固体物理学习题解答

第一章 晶体结构

1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元

为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。 解：

氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na+

和一个Cl－组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。

由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基

矢都为：

aa12(jk)aa2(ki)

2aa32(ij)相应的晶胞基矢都为：

aai,baj, cak.

2. 六角密集结构可取四个原胞基矢

a1,a2,a3与a4,如图所示。试写出OA1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5、A1A2A3A4A5A6这四个晶面所属晶

面族的晶面指数hklm。 解：

(1)．对于OA1A3面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，

1，１。所以，其晶面指数为1121。 2(2)．对于A1A3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，

1，。所以，其晶面指数为1120。 2(3)．对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1，

，。所以，其晶面指数为1100。

(4)．对于A1A2A3A4A5A6面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，

，，１。所以，其晶面指数为0001。

3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积

与总体积的比为： 简立方：；体心立方：金刚石：

3。 166223；面心立方：；六角密集：；

686

证明：

由于晶格常数为a，所以：

(1)．构成简立方时，最大球半径为Rm，每个原胞中占有一个原子，

4a3 Vma 3263a2 Vm 3a6(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：

4Rm3a，每个晶胞中占有两个原子，

34333 2Vm2aa 348 

2Vm3 a381

(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：

4Rm2a，每个晶胞占有４个原子，

34223 4Vm4aa 346 4Vm2 a36(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知c原子，

33 2Vm2Rm， Rm46Rm。原胞底面边长为2Rm。每个晶胞占有两个34383原胞的体积为：V2Rmsin60 2Vm2 V6322463Rm82Rm 3(5)．构成金刚石结构时，的体对角线长度等于两个最大球半径，即：2Rm3a，每个晶胞包含8个原子， 43144333 8Vm8aa 3816 

8Vm3 3a1. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，

试用矢量分析的方法证明这一夹角为10928。 证明：

如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，

并设晶格常数为１。选择体对角线AB和CD，用

坐标表示为{1,1,1}和{1,1,1}。

2

所以,其夹角的余弦为：

ABCD1cos

3ABCD1arccos()10928

3

5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格

常数为a。 解：

如图所示，面ABCD即(110)面，面CDE即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则

在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD，其面积为a其原子数面密度为：

122 22aa2222所以aa，

22在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG，其面积为：

(2232a)sina， 234所以其原子数面密度为：

1432a 332a4

6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构

的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。 解：

这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两

3

一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：

1181325（个） 82

7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方

顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？ 解：

这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为： 底心立方：81 侧心立方：843 边心立方：8124

8. 试证六角密集结构中 解：

如图所示，ABC分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，Ｄ表示底面中心的原子。DABC构成一个正四面体，为长为a。

DO面ABC，则DODEca81.63 31818121814c 23133a,OEaa，且DOOE 232622336则由勾股定理得，ODaaa， 263c2OD

c268261.63 a，a3334

第二章 晶体中的衍射

1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。 方法1： 面心立方：

aa12(jk)aa22(ki) aa32(ij)由正格子和倒格子的转换关系

5

1） （

b12(a2a3)/b22(a3a1)/ （2） b32(a1a2)/其中：a1(a2a3)得：

2b1(ijk)a2b2(ijk) （3）

a2b3(ijk)a在体心立方中

aa1(ijk)2aa2(ijk) （4）

2ab3(ijk)2由（2）式可得

2b1(jk)a2a2(ki) （5）

a2a3(ij)a比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。

方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：

aibj2ijij{10ij,ij

6

2b1(ijk)a2由此可得面心立方的倒格子基矢：b2(ijk)

a2b3(ijk)a2b1(jk)a2同理可得体心立方的倒格子基矢：a2a(ki)

2a3(ij)a比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。

2. a,b,c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面

间距为

dhkl[(h/a)2(k/b)2(l/c)2]1/2

解：aai,bbj,cck, a(bc)abc

由p19(2.2.7)知

*a2(bc)/*b2(ca)/ *c2(ab)/2a*ia2b*j

b2c*kc可得：

222** khhakblc*ahibkjclk

7

p再由22中k和dhkl的关系：k2/dhhhkl可得：

dhkl222h2k2l()()()bc2ah2k2l(a)(b)(c)kh得证。

3. 六角密集结构如取如下原胞基矢

a3a3aj,a2iaj,cck a1i2222试写出其倒格子基矢。

aa332j)ckac 方法一： a1(a2c)(i3j)(i22222(3i3j) b12(a2c)/3a2(3i3j) 解得。 b22(ca1)/3a2'k c2(a1a2)/c

