2019-2020学年深圳市南山区九年级上册期末数学统考试卷有答案

九年级教学质量监测

数学

注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共 100 分，考试时间 90 分钟.

1． 答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

2． 选择题用 2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上，并将答题卡交回。

第Ⅰ卷 选择题（36 分）

一、 选择题（本题有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）

1. 如图所示的工件，其俯视图是（

B ）

A. B C.

解析：看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线。

D.

5

2. 当 x＜0 时，函数 y   的图像在（ C ）

x

A. 第四象限

B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

a c

3. 如果  ，那么下列等式中不一定成立的是（ B ）

b d

a  b c  d a  c a a2 c2

A.   C.  B.

b d b  d b b2 d2

D. ad=bc

解析：当 b+d=0 时，B 不成立

4. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ A. 邻边相等 C. 对角线相等

D

）

B. 四个角都是直角 D. 对角线互相平分

5. 下列说法正确的是（

C ）

A. 菱形都是相似图形

C. 等边三角形都是相似三角形

B. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 矩形都是相似图形

6. 某学校要种植一块面积为 100m²的长方形草坪，要求两边均不少于 5m，则草坪的一边长为 y（单位：m）， 随另一边长 x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ C ）

A. B C. D.

7. 某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送12 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ C ）

A. x（x+1）=12 C. x（x−1）=12

B. x（x−1）=12×2

D. 2x（x+1）=12

解析：

每位同学赠送出（x−1）张照片，x 名同学共赠送出 x（x−1）张照片。

8. 如图，△ABC 中，DE∥BC，BE 与 CD 交于点 O，AO 与 DE，BC 交于点 N、M，则下列式子中错误的是 （ D ）

A.

DN

BM AB



AD

B.

AD

AB BC

DE

C.

DO

OC BC

A

）

DE

D.

AO

AE

EC OM

9. 如图，菱形 ABCD 的周长为 16，∠ABC=120°，则 AC 的长为（ A.

4 3

B. 4

C.

2 3

D. 2

第 8 题图 第 9 题图

10. 已知，线段 AB，BC，∠ABC=90°，求作：矩形 ABCD，以下是甲、乙两同学的作业：

甲:

1. .以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧； 2. 以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；

3. 两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD、CD，

四边形 ABCD 即为所求（如图 1）.

图 1

乙:

1. .连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，

交 AC 于点 M；

2. 连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，

使 MD=MB，连接 AD、CD，四边形 ABCD 即为所求（如图 2）.

图 2

对于两人的作业，下列说法正确的是（

A ）

A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对

k

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y1=2x−2 与坐标轴交于 A、B 两点，与双曲线 y2= （x＞0）交于点 C，

x

过点 C 作 CD⊥x 轴，且 OA=AD，则以下结论错误的是（

D ）

A. 当 x＞0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小； B. k=4

C. 当 0＜x＜2 时，y1＜y2 D. 当 x=4 时，EF=4

解析：

直线 y1=2x−2 与坐标轴交于 A、B 两点

，B 点坐标（0，−2） A 点坐标（1，0）

AD=OA=1，CD=OB=2，C 点坐标为（2，2） C 点在双曲线上，求得 k=4 x=4 时，E 点坐标为（4，6），F 点坐标为（4，1） EF=6−1=5

12. 如图，已知矩形 ABCD 中，AB=2，BC=6，点 E 从点 D 出发， 沿 DA 方向以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，点 F 从点 B 出发，

沿射线 AB 以每秒 3 个单位的速度运动，当点 E 运动到点 A 时，E、

F 两点停止运动.连接 BD，过点 E 作 EH⊥BD，垂足为 H，连接 EF， 交 BD 于点 G ，交 BC 于点 M ，连接 CF. 给出下列结论：

HG

①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③  ；④GH 的值

AB EH

DE

10

为定值 ；上述结论中正确的个数为（ ）

5

A. 1

B 2

C. 3 D. 4

答案：选 C（①②④正确）

CD2 1 DE t 1 CD DE

①设 E 点和 F 点的运动时间为 t，则 CE=t，BF=3t，  = ，  = ，∴ 

BC 6 3 BF 3t 3 BC BF

CDE  CBF=90 

在和△中，，∴△CDE∽△CBF（①正确） CBF △ CDE  CD DE

 BC BF

②在 Rt△ CDE 中，CE²=CD²+DE²=2²+t²，在 Rt△ CBF 中，CF²=CB²+BF²=6²+（3t）² ∴CE²+CF²=2²+t²+6²+（3t）²=40+10t² 在 Rt△ EAF 中，EF²=EA²+AF²=（6−t）²+（2+3t）²=36−12t+t²+4+12t+9t²=40+10t² ∴EF²= CE²+CF²

