一、选择题（每题3分，共45分）
2
1．若将抛物线y=x﹣2x﹣3沿某一方向平移，则平移后所得抛物线的解析式可能为（ ）
2222
A．y=2x﹣x+3 B．y=x﹣3x+2 C．y=3x﹣x﹣2 D．y=﹣2x﹣3x+1 2．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2008的值为（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
3．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．
D．
B．
C．
4．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的
2
一元二次方程x﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 5．已知点P（﹣1，a）在反比例函数A．﹣1 B．1
C．﹣2 D．2
的图象上，则a的值为（ ）
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
7．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y=的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
8．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
1
A．25° B．30° C．40° D．50°
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A．29° B．31° C．59° D．62°
10．若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4，则相似比为（ ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且
AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ ） A．
B．
C．
D．
14．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ） A．6
B．
C．10 D．12
2
15．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共45分）
16．关于x的方程mx2﹣3x=x2﹣mx+2是一元二次方程，则m的值是 ．
2
17．当k为 时，关于x的一元二次方程x﹣4x+k﹣5=0有两个不相等的实数根． 18．开平市某乡无公害蔬菜的产量在两年内从10吨增加到20吨，设这两年该乡无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意，列出方程为 ．
19．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕
2
地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为 ．
20．抛物线y=﹣3（x﹣1）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 21．写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的解析式 ． 22．反比例函数图象经过点A（x1，y1），且x1y1=3，则此反比例函数的解析式为 ． 23．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
24．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是 ， ．
3
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上，且AB=5，BC=3，则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
26．如图所示：下列正多边形都满足BA1=CB1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB1=108°，依此类推在正八边形中，∠AOB1= °，在正n（n≥3）边形中，∠AOB1= °．
三、解答题（第27题5分，第28题每小题0分，第29题3分，第30题2分） 27．计算： sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°． 28．解下列方程： （1）x2=3x
2
（2）（x﹣1）=4 （3）x2+3x﹣1=0 （4）x2+6x﹣1=0．
29．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2=AC•AD． 求证：△ADB∽△ABC．
30．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；
4
（2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
5
2015-2016学年北京市北达资源中学九年级（上）周练数学试卷（12）
参与试题解析
一、选择题（每题3分，共45分）
1．若将抛物线y=x2﹣2x﹣3沿某一方向平移，则平移后所得抛物线的解析式可能为（ ） A．y=2x2﹣x+3 B．y=x2﹣3x+2 C．y=3x2﹣x﹣2 D．y=﹣2x2﹣3x+1 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变．
【解答】解：由于二次函数图象平移后，它的大小和形状不变，故a不变，所以将抛物线y=x2﹣2x﹣3沿某一方向平移，则平移后所得抛物线的解析式可能为B选项． 故选：B．
22
2．已知抛物线y=x﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m﹣m+2008的值为（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
222
【分析】将（m，0）代入y=x﹣x﹣1可得m﹣m=1，直接整体代入代数式m﹣m+2008求解．
222
【解答】解：将（m，0）代入y=x﹣x﹣1．得：m﹣m﹣1=0，即m﹣m=1 ∴m2﹣m+2008=1+2008=2009． 故选D．
3．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．
D．
B．
C．
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可． 【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限， 只有选项D的顶点符合要求， 故选：D．
4．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
6
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1． ∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t． ∴1+t=4， 解得 t=3．
即方程的另一根为3． 故选：D．
5．已知点P（﹣1，a）在反比例函数
的图象上，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】把点P的坐标代入函数解析式，得到一个关于a的方程，就可以求出a的值． 【解答】解：根据题意，得：a=故选C．
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣x2即可得到y1与y2的大小．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点， ∴y1=﹣
，y2=﹣
，
，y2=﹣
，然后利用x1＜0＜
=﹣2．