方法二：由正格子和倒格子之间的关系：aibj2ij

可得：

b11223,b12,b130 a3a223,b21,b230 a3ab212 c2b12(a2c)/(3i3j)

3ac'310,c'320,c'33 8

2(3i3j) b22(ca1)/3a2'k c2(a1a2)/c

4. 如X射线沿简立方原胞的Oz负方向入射，求证当/a2l/(kl2)和cos(l2k2)/(l2k2)时，衍射光线在yz平面上，为衍射线和Oz轴的夹角。

证明：简立方的原胞的正格子基矢为：

2a1ai3a2aj a a3ak其倒格矢为：

2b1ia2b2ja 2b3k,a222khhikjlk

aaa由图可知：

1cosl2sincos222lk2

 9

2ll2将22，sin2代入2akllk2mkh2sin得：222l221/2m（hkl）22a(lk2)1/2m(h2k2l2)1/2(k2l2)1/2当m=1，h2=0时，上式可以成立

kkkkhk当h=0时，h只有k,j分量，即0只有k分量，而,k亦0只有y，z分量，即衍射光线在yz平面上。

5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（0 0 0） ，（1/2 1/2

0） ，（1/2 0 1/2）与（0 1/2 1/2）诸点；而Cl位于（1/2 1/2 1/2），（0 0 1/2），（0 1/2 0）与（1/2 0 0）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。 解：

p25中的（2.4.11）可知：

2Imh,mk,mlfjcos2(mhujmkvjmlwj)jfjsin2(mhujmkvjmlwj)j2

对于氯化钠晶胞：

Imh,mk,mlffcos(mkmh)fcos(mkml)fcos(mhml)NaNaNaNafclcos(mkmhml)fclcosmlfclcosmkfclcosmh

（1）当衍射面指数全为偶数时，I16(fNafcl)2衍射强度最大，

（2）当衍射面指数全为奇数时，I16(fNa

10

fcl)由于cl与Na具有

2不同的散射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。

6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为f。

解：几何结构因子

ikrjF(k)fje其中rjujavjbwjc

***a2(bc)/,b2(ca)/,c2(ab)/,

a(bc)为晶胞的体积。

**Kkk0Kh'k'l'mKhklm(hakblc*)

jrjujavjbwjc。

金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（0 0 0）， （1/2 1/2 1/2 ），（1/2 0 1/2），（0 1/2 1/2），（1/4 1/4 1/4），（3/4 3/4 1/4），（3/4 1/4 3/4），（1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子，

金刚石型结构的几何结构因子为：

111im(hkl)F(K)ffeim(hk)feim(hl)feim(lk)fe222331im(hkl)222313im(hkl)222133im(hkl)222fe

fefe,

7. 设一二维格子的基矢

a10.125nma20.250nma1与a2,

夹角a=120，与正格子基矢

试画出第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢

b1,b21biaj2ij,ij{0 解：

间有如下关系：

ij,ij

11

a10.125nm;a20.250nm 令a1a,则a1ai a2ai3a jbiaj2ij222b1ij，b2j

a3a3a2令b。则3ab1（b3i+j）  b2bj中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。

8. 铜靶发射0.1nm的X射线入射铝单晶，如铝（1 1 1）面一

级布拉格反射角19.2，试据此计算铝（1 1 1）面族的间距d与铝的晶格常数。 解：

222**ai，bj，c*kaaa hkl1，m12222khijk，kh3

aaaa2dhklsin

dhkl2sin19.200.234nm

12

2khdhkl2aa32dhkl

第三章 晶体的结合

1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。

证明：设相邻原子间的距离为r，一个原子的最近邻、次近邻……原

子均有2个，该晶体的马德隆常数为：

M=2+……

=2(1……） =2[n1(1)n1] =2ln2



3dhkl0.405nm2223241112341n 得证

2. 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16g/cm3 , 它的弹性模量为2.14

×1010 N/m2 ，试求NaCl晶体的每对离子内聚能

13

Uc。（已知马德N隆常数M=1.7476, Na和Cl的原子量分别为23和35.45）

解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0

晶胞基矢长为 2r0， 一个晶胞中含有四对正负离子对  一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：

m(2335.45)106 v2r0= N2.166.0210233  NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为： r02.82108cm0.282nm 由晶体体积弹性模量的公式：

