知：A、B两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点． ．．．．．．．．．．．．．l．．．．．．．．．．．．．．．．M．．（1）如图－8，在上求作一点，使得｜ AM－BM ｜最小； ．．．．．3．．．．．l．．．．．．M．．．．．．．．．．．．．．作 ．
6
（3）如图－10，在上求作一点，使得＋BM最小． ．．．．．3．．．．．．l．．．．．．M．．．．AM．．．．．．．．
图－10 ．3．．．．
8．（1）如图－11，点、B、C在直线的同侧，在直线上，求作一点，．．．．．．．3．．．．．．A．．．．．．．．l．．．．．．．．l．．．．．．．P．．使得四边形的周长最小； ．．．．．APBC．．．．．．．．．．
图－11 ．3．．．．（2）如图－12，已知线段，点、B在直线的同侧，在直线上，求作两点、．．．．．3．．．．．．．．．a．．．A．．．．．．l．．．．．．．．l．．．．．．．P．．Q （点在点的左侧）且＝a，四边形的周长最小． ．．．P．．．Q．．．．．．PQ．．．．．．．．APQB．．．．．．．．．．
图－12 ．3．．．．
9．（1）已知：如图－13，点在锐角∠AOB的内部，在边上求作一点，．．．．．．．．．．3．．．．．．M．．．．．．．．．．．．．OA．．．．．．．．P．．
在边上求作一点，使得ΔPMQ的周长最小； ．OB．．．．．．．．Q．．．．．．．．．．．．．．
图－13 ．3．．．．
7
（2）已知：如图－14，点在锐角∠AOB的内部，在边上求作一点，使得点．．．．．．．．3．．．．．．M．．．．．．．．．．．．．OB．．．．．．．．P．．．．．P到点的距离与点到边的距离之和最小． ．．．M．．．．．．P．．OA．．．．．．．．．．．
图－14 ．3．．．．10．已知：如图－5，ΔABC中，BC边上有、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ．．．．．．．．6．．．．．．．．．．．．．．．D．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证：△ABC是等腰三角形． ．．．．．．．．．．．．．．
图－5 ．6．．．
11．已知：如图－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在边上，且＝AE． ．．．．．．．．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．．．．AD．．．．．．求证：BD＝CE． ．．．．．．．．．
图－2 ．5．．．
12．已知：如图－3，D、E分别为、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE， ．．．．．．．．5．．．．．．．．．．AB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求∠B的度数． ．．．．．．．
8
图－3 ．5．．．
13．已知：如图－4，ΔABC中，AB＝AC，D是上一点，延长至，使＝．．．．．．．．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．AB．．．．．．．．CA．．．E．．．AE．．．
AD． ．．．试确定与的位置关系，并证明你的结论． ．．．ED．．．BC．．．．．．．．．．．．．．．．
图－4 ．5．．．
拓展、探究、思考 ．．．．．．．．
14．已知：如图－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是的中点，AE＝．．．．．．．．5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．．．．．．．BF． ．．．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
图－5 ．5．．．
15．在平面直角坐标系中，点 （2，3），Q （3，2），请在轴和轴上分别．．．．．．．．．．．．．．P．．．．．．．．．．．．．．．．x．．．y．．．．．找到点和点，使四边形周长最小． ．．M．．．N．．．．．．．PQMN．．．．．．．．．（1）作出点和点． ．．．．．M．．．N．．．
9
（2）求出点和点的坐标． ．．．．．M．．．N．．．．．．
图－6 ．5．．．16．已知：如图－6，ΔABC中，AB＝AC，E在的延长线上，ED⊥BC． ．．．．．．．．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．CA．．．．．．．．．．．．．．求证：AE＝AF. ．．．．．．．．．
图－6 ．6．．．
17．已知：如图－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于，BF平分∠ABC交．．．．．．．．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．D．．．．．．．．．．．CD．．于，交于. ．E．．．AC．．．F．．求证：CE＝CF． ．．．．．．．．．
图－7 ．6．．．
18．如图－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在、CA上，．．．．．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．．．．．并且、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， ．．AP．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证：BQ＋AQ＝AB＋BP． ．．．．．．．．．．．．．．．
10
图－8 ．6．．．
19．如图－9，若、B是平面上的定点，在平面上找一点，使ΔABC构成等腰．．．．．6．．．．．A．．．．．．．．．．．．．．．．．．C．．．．．．．．．．．直角三角形，问这样的点有几个并在图－9中画出点的位置． ．．．．．．．．．．C．．．．．．．．6．．．．．．C．．．．．．
图－9 ．6．．．
20．如图－10，对于顶角∠A为°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，．．．．．6．．．．．．．．．．．．36．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
图－10 ．6．．．．
21．已知：如图－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于. ．．．．．．．．7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．F．．求证：EF平分∠AEB． ．．．．．．．．．．．．
图－8 ．7．．．
11
22．已知：如图－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交边于，交∠．．．．．．．．7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．AC．．．．F．．．．ACB的外角 （∠ACD）的平分线于，探究线段与的数量关系并证明你的结论． ．．．．．．．．．．．．．．．．．G．．．．．．EF．．．FG．．．．．．．．．．．．．．．
图－9 ．7．．．
23．如图－10，过线段的两个端点作射线，BN，使∥BN，请按以下步骤．．．．．7．．．．．．．．AB．．．．．．．．．．AM．．．．．．．AM．．．．．．．．．．．．画图并回答． ．．．．．．
（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点，∠AEB是什么角 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．E．．．．．．．．．．
