新教材高中数学基础练15二次函数与一元二次方程不等式的应用含解析新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式的应用

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分，共30分) 1．不等式1－xx＋1 >0的解集是( )

A．{x|x>1} B．{x|－1D．{x|x<－1或x>1}

【解析】选B.分式不等式1－xx＋1

>0等价于(1－x)(x＋1)>0，即(x－1)(x＋1)<0，x≠－1，解一元二次不等式得：－1故不等式1－xx＋1

>0的解集是{x|－12．若集合A＝{x|ax2

－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．{a|0B．{a|0≤a<4} C．{a|0D．{a|0≤a≤4}

【解析】选D.由题意知a＝0时，满足条件．

a≠0时，

由a>0，

Δ＝a2

－4a≤0， 得0【补偿训练】

已知对任意正实数不等式x2

－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围是( ). A．{a|a<22 } B．{a|a>－2} C．{a|a>－6}

D．{a|a<－6}

【解析】选A.令f(x)＝x2

－ax＋2＝ax－22

a2



＋2－4 ，

(1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)上为单调递增的．

f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立．

(2)当a>0时f(x)＝x2

－ax＋2的对称轴为x＝a2

. 1

a2

所以当x∈(0，＋∞)时f(x)min＝2－ .

4

若x－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，

2

a2

只要2－ >0即可，所以04

综上，若x－ax＋2>0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为{a|a<22 }． 3．不等式2

<1的解集是( ) x＋1

B．{x|x>1} D．{x|－12

A．{x|x<－1或x>1} C．{x|x<－1} 【解析】选A.因为

221－x <1，所以 －1<0，即 <0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，x＋1x＋1x＋1

所以x<－1或x>1.

4．关于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集为{x|x1A． B． C． D． 2242

【解析】选A.由条件知x1，x2为方程x－2ax－8a＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a. 5222222

故(x2－x1)＝(x1＋x2)－4x1x2＝(2a)－4×(－8a)＝36a＝15，得a＝ .

2

5．已知p：x－3x＋2≤0，q：x－4x＋4－m≤0.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A．{m|m≤0} C．{0}

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．{m|m≥1}

D．{m|m≤－1或m≥1}

2

2

【解析】选D.p：x－3x＋2≤0，1≤x≤2，q：x－4x＋4－m≤0，2－|m|≤x≤2＋|m|，p2－|m|≤1

是q的充分不必要条件，则 ，|m|≥1，

2＋|m|≥2

所以m≤－1或m≥1.

6．若不等式mx＋2mx－4<2x＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( ) A．{m|－2B．{m|－22

2

2

C．{m|m<－2或m≥2}

2

【解析】选B.因为mx＋2mx－4<2x＋4x， 所以(2－m)x＋(4－2m)x＋4>0. 当m＝2时，4>0，x∈R，满足题意； 当m<2时，Δ＝(4－2m)－16(2－m)<0，

解得－22

2

2

7．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．

【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为药液为

4（x－8）

x－8

.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农xx 升，此时桶内有纯农药液x－8－

4（x－8）x 升．依题意，得x－8－

4（x－8）

x ≤28%·x.

10402

由于x＞0，原不等式化为9x－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得 ≤x≤ .

3340

又x＞8，所以8＜x≤ .

3

40

答案：x|83

8．若不等式ax＋ax－1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为________． 【解析】(1)当a＝0时，得到－1<0，所以不等式的解集为R；

(2)当a>0时，二次函数y＝ax＋ax－1开口向上，函数值y不是恒小于等于0，所以解集为R不可能．

(3)当a<0时，二次函数y＝ax＋ax－1开口向下，由不等式的解集为R，得Δ＝a＋4a≤0，即a(a＋4)≤0，解得－4≤a≤0，所以－4≤a<0； 综上，a的取值范围为{a|－4≤a≤0}． 答案：{a|－4≤a≤0}

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝8

10%)，售出商品数量就增加 x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出x的范围． (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

2

2

2

2

x8【解析】(1)由题意得y＝1001－ ·1001＋x .

1050

因为售价不能低于成本价，所以1001－ －80≥0.

10

即0≤x≤2，所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，x∈{x|0≤x≤2}． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 1132

化简得8x－30x＋13≤0，解得 ≤x≤ .

24

3



x1

所以x的取值范围是x≤x≤2.

2

10．已知不等式ax－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b.

(2)解不等式ax－(ac＋b)x＋bc<0.

【解析】(1)因为不等式ax－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x＝1与x＝b是方程

2

2

2

ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.