(n1)Me2Bm ，

360r04并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数=2，故由上式可得：

360r04 n1Bm 2Me363.148.8510122(0.282109)4102.4110 =1 1921.7476(1.610) =7.82

由平衡时离子晶体的内聚能公式：

NMe21Uc(1)，

40r0n将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：

UcMe21(1) N40r0n

1.7476(1.61019)21(1) =121943.148.85100.282107.82

1.241018J

3. LiF晶体具有NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离

14

r0=0.2014nm(1摩尔的内聚能Uc＝1012.8kJ/mol, 以孤立离子系

统的内能为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性模量Bm，并与它的实验植6.711010N/m2进行比较。

NMe21(1)，其中解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：Uc40r0nM=1.784

计算1mol的内聚能时，N=Na=6.02×1023 ，且r0=0.2014，计算得：

n=(1

43.148.8510190.2014109(1012.8103)] =[1231926.02101.748(1.610)40r0Uc1) 2NMe =6.33

(n1)Me2 Bm4 360r0LiF晶体具有NaCl结构，将 =2，n =6.33, r0=0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为:

(n1)Me21 0 2 Bm= 7.242×10(N/m) 4360r0相对误差为：

7.2426.71100%7.9% 6.714. 试说明为什么当正负离子半径比r/r1.37时不能形成氯化铯结

构，当r/r2.41时不能形成氯化钠结构，当r/r2.41时，将形成什么结构？已知：RbCl, AgBr, BeS的正负离子半径分别为：

r（nm） r(nm)

RbCl, 0.149

0.181

AgBr, 0.113

15

0.196

BeS 0.034

0.174

若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。

解： （1）要形成氯化铯的体心立方结构，正负离子的直径必须小于

立方体的边长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。 即： 2rad2(rr) 3311.3 731可得： r/r故，r/r1.37时，不能形成氯化铯结构。

要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。 即：2rd2(rr)

1 12.421 r/r故，r/r2.41时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构。

（2）RbCl,

r0.1841.2151.37 为氯化铯结构 r0.149 晶格常数为：

a22(rr)(0.1810.149)0.381nm 33r0.1961.731.37 为氯化钠结构 r0.113 AgBr,

晶格常数为：

a2(rr)2(0.1960.113)0.618nm BeS：

r0.1745.1182.41 为闪锌矿结构 r0.034 晶格常数为：

a88(rr)(0.0340.174)0.34nm 33 16

5. 由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德——琼斯势参数

0.02eV,0.398nm在低温下Xe 元素形成面心立方的晶体，试

Uc及体积弹性模量N求Xe晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能

Bm。若对Xe晶体施加压力P6108N/m2。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数a将变为多少？并求这时的内聚能

解：原子间的平衡间距为 ：r01.091.090.398nm0.434nm

因结构为立方晶体，则晶格常数为：a每个原子的内聚能为：

2r020.614nm

Uc将变为多少？ NUc8.68.60.020.172eV N体积弹性模量：Bm753750.02(0.398109)31.61019 =3.81×109 N/m2 由体积弹性模量的定义式可知：BmV(VP)T V  PBmdVVBmln 因为：VNr3 VV0V0故 P3Bmln  rr0ePBmr r0618033.1100.434e 20.nm41r 1.09 晶格常数 a2r0.583nm /Uc(r)A62Bm/8.60.149 内聚能 N2A12756. 原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一，请证明由sp3 杂化后的未配对电子轨道1,2,3,4也相互正交归一：

如已知在球面极坐标中，轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz可写成：

17

*ijdij(i,j1,2,3,4)12sR2(r)2 132pxR2(r)sincos2 132pyR2(r)sinsin2 132pzR2(r)cos2

请求出杂化轨道

1,2,3,4在球面坐标中的表达式并由此求出杂化

轨道具有最大值的方向。

解：（1）原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一 且1(2s2px2py2pz)

122(2s2px2py2pz) 3(2s2px2py2pz)

12124(2s2px2py2pz)