∴△CEF 为直角三角形

CD 2 CB 6 6 2 CD CB ∵    ∴   ， CE CF CE CF4  t 2 36  9t 2 3 4  t 2 4  t 2

DCB  ECF=90 

在，∴△CDB∽△CEF∴∠DBC=∠EFC（②正确） △ CDB 和△CEF 中，  CD CB



 CE CF

BMFB 3t BM 3t（6  t）

， ③④由△FBM∽△FAE 得   ，BM=

FA AE 3t+2 6  t 3t+2 DG DE t 3t  2 3t  2

  由△DEG∽△BMG 得

GB BM 3t（6  t） t（3 6  ） 18  3t

t  2 3 （ t  2） DG 3t  2 3t  210 3 DG 3t  2

∴ ∵DB= 22  62 = 2 10 ∴DG= ∴   

10 GBDG  18  3t  3t  2 20 DB 20

DH EH DE DH EH t 3 10t 10t 由△DHE∽△DAB 得   ∴   ，DH= ，EH=

DA BA DB 6 2 2 10 10 10

10 （）t 103t2− 310=（④正确）

HG=DG−DH= 10 10 5

10

HG 2 DE t HG DE 5  ， （③错误）  ，所以  EH EH AB 10t t AB 2

10

第Ⅱ卷 非选择题（ 分）

二、填空题（本题有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填在答题卡上）

13. 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为

0.6

.

第 13 题图

第 14 题图

14. 如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是点

OE 3 S

O，  ，则 四边形EFGH =

OA 5 S

四边形ABCD

9 25

.

15. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，AB=2，则 AC=

5  1 .

4

16. 如图，函数 y=−x 的图象与函数 y=− 的图象相交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，

x

垂足分别为点 C，D，则四边形 ACBD 的面积为

8

.

第 16 题图

三、解答题（本大题有 7 题，其中 17 题 8 分，18 题 6 分，19 题 6 分，20 题 7 分，21 题 8 分，22 题 8 分，23 题 9 分，共 52 分）

17.（8 分）解下列方程

（1）x²+2x−1=0 解

（2）x（2x+3）=4x+6

（x+1）²=2 （x+1）=

解 x（2x+3）=2（2x+3）

2

（x−2）（2x+3）=0

x1=−1+ 2 ，x2=−1− 2

x1=2，x2=−

32

18.（6 分）同学报名次参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、

；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示） 1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）

（1） 该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为

2

5

；

（2） 该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，

利用列表法或树状图加以说明；P1= 3

5

（3） 该 同 学 从 5 个 项 目 中 任 选 两 个 ， 则 两 个 项 目 都 是 径 赛 项 目 的 概 率 P2 为

3 10

.

（2） 列表如下:

第 2 个

第 1 个

A1 A2

A3

T1

T2

A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，T1） （A1，T2）

A2 A3 T1 T2

共计有 20 中选择结果

（A2，A1） （A3，A1） （T1，A1） （T2，A1）

（A3，A2） （T1，A2） （T2，A2）

（A2，A3） （T1，A3） （T2，A3）

（A2，T1） （A3，T1） （T2，T1）

（A2，T2） （A3，T2） （T1，T2）

从 5 个项目中任选两个，其中恰好一个径赛项目，一个是田赛项目的结果有 12 种：（ ， T1

，（T1，A2），（T1，A3），（T2，A1），（T2，A2），（T2，A3），（A1，T1），（A1，T2）， A1）12（A2，T1），（A2，T2），（A3，T1），（A3，T2）P1=

3

= 20 5

（3） 从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的结果有 6 种：，（（ A 1，A2） A 1，

6），（，），（，），（，），（，）A3A2A1A2A3A3A1A3A2P2=

3

= 20 10

19.（6 分）如图，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段 AB 表示站在广场上的小亮，线段 PO 表示直立

在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯.

（1） 请你再图中画出小亮在照明灯 P 照射下的影子 BC；

（2） 如果灯杆高 PO=12m，小亮的身高 AB=1.6m，小亮与灯杆的距离 BO=13m，请求

出小亮影子的长度.

（1） 画图如下

（2） 设 BC=xm

由△ ABC∽

BC

POC

答：小亮影子的长度为 2m

ABx 1.6

得△，，OC=OB+BC=13+x∴ 解得 x=2  

OC PO 13+x 12

20.（7 分）苏宁电器销售某种冰箱，每台的进货价为 2600 元，调查发现，当销售价为 3000 元时，平 均每天能售出 8 台，而当销售价每降低 100 元时，平均每天就能多售出 8 台. 商场要使这种冰箱的销

售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价为多少元？

解：设每台冰箱价格降低 100x 元，销售量为 8+8x

（3000−100x−2600）（8+8x）=5000

解得 x=1.5

冰箱定价=3000−100x=3000−100×1.5=2850（元）

答：要使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为 2850 元时。

N

A

G

D

B

C F

E

21.（8 分）如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 延长线上一点，F 是 DC 延长线上一点，且满足 BF=EF，

将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 90°得 FG，过点 B 作 FG 的平行线，交 DA 的延长线于点 N，连接 NG.

（1） 求证：BE=2CF；

（2） 试猜想四边形 BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明.