3

1＋b＝，aa＝1，

由根与系数的关系，得解得  b＝2.2

1×b＝a，

(2)原不等式ax－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2综上所述，当c>2时，不等式ax－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|222

2

2

2

(35分钟 70分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．不等式x－2

≤0的解集是( ) x＋1

B．{x|－1≤x≤2}

D．{x|－1A．{x|x<－1或－12

x－2

≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即－12．不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a>4或a<－4} C．{a|a≥4或a≤－4}

2

B．{a|－4D．{a|－4≤a≤4}

2

【解析】选A.不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x＋ax＋4<0有解，所以Δ＝

a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.

a

3．(多选题)在R上定义运算：

c

bd

 ＝ad－bc.

4

若不等式

x－1 a－2

 ≥1对任意实数x恒成立，则实数a的( )

a＋1 x

B．最小值是－2

D．最大值是2

2

1

A．最小值是－

23

C．最大值是

2

【解析】选AC.原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x－x－1≥(a＋1)(a－2)5551312

对任意x恒成立，x－x－1＝x－ － ≥－ ，所以－ ≥a－a－2，解得－ ≤a≤ .

444222

2

2

4．已知关于x的不等式

1ax－1

>0的解集是xx<－1或x>， 则a的值为( )

2x＋1

1

A．－1 B． C．1 D．2

2

1【解析】选D.由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)x－ >0，由解集的特点可得a>0



a

11

且 ＝ ，故a＝2. a2

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．若关于x的不等式(a＋4a－5) x－4(a－1) x＋3>0恒成立，则a的取值范围是

2

2

________．

【解析】①当a＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1. 若a＝－5，不等式可化为24x＋3>0，不满足题意； 若a＝1，不等式可化为3>0，满足题意．

2

a＋4a－5>0，2

②当a＋4a－5≠0时，不等式恒成立，需满足解 得2

16（a－1）2－12(a＋4a－5)<0，

1综上，可得a的取值范围是1≤a<19. 答案：1≤a<19

6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x(0【解析】生产者不亏本时有y－25x＝－0.1x－5x＋3 000≤0， 即x＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去). 故生产者不亏本时的最低产量是150台． 答案：150

5

2

2

2

2

7．若函数f(x)＝ 的定义域是R，求实数a的取值范围是________．

ax2＋2ax＋2

2

2 016

【解析】因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax＋2ax＋2>0恒成立． (1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；

a>0，

(2)当a≠0时，有 2

Δ＝4a－8a<0，

即

a>0，0所以0综上可知，实数a的取值范围是{a|0≤a<2}． 答案：{a|0≤a<2}

8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______． 【解析】由题意得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)]×2≥7 000，化简得(x%)＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去).所以x≥20，即x的最小值为20. 答案：20

三、解答题(共30分)

2

2

x＋2

9．(10分)(1)解关于x的不等式： <－3；

1－x(2)关于x的不等式ax－x＋b>0的解集为{x|－22

2

x＋2x＋2x＋2＋3（1－x）

【解析】(1)由 <－3，可知 ＋3<0，即 <0，

1－x1－x1－x不等式左右同乘(1－x)，得(x－1)(2x－5)<0， 5

解得：12

5

所以不等式的解集为x|12

2

(2)由题意可知方程ax－x＋b＝0的两根为－2，1， 1

－2＋1＝aa＝－1

所以，解得 ， b＝2b

－2×1＝a122

则不等式bx＋ax－1≤0，即为2x－x－1≤0，其解集为x|－≤x≤1 .

2

2

（a＋1）x－3

10．(10分)已知关于x的不等式 <1.

x－1(1)当a＝1时，解该不等式．

6

(2)当a为任意实数时，解该不等式．

2x－3

【解析】(1)当a＝1时，不等式化为 <1，化为

x－1

x－2

<0，所以1（a＋1）x－3ax－2(2)由 <1，得 <0，

x－1x－1即(ax－2)(x－1)<0.

2

当 ＝1，即a＝2时，解集为∅；

aaa22

当 >1，即0

a

22

当 <1，即a>2时，解集为x

a

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

2

当a<0时，解集为xx<，或x>1. a

11．(10分)已知不等式mx－2x－m＋1<0.

(1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围．

(2)若对一切－2≤m≤2的所有实数不等式恒成立，求x的取值范围． 【解析】(1)不等式mx－2x－m＋1<0恒成立， 即函数f(x)＝mx－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足；

当m≠0时，函数f(x)＝mx－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx－2x－

m<0，

m＋1＝0无解，即 则m无解．

Δ＝4－4m（1－m）<0，

2

2

2

2

2

综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立． (2)设g(m)＝(x－1)m＋(1－2x)，

当x－1＝0时，即x＝±1，检验得x＝1时符合题意；当x≠1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，

由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方，

g（－2）<0，－2x－2x＋3<0，①

所以 即2 g（2）<0，2x－2x－1<0.②

2

2

2

2

－1－7－1＋71－31＋3解①，得x< 或x> ，解②，得 2222－1＋71＋3

由①②，得 22

7

－1＋71＋3.综上得x的取值范围为x 22

8