121*2d*1(2s2p2p2p)xyz(2s2px2py2pz)d 41[2s*2sd2px*2pxd2py*2pyd2pz*2pzd]41 (1111)

40其余同理可证，波函数1,2,3,4相互正交。

*11*1d(2s2px2py2pz)(2s2px2py2pz)d

4*1(2s2px2py2pz)(2s2px2py2pz)d41[2s*2sd2px*2pxd2py*2pyd2pz*2pzd] 4

1(1111)41 18

其余同理可证，波函数1,2,3,4归一。

(j1,2,3 ,4) 亦可以证明 i*djiji,（2）1,2,3,4在球面坐标中的表达式为：

412R2(r)(13sincos3sinsin3cos)4

13R2(r)(13sincos3sinsin3cos)414R2(r)(13sincos3sinsin3cos)41R2(r)1(13sincos3sinsin3cos)1,（3）1,具有最大值时 0,0 ,1, (sincos)cossin sin2 2 sincos tan2

, 2,具有最大值时 2,0,20 , (sincos)cossin sin2 2 sincos tan2

,3,具有最大值时 3,0,30 , (cossin)tan sin2 2 sincos0 tan2

4,4,4,具有最大值时 0,0 , (sincos)tan sin2 2 sincos0 tan2 轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值： Pi*i2

对1,

19

1201.730 2011450同理可得： 7.

232.73022250

3144.73031350

4144.73043150

sp2

杂化轨道可写成

11(2s22px)3，

113(2s2px2py)，

232113(2s2px2py)在球面系中写出轨道表达式，并求杂化轨

232道最大值的方向。

解：在球坐标系中：由2sR2(r) 2pxR2(r)12

13sincos 2132pyR2(r)sinsin

2132pzR2(r)cos

2可得：

123R2(r)23R2(r)23R2(r)23(16sincos)(1(133sincossinsin) 2233sincossinsin)221,具有最大值时

1,1,0,0 , coscos0

cos0cos1 或

20

sin0sin1

sinsin0

, 2,具有最大值时 2,0,20 , 33coscoscossin0 2233sinsinsincos0 22cos0sin()16sin0cos()16 或



3,3,0,0 , 3,具有最大值时

33sinsinsincos0 2233coscoscossin0 22cos0sin0

sin()16 或

cos()16

i2i20,0（i=1,2,3）可得： 利用1900100 ，

290021200 ，

390032400

21

第四章 晶格振动和晶体的热学性质

1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。

解：设第n个原子的势能函数为

12Umxnxnm

2m(m0)其中，m为与第n个原子的相距ma的原子间的恢复力常数，a为晶格常数。则，第n个原子的受力为

FnU xnm(m0)m(xnmxn)m(xnmxn)m(xnmxn)

m1m(xnmxnm2xn)m1 22

其中，利用了mm。第n个原子的运动方程为

nFn Mx 令其试解为

m(xnmxnm2xn)

m1xnAei[qnat]

代入运动方程得

Mmeiqmaeiqma2

2m12mcos(qma)1m14msin2(m1qma)2

故，

1M24msin2(m1qma) 2

2. 聚乙烯链CHCHCHCH的伸张振动，可以采用一维双

原子链模型来描述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右的力常数分别为1和2，原子链的周期为a。证明振动频率为

12qa2412sin2 212112M12

解：单键及双键的长分别为b1和b2，而

ab1b2

CHCHCHCHCH

(n1,2)b1(n,1)b2(n,2)(n1,1)2121原子(n,1)与(n,2)的运动方程分别为

(n,1)1Muun1,2u(n,1)2un,1un,2(n,2)2Muun,1u(n,2)1un,2un1,1

23

令这两个方程的试解为

u(n,1)Aei(qnat)u(n,2)Bei[q(nab2)t]

把试解代入运动方程得

iqb1iqb2M2A1ABe2ABeMB2Ae2iqb2B1BAeiqb1

有非零解的条件为

12M22eiqb1eiqb21eiqb12eiqb2112M220

解得

22(M2)2212(M2)12212cosq(b1b2)120

利用b1b2a，方程的解为

12qa24sin12122 112M122

3. 求一维单原子链的振动模式密度g，若格波的色散可以忽略，

其g具有什么形式，比较这两者的g曲线。

解: 1一维单原子链的晶格振动的色散关系为

msinqa 其中，m2 M2此函数为偶函数，只考虑q0的情况，下式右边乘2。d区间振动模式数目为

g()d2l1d

2grad1daqaa222mcosm 其中，graddq222故色散关系为

24

12l222gm a2N2m122

其中，l为单链总长，a为晶格常数，因此，N为原子个数。 。而且振动模式2若格波没有色散，既只有一个E（爱因斯坦模型）密度函g数满足下面关系

gdN

故，g为函数

gNE

12色散关系的曲线图如下：

g()=2N(22-1/2g()m)/g()=N(E)

4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012Nm2，3.5gcm3。试估算它的德拜温度D?