（1） 证明：过 F 作 FH⊥BE 于 H 点

在四边形 BHFC 中，∠BHF=∠CBH=∠BCF=90°

所以四边形 BHFC 为矩形

∴CF=BH

∵BF=EF，FH⊥BE∴H 为 BE 中点

∴BE=2BH

∴BE=2CF

（2） 猜想：四边形 BFGN 是菱形

证明：

∵将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 90°得 FG

∴EF=GF，∠GFE=90°

∴∠EFH+∠BFH+∠GFB=90°

∵BN∥FG∴∠NBF+∠GFB=180°

∴∠NBA+∠ABC+∠CBF+∠GFB=180° ∵∠ABC=90°

∴∠NBA+∠CBF+∠GFB=180°−90°=90°

由 BHFC 是矩形可得 BC∥HF，∴∠BFH=∠CBF

∴∠EFH=90°−∠GFB−∠BFH=90°−∠GFB−∠CBF=∠NBA

由 BHFC 是矩形可得 HF=BC，∵BC=AB∴HF=AB

在 △ABN 和 △HFE 中 ， NAB=EHF=90 AB=HF

（ ASA ）  NBA=EFH ∴△ABN≌△HFE∴NB=EF

∵EF=GF∴NB=GF 又∵NB∥GF∴NBFG 是平行四边形

∵EF=BF∴NB=BF，∴平行四边 NBFG 是菱形

N A D

G

B C H

F

E

E

2c

A

c b

a

c

C

b B a D

22.（8 分）如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c 是 Rt△ ABC 和 Rt△ BED

边长，易知 AE= 2 c，这时我们把关于 x 的形如 ax²+ 2 cx+b=0 的一元二次方程称为“勾系一元二

次方程”.

请解决下列问题：

（1） 写出一个“勾系一元二次方程”；

（2） 求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax²+ 2 cx+b=0 必有实数根；

（3） 若 x=−1 是“勾系一元二次方程”ax²+ 2 cx+b=0 的一个根，且四边形 ACDE 的

周长是 6 2 ，求△ABC 面积.2

（1） 解：令 a=3，b=4 则 c=5，写出一个“勾系一元二次方程”：3x²+5 2 x+4=0

（2） 证明：

△∵ =（ 2 c）²−4ab=2c²−4ab=2（a²+b²）−4ab=2（a²−2ab+b²）=2（a−b）²≥0

∴关于 x 的“勾系一元二次方程”ax²+ 2 cx+b=0 必有实数根

（3） 解：代入 x=−1 得 a− 2 c+b=0，∴a+b= 2 c

由四边形 ACDE 的周长是 6 2 得 a+b+a+b+ 2 c= 6 2

∴2（a+b）+ 2 c= 6 2 ，2 2 c+ 2 c= 6 2 ，3 2 c= 6 2 ，c=2，a+b=2 2

∴2ab=（a+b）²−（a²+b²）=（a+b）²−（c²）=8−4=4

∴ab=2

1

∴△ABC 面积= ab=1

2

23.（9 分）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线在 x 轴下方的部分沿

x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）.

（1） 类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2） 如图 2，双曲线 y= 与新函数的图象交于点 C（1，a），点 D 是线段 AC 上一动点

x

k

（不包括端点），过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线

交于点 P.

①试求△ PAD的面积的最大值；

②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D

的坐标；若不能，请说明理由.【

图 1 图 2

（1） 函数的性质：

①函数的最小值为 0，②函数的对称轴为 x=−3，③当 x≤−3，y 随 x 的增大而减小，当

x>−3 时，y 随 x 的增大而增大 当 x>−3 时，y=x+3

当 x≤−3，函数过（−3，0），在 y=x+3 取 x=−4 则 y=−1，即（−4，−1）在 y=x+3 的

上

（−4，−1）关于 x 轴的对称点为（−4，1），所以新函数过（−4，1）

1  4k  b 解得设 x≤−3，y=kx+b 代入（，）、，）得−4−1（0 −3  k=−1，b=−3，∴y=−x−3

 0  3k  b x  3 （x  3） 新函数的解析式为∴ y= 

x  3（x  3）

（2） ①C 点在 y=x+3 上，解得 C 点坐标为（1，4）

k4

C 点双曲线 y= 上，解得 k=4，双曲线解析式为 y=

x x 设 D 点坐标为（m，m+3）（−34

，m+3）

m+3

4

DP=

m+3

（m+3）S =△PAD ×DP×（m+3）= × ×= （ m  ）

m+3 2  21 1 m  3m  4 1 3 25

2 2 2 2 8

当 m=  时，△ PAD的面积的最大为

3 25 2 8 ②不能

m2  3m  4

−m=

m+3

要使四边形 OAEC 为平行四边形，则对角线互相平分即 DA=DC，DE=DP

当 DA=DC 时，D 为 AC 中点，D 点坐标为（−1，2）

代入 y=2 求得 P 点坐标为（2，2），E 点坐标为（−5，2），D 点不是 PE 的中点

所以四边形 PAEC 不能为平行四边形