∵x1＜0＜x2， ∴y2＜0＜y1． 故选B．
7．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y=的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
7
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后解绝对值方程即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A， ∴S△AOP=|k|， 即|k|=3，
而k＜0， ∴k=﹣6． 故选D．
8．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50° 【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOD的度数，再由圆周角定理即可解答． 【解答】解：∵OA∥DE，∠D=50°，∴∠AOD=50°， ∵∠C=∠AOD， ∠C=×50°=25°．
故选A．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ）
A．29° B．31° C．59° D．62° 【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
8
∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=31°， ∴∠C=∠A=31°． 故选B．
10．若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4，则相似比为（ ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4， ∴相似比=
=1：2．
故选A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点】射影定理．
【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度． 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
2
∴AC=AD•AB， 又∵AC=3，AB=6， ∴3=6AD，则AD=． 故选：A．
2
12．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
9
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．
【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∵DE：EC=2：3， ∴DE：AB=2：5， ∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF， ∴
=
=
，
=
=，
∴====
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25， 故选D．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（ A．
B．
C．
D．
【考点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系． 【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴cosB=sinA， ∵sinA=， ∴cosB=． 故选：B．
14．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
10
） A．6 B． C．10 D．12
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据直角三角形的特点及三角函数的定答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，
∴tanA=，AC==6．
故选A． 15．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意列出函数表达式，函数不是二次函数，也不是一次函数，又AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，用排除法做出解答． 【解答】解：∵AB=4，AC=x， ∴BC=
=
， ，
∴S△ABC=BC•AC=x
∵此函数不是二次函数，也不是一次函数， ∴排除A、C，
∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大， 此时AC=2，
即x=2时，y最大，故排除D，选B． 故答案为：B．
二、填空题（每空3分，共45分）
16．关于x的方程mx2﹣3x=x2﹣mx+2是一元二次方程，则m的值是 ． 【考点】一元二次方程的定义．
【分析】先把方程变形为（m﹣1）x2﹣（3﹣m）x﹣2=0，然后根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可．
11
【解答】解：方程变形为（m﹣1）x2﹣（3﹣m）x﹣2=0， ∵关于x的方程mx2﹣3x=x2﹣mx+2是一元二次方程， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1．
故答案为m≠1．
17．当k为 时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣5=0有两个不相等的实数根． 【考点】根的判别式．
2
【分析】根据一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的定义以及根的判别式得到△＞0，即（﹣4）2
﹣4×1×（k﹣5）＞0，解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣5=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即（﹣4）2﹣4×1×（k﹣5）＞0，解得k＜9， ∴k的取值范围是k＜9． 故答案为：＜9． 18．开平市某乡无公害蔬菜的产量在两年内从10吨增加到20吨，设这两年该乡无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意，列出方程为 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次增长率为x，根据“由原来10吨增长到20吨”，即可得出方程． 【解答】解：设平均每次增长率为x， 第一年增加10（1+x）， 第二年增加10（1+x）（1+x），
2
由题意可得：10（1+x）=20． 故答案为：10（1+x）2=20．
19．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【解答】解：假设修建的路宽应x米，
利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程： ∴（20﹣x）（30﹣x）=551， 整理得：x 2﹣50x+49=0，
解得：x 1=1米，x 2=49米（不合题意舍去）， 故答案为：1米．
20．抛物线y=﹣3（x﹣1）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【考点】二次函数的性质．
12
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【解答】解：由y=﹣3（x﹣1）2可知，二次项系数为﹣3＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， 顶点坐标为（1，0）．
故本题答案为：向下，x=1，（1，0）．
21．写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的解析式 ． 【考点】反比例函数的性质．