解：德拜温度为

DDk B1将23D6N，VVsVsY，代入上式 12DY3k6NBV

25

密度

kBY6N3421363.143.5101.061010K 1.380710233.5103121.660510272817K122313

5. 试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。

解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为D1112其中3。 Vs3Vl3V3t2136NVs，VV2V2gl,gt 23232Vl2Vt纵波的零点振动能为

U0lD0gld 2V2d222Vl3D0V4D162Vl3

同理，两支横波的零点振动能均为

U0tD0gtd 2V2d222Vt3D0V4D162Vt3

故，总的零点振动能为

U0U0l2U0t

26

VV42D4D232316Vl16Vt3V11262N3VsD 1623Vl3Vt3V9ND8

6. 一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到

一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在TD1000K时，

cv101T3Jm3K1）

解：在低温情况下，热导率的表达式为

cl

13其中，cv101T3Jm3K1，而且由于直径很小，自由程ld3mm，所以

2.7

而声速由德拜模型求取，在德拜模型中，N为原胞个数

30NMAl2O330NDVsVMAlOV23213230DkB， VVsDMAlOs2321313故，

DkB302VsMAl2O3136.84103ms1,(其中=4gcm-3)

Vs6.84103ms1，代入2.7中，得

1.85104Wm1K1

7. Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，

在100方向可以看作是一组平行的离子链。离子间距d0.28nm。

10Nm2，如果全放射的光频率与NaCl晶体的杨氏模量为510。 q0的光频模频率相等，求对应的光波波长（实验值为61m）

27

解：在一维双原子链模型中，q0时，光频模频率为

1102 MM2112杨氏模量为

YLFd 2AlTd故，

dY

光波波长为

cTc22c12

112MM122c112dYMM12.6m12

C12和C44。8. 立方晶体有三个弹性模量C11，铝的C1110.821010Nm2，

C442.851010Nm2，铝沿100方向传播的弹性纵波的速度

lC11，横波速度tC44，Al的密度2.70103kgm3。求德

拜模型中铝的振动模式密度g。

解：德拜模型中，振动模式密度为

3V2g,D 232Vs其中，

D6N1112，VsV33V3V3 stlV213 28

将lC11，tC44代入上式

1112 333Vs3VlVt3321223C11C44 2.0751011m3s3所以，

Vs3.103ms1

代入D中，

D6NVs V2132136NMAlVsVMAl6 VsMAl5.561013rads1213故，

3V2g23

2Vs31222.07510V2 230143.15710122V其中，D5.561013rads1。

29

第六章 金属电子论

1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。

解：一维情形

由电子的Schrödinger方程：

2d2E 2mdx2

得自由电子波函数解：dz2

2k2且有：E

2mLLL2mdEdkdk 2πππ2E由周期性边界条件：(xL)(x) 得：

k2πn L 在k2mE/到kdk区间：

dZ2LLL2mdEdkdk 2πππ2E

2m1E2 那么：dZLg1(E)dE，其中：g1(E)2π二维情形

同上，由电子的Schrödinger方程：

22E 2m

得自由电子波函数解：(r)

1ikre，SL2 S2k2222(kxky) 且：E(k)2m2m(xL,y)(x,y) (x,yL)(x,y)由周期性边界条件：

得：kx2π2πnx，kyny LL30

在k2mE/到kdk区间：

SL2mL2dZ2dk22πkdk2dE

(2π)22ππ

那么：dZSg2(E)dE

其中：g2(E)m π2. 若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：

π2ns(T)kBTlnexpmkBT1 

解：由前一题已经求得能态密度：g(E)