（2）过点任作一线段交于点，交于点．观察线段、CE，有什么发．．．．．E．．．．．．．AM．．．．D．．．BN．．．．C．．．．．．DE．．．．．．．．．．现请证明你的猜想． ．．．．．．．．．（3）试猜想，BC与有什么数量关系 ．．．．．．AD．．．．．．AB．．．．．．．．．
图－10 ．7．．．．
24．已知：如图－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交于． ．．．．．．．．7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．AC．．．E．．（1）求证：BC＝AE＋BE； ．．．．．．．．．．．．．．．（2）探究：若∠A＝108°，那么等于哪两条线段长的和呢试证明之． ．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．．．．．．．．．．．．．．．．
12
25．已知：如图－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形． ．．．．．．．．8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）求证：AD＝CE； ．．．．．．．．．．．．（2）当⊥CE时，判断并证明与的数量关系． ．．．．AC．．．．．．．．．．．．AB．．．BE．．．．．．．．
图－4 ．8．．．
26．如图－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边、AC上，且＝CE，．．．．．8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．．．．．．CD．．．．．．连接并延长至点，使＝AE，连接、BE和． ．．DE．．．．．．．F．．．EF．．．．．．．．AF．．．．．．CF．．．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）求证：AF＝BD． ．．．．．．．．．．．．
图－5 ．8．．．
27．已知：如图－6，四边形中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD．．．．．．．．8．．．．．．．ABCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
13
＝30°，∠B＝90°．求的长______． ．．．．．．．．．．．CD．．．．．．．．．．．
图－6 ．8．．．
28．（1）如图－7，点是线段的中点，分别以和为边在线段．．．．．．．．8．．．．．O．．．．AD．．．．．．．．．AO．．．DO．．．．．．．AD．．的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AC和，相交于点，连接，．．．．．．．．．OAB．．．．．．．．．OCD．．．．．．．．．BD．．．．．．．E．．．．BC．．．求∠AEB的大小； ．．．．．．．．．
图－7 ．8．．．
（2）如图－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点．．．．．8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
图－8 ．8．．．
29．已知：如图－9，△ABC为等边三角形，延长到，延长到，使＝．．．．．．．．8．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．．D．．．．BA．．．E．．．AE．．．BD，连接、DE． ．．．．．CE．．．．．．求证：CE＝DE. ．．．．．．．．．
14
图－9 ．8．．．
30．已知：如图－10，四边形中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，．．．．．．．．8．．．．．．．．ABCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
AB＝4． ．．．．．（1）在边上求作点，使＋PD最小； ．．．．AB．．．．．．．P．．．PC．．．．．．．．
图－10 ．8．．．．
（2）求出（1）中＋PD的最小值． ．．．．．．．．．PC．．．．．．．．．．
31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O, (1)求证:PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上由此你还能得出什么结论
15
32、.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.
A
BDEC33、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC. （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.
34．如图，P在AOB内；点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若PEF的周长为15，求MN的长.
MEOFNPBA
35．如图（5）所示，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于E，交 BC 于D，∠1=
16
1∠2，求∠B的度数。 2
36．等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少
37．如图，ABC中，AB=AC，BO，CO分别为ABC，ACB的平分线，交点为O，过O作，E，F平行于BC交AB，AC于F，E，探索BF+CE与FE的关系，说明理由.
AFBOEC
38．如图，在ABC中，ADBC于D，点M，N分别在BC所在 的直线上，且BM=CN． （1）AB=AC，试判断AMN的形状，并说明理由 （2）若AM=AN，则ABC=ACB成立吗为什么
AMBDCN
39.如图，△ABC中，∠BAC=110，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，求∠DAF.
17
0
16、如图，ABC中，AB=AC，ADBC，DE//AC，试说明BDE和AED都是等腰三角形
40、已知：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求∠C的度数。
BCDA41、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。（9分）
42、如图：B、D、E、C四点共线，BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC（9分）
43、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。（9分）
18
44、在△ABC中，AB=AC, ∠ABD=∠ACD,试确定AD与BC的关系，并说明理由。（8分）
45、在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB，AC的垂直平分线分别交AB于E，BC于M，交AC于F，BC于N，求证：BM=MN=NC（9分）
46、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC, ∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于H， 求证：AH=2BD (7分)
47、如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线， 点E是OM上一点，EC⊥X轴于C点，ED⊥OB于D点，OD=8，OE=10
（1） 求证：∠ECD=∠EDC （2） 求证：OC=OD （3） 求点E的坐标 （4） 试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由。
19
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容