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系数小于0即可．如y=﹣（x＞0），答案不唯一． 答案可为：y=﹣（x＞0）．
22．反比例函数图象经过点A（x1，y1），且x1y1=3，则此反比例函数的解析式为 ． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】将点A的坐标代入反比例解析中求出k的值，即可确定出反比例解析式． 【解答】解：设该反比例函数解析式为y=（k≠0）． 把点A（x1，y1）代入，得 k=x1y1=3，
则该反比例函数解析式为：y=． 故答案是：y=．
23．如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似． 【解答】解：∵∠DAB=∠CAE ∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似． 故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．
13
24．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是 ， ．
【考点】位似变换．
【分析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点．
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1）， ∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），
（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点， 设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴
，解得
．
∴此函数的解析式为y=x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）；
（2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点， 设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
，解得，故此一次函数的解析式为y=x+…①，
同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
，解得
，
故此直线的解析式为y=x﹣1…②
联立①②得
解得，故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）．
故答案为：（1，0）、（﹣5，﹣2）．
14
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上，且AB=5，BC=3，则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠ADC=∠B，再由勾股定理求出AC的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°．
∵∠B与∠ADC是同弧所对的圆周角， ∴∠ADC=∠B． ∵AB=5，BC=3， ∴AC=
=4．
∵∠ACB=90°， ∴sin∠BAC=
=，sin∠ADC=sin∠B=
=．
故答案为：，．
26．如图所示：下列正多边形都满足BA1=CB1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB1=108°，依此类推在正八边形中，∠AOB1= °，在正n（n≥3）边形中，∠AOB1= °．
【考点】全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．
【分析】如图4，根据正八边形的性质可以得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，就可以得出△ABA1≌△BCB1，就可以得出∠CBB1=∠BAA1，就可以得出∠AOB1=135°，由正三角形中∠AOB1=60°=AOB1=108°=
，正方形中，∠AOB1=90°=，…正n（n≥3）边形中，∠AOB1=
；正五边形中，∠
，就可以得出结
论．
【解答】解：∵多边形ABCDEFGH是正八边形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°．
15
在△ABA1和△BCB1中，
，
∴△ABA1≌△BCB1（SAS） ∴∠CBB1=∠BAA1．
∵∠AOB1=∠ABO+∠BAA1． ∴∠AOB1=∠ABO+∠CBB1
∴∠AOB1=∠ABO+∠CBB1=135°； ∵在正三角形中∠AOB1=60°=，
在正方形中∠AOB1=90°=；
在正五边形中，∠AOB1=108°=； …
∴在正n（n≥3）边形中，∠AOB1=，
故答案为：135，
．
三、解答题（第27题5分，第28题每小题0分，第29题3分，第30题2分）27．计算： sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°． 【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可． 【解答】解：原式=×
﹣4×（
）2
+
×
=
﹣3+
=．
28．解下列方程： （1）x2=3x （2）（x﹣1）2=4
16
（3）x2+3x﹣1=0 （4）x2+6x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）移項，提取公因式分解因式后即可求解； （2）直接开平方即可求解；
（3）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；
（4）把常数项﹣1移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可．
2
【解答】解：（1）x=3x x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， ∴x1=0，x2=3；
2
（2）（x﹣1）=4 x﹣1=±2，
∴x1=﹣1，x2=3；
2
（3）x+3x﹣1=0 a=1，b=3，c=﹣1， ∵△=9+4=13， ∴x=∴x1=
=，x2=
；
（4）x2+6x﹣1=0 x2+6x=1 2
x+6x+9=1+9 ∴（x+3）2=10， ∴x+3=， ∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．
2
29．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB=AC•AD． 求证：△ADB∽△ABC．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】利用比例性质由AB2=AC•AD得到
=
，然后加上公共角，即可根据两组对应边
的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【解答】证明：∵AB2=AC•AD，
17
∴=，
又∵∠BAD=∠CAB， ∴△ADB∽△ABC．
30．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；
（2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
【考点】作图-位似变换． 【分析】（1）直接根据旋转作图的方法作图即可；
（2）根据位似作图的方法作图，如位似中心在中间的图形作法为①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比1：2，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形． 【解答】解：（1）如图所示．
（2）如图所示．
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