电子气体的化学势由下式决定：

N0m πL2mdEg(E)LdE2E-/kT B0πe12

令E/kBTx，并注意到：ns1kBTmxnse1dx 2/kTBπN L2kBTmdex 2/kTxx

Beπe1

 kBTme ln2xπe1/kTBxkBTmlne/kBT1 2π那么可以求出：

π2ns(T)kBTlnexpmkBT1 

证毕。

3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 g／cm3。

计算它的费米能EF和费米温度TF。

31

解：He3的数密度：

nNNMN VMVMm13

其中m是单个He3粒子的质量。

3πkF3π2n

m132 可得：

EFk3π 2m2mm22F2223

代入数据，可以算得：EF ＝6.8577×10－23 J = 4.28×10－4 eV. 则：TFEF＝4.97 K. k4. 金属钾在低温下的摩尔电子比热的实验值为：ce＝2.08 T mJ／

mol·K，试用自由电子气模型求它的费米能EF及状态密度g(EF)。

解：考虑费米球模型，在费米面以内的粒子吸收能量跃出费米面的数目期望是：

Nc3EFkT2E1/2dE9kTN 4EF 这些粒子共吸收能量：

3NkT22kT272EB

N4EF 则相应的热容量为：

2TE27kBCveT

T4EF

227kB其中：

4EF由题设数据，代入上式，可求出EF及 g(EF)：

227kBNAEF＝2.235×10－3 eV

4 32

gEF3nVN3NA=2.425×1045 2EF2EF

5. 银是一价金属，在T＝295 K时，银的电阻率ρ＝1.61×10－6

Ω·cm，在T＝20 K时，电阻率ρ＝0.038×10－8Ω·cm。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为107.87，密度为10.5 g／cm3。 解：由

1mVF ne2l 可得：

lmVF 2ne 又：

nNNMNNA0NA0 VMVNAMMs

其中NA为阿伏加德罗常数，Ms为Ag的原子量，0为Ag的密当 T＝295 K时，l = 3.7×10－4 m, 当 T＝20 K时，l = 1.6 m.

在计算过程中，已取VF =106 m.

度。将上式代入l的表达式，并代入数据可得：

6. Hunter S.C.和F.R.N.Nabarro曾计算铜中每厘米位错线引起的电阻率如下：

刃型位错 E＝0.59×10－20Ω·cm 螺型位错S＝0.18×10－20Ω·cm

假定刃型位错和螺型位错有相同的密度（位错密度为1cm2有多少条位错线）。已知位错产生的电阻率＝2×10－8Ω·cm，问铜中的位错密度是多少？

解：设密度为x，由题意可以列出方程：

33

xESx

＝2.6×1012

ES

7. 在室温下金属铍的霍尔系数为2.44×10－10 m3·C－1，求铍中空穴密度。

解：由霍尔系数定义RHp1得： pe1＝2.56×1028 m－3 eRH

8. 试计算Cs在T＝1000 K时热电子发射的电流密度。

解：电子热发射的电流密度函数为：

j4πemkT/e32kT

由教材表6-3可查得Cs的功函数为1.81eV。代入数据到上式

j＝9.2×102 A·m－2

中可以算得：

9. Al等离子体能量p的实验值为15.3 eV，按照自由电子气模型的

电子密度为n＝18.06×1022 m－3，求p的理论值。

解：由等离子体振荡频率关系式：

ne2

ε0m2p 故：

pen＝15.7 eV. ε0m

34

第七章 周期场中的电子态

1. 一维周期场中电子的波函数kx应满足布洛赫定理。若晶体常

数是a, 电子的波函数为

xikxsin;a3xiixicos;kal

iiikxfxlaf是某个确定的函数，试求电子在这些状态的波矢。

35

解：

TleikRlaikxasinxaeikxeikakxka,ka3xaeikxeikakxaiikxaicoska,kall

iiikxafxalafxl1alfxlax'kka0,k0

2. 电子在周期场中的势能

12m2b2xna,当nabxnab V（X）= 2 0,当n-1abxnab 且a=4b,是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。

解：势能曲线为：

1a1a122VaVxdx4am2b2xnadxa2a42ma9622

3. 用近自由电子模型处理上题，并求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。 解：

36

VxVnenin2xaV0Vne'nin2xa为简单计算，令V002ix1aV12aVxeadxa2m2a2434ix1aa2V2aVxedxa2m2a2322m2a2第一个禁带宽度为：2V123m2a2第一个禁带宽度为：2V2162

