第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

学习目标

1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．

知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝

a1

，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数． q－1

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 知识点二 等比数列前n项和的性质

1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．

1

S偶

3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝

q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1 ＝

a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋2

1＋q

(q≠－1)．

1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( ) 2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )

3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( ) 4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．( )

5．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(

题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式．

2

S奇)

S1，n＝1，

反思感悟 已知Sn，通过an＝求通项an,应特别注意n≥2时,an＝Sn－Sn－1.

S－S，n≥2－nn1

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n1＋t，则t＝ .

题型二 等比数列前n项和的性质

命题角度1 连续n项之和问题

2

例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．

－

反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法

(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．

跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

3

命题角度2 不连续n项之和问题

例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为，求该等比数列的通项公式．

反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快． 跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋＋ba6＝ .

等比数列前n项和的分类表示

典例 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N*.求{an}的前n项和Sn.

4

[素养评析] 数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.

1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( ) A．31 B．33 C．35 D．37

1－

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n1－，则x的值为( )

61111A. B．－ C. D．－ 3322

3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为( )

A．1 B.2 C.3 D．无法确定

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于( ) A．24 B．12 C．18 D．22

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于( ) A．8 B．6 C．4 D．2

5

1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．

2．等比数列前n项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0a1n－

(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn1＝·q(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn

q＝

a1na1

(q－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系． q－1q－1

a1(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干1－q项之和等整体处理.

6

一、选择题

1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( ) 11

A．2 B. C．4 D.

24

2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( ) A．1 B．0 C．1或0 D．－1

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( ) 115755

A. B．－ C. D. 8888

S8

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( )

S4117

A. B．2 C. D．17 216

5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( ) A．90 B．70 C．40 D．30

6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足A．－2 B．2 C．－3 D．3

11

7．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋

42

S2ma2m5m＋1

＝9，＝，则数列{an}的公比为( ) Smamm－1

7

a12的值为( )

A．580 B．585 C．590 D．595

S6S9

8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( )

S3S678

A．2 B. C. D．3

33

二、填空题

9．若等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝ .

8

1

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N*，有an＋1＝Sn，则Sn＝ . 3

S41

11．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列a的前5项和

S2n为 ．

三、解答题

12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

13．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

14．等比数列{an}中，a1－a3＝3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为 ．

9

15．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.

10