2714. 已知一维晶体的电子能带可写成Ek2coskacos2ka,ma88式中a是晶格常数。试求： （i）能带的宽度；

（ii）电子在波矢k的状态时的速度； （iii）能带底部和顶部电子的有效质量。 解：

37

271iEk2coskacos2ka,ma882112coska2ma244当k0时，Emin0,22当k时，Emax;2ama22EEmaxEminma222能带的宽度为：2ma1iivkEkvsin2ka4sinka4maiii在能带底部，将Ek在k0附近用泰勒级数展开，可得：2k2EEmin4m2k2Emin2mm2m0在能带顶部，将Ek在k322EEmaxk4mEmax2k2m2a附近用泰勒级数展开，令k=a +k可得：2mm03

5. 如图所示平面正六方晶格是复式格子，若原胞中的原子属于同一

元素，试求此晶体的结构因子。

解：如图所示：由于红色和紫色的原子不等价，阴影部分为一个原胞。原胞中包含两个原子。

38

设a3k,由图可得：3333a1=ai+aj ,a2=-ai+aj ,则：2222332原胞面积ACa1a2a22a2a3231b1ija332a3a1231b2ija334khb1b2j3a原胞中两个原子相对于原胞顶点的位矢分别为：11d1a1a2aj3322d2a1a22aj33晶体的结构因子为442ijajij2aj ikhdjSkhee3ae3a1j1

互作用，试导出其能带为：

6. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子，若只计最近邻的相

kyakyakxakakakaEkE0A4Jcoscoscoscoszcosxcosz，

222222y 39

并求能带底部电子的有效质量。

解：面心立方的每个格点有12个最近邻，如晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这12个最近邻的坐标为：

aaaaaaaa,,0;,,0;,,0;,,0;22222222aaaaaaaa0,,;0,,;0,,;0,,;22222222aaaaaaaa,0,;,0,;,0,;,0,;22222222EkEsCJeikRllaaaaaaaaaaaaikikijikijikijikjkikjkij22e22e22e22e22e22esECJaaaaaaaaaaaaikjkikjkikikikikikikikike22e22e22e22e22e22kyakyakxakxakzakzaEC4Jcoscoscoscoscoscos222222对于上式表示的能带，其最小值位于倒空间的原点，sEminEsC12JE0Emin,令A12J，则kyakyakxakxakzakzaEkE0A4Jcoscoscoscoscoscos222222将上式中三角函数在k0附近展开，可得：2EkEminJa2kx2kykz2

2k2Emin2m2m02Ja27. 二维正方晶格的周期性势场可表示为：

2Vx,y4Ucosa2xcosya

a为晶格常数，试由自由电子近似计算布里渊区边界点,处的能隙。aa 解：

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Vx,yVmnem,n'im22xinyaaeV00Vmnem,nim22xinyaae为简单计算，令V000，Vmn12aVx,yea2a2a2a2im22xinyaaedxdy在边界点,处，m1,n1aa1V112a12aU在边界点,处的能隙为2V112U

aaa2a2Vx,yea2a2a2a2a2a2i22xiyaaedxdyVx,ycos22xcosydxdyaa

8. 图为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a，只计入最近邻相互

作用，试用紧束缚近似计算其s电子能带Ek、带中电子的速度

vk以及能带极值附近的有效质量m。



解：三角形晶格的每个格点有6个最近邻，晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这6个最近邻的坐标为：

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a,0;aikRlsEkECJea3a33a3a;,a;a,0;,a;,a.22222222,la3a3a3a3ikiajikiajikiajik2222i2ajikai222sikaiECJeeeeee3kyakxaECJ2coskxa4coscos221vkkEk3kya3kyakxakxa2Jasinkxasincossinex3cosey2222能带的极小值位于倒空间的原点，sEminEsC6J422极大值位于倒空间的,0,,两点，3a3a3aEmaxEsC3J在能带极小值，将Ek中的三角函数在k0附近用泰勒级数展开可得：32EkEminJa2kx2ky22k2Emin2m2m023Ja44在能带极大值，如,0附近将Ek中的三角函数用泰勒级数展开，令kx=+kx,3a3aky=ky,可得：232EkEmaxJa2kkxy4Emin2k2m222m03Ja2

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