初二数学秋季尖子班讲义

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第9讲 概率综合 ............................................................................................................. 3

第10讲 图形旋转（上） ............................................................................................ 14

第11讲 图形旋转（下） ............................................................................................ 19

第12讲 一元一次方程初步 ........................................................................................ 24

第13讲 一元一次方程进阶 ........................................................................................ 31

第14讲 一元一次方程综合 ........................................................................................ 38

第15讲 期末考试冲刺复习

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第 9讲 概 率 综 合

3 第9讲 概率综合

考点一、确定事件和随机事件 1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 【高能100例题1】下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播广告.

B. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球. C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上. D. 今年10月1日 ，厦门市的天气一定是晴天.

【高能100例题2】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，

指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形 丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。其中你认为正确的见解有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【高能100练习1】下列事件是必然发生事件的是 A、 打开电视机，正在转播足球比赛； B、 小麦的亩产量一定为1000公斤；

C、 在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球； D、农历十五的晚上一定能看到圆月． 【高能100练习2】下列说法正确的是( ) A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生； B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生； C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生； D、不可能事件在一次实验中也可能发生

4

【高能100练习3】同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3

C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13

考点二、随机事件发生的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 【高能100例题3】如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形。将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个

圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢。你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？_____________________.

【高能100练习4】李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。 ⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？

⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。

5 考点三、概率的意义与表示方法 1、概率的定义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为 P（A）=P

考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小

0 1概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点五、古典概型 1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，

m事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

n【高能100例题4】某班有49位学生，其中有23位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀. 如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是 .

【高能100练习5】冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )。 15

A、 B、 C、

32832

5

3

D、

1732

n会稳定在某个常数p附m

6

【高能100练习6】若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为 . 【高能100练习7】一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是 。 考点六、几何概率

有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积和线段的长度来计算。此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示，在数学上，这些问题的概率又称为几何概率。

【高能100例题5】如图，数轴上两点AB，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 。

考点七、列举法

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。这种方法称为列举法。

用列举法求概率的基本步骤：

①列举出一次试验的所有可能结果，共n种； ②求出满足要求的结果数m； ③概率PAm n【高能100例题6】从一个装有2个红球，2个白球（红球、白球除颜色不同之外，其余都相同）的盒子里先摸出一个球，再放回盒子里搅匀，再摸出一个球，求两次摸到的都是白球的概率。

【高能100练习8】随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）

113 A、4 B、2 C、4 D、1

7 考点六、列表法求概率 1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

【高能100例题7】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A．

B． C． D． 252525255

6

10

19

考点七、树状图法求概率 1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

【高能100例题8】如图，小明，小华用四张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗均匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。

8

（1）若小明恰好抽到的黑桃4。 ①请在右边绘制这种情况的树状图；

②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率。

（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。

【高能100练习9】一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。

【高能100练习10】某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

9 考点八、利用频率估计概率 1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

课后作业

【高能100作业1】下列事件中，属于必然事件的是（ ） A、明天我市下雨

B、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数 C、抛一枚硬币，正面朝上

D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【高能100作业2】从一副扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（ ）

A、可能发生 B、不可能发生 C、很有可能发生 D、必然发生

【高能100作业3】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大. 【高能100作业4】电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ）

1113

A、 B、 C、 D、

45620

【高能100作业5】口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别.随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是 .

10

【高能100作业6】五张标有1、2、3、4、5的卡片，除数字外其它没有任何区别。现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是 。 【高能100作业7】以下说法合理的是（ ）

A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%

1B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次

6掷得6。

C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。 D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51。

【高能100作业8】小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____________.

【高能100作业9】在“读书月”活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是多少？

【高能100作业10】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.

（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； （2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？

11 【高能100作业11】一对骰子，如果掷两骰子正面点数和为2、11、12，那么甲赢；如果两骰子正面的点数和为7，那么乙赢；如果两骰子正面的点数和为其它数，那么甲乙都不赢。继续下去，直到有一个人赢为止。 （1）你认为游戏是否公平，并解释原因；

（2）如果你认为游戏公平，那么请你设计一个不公平的游戏；如果你认为游戏不公平，那么请你设计一个公平的游戏。

【高能100作业12】如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A、B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同.现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘中的箭头，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重新转动一次，直到箭头停留在某一数字为止），那么你会选择哪个位置呢？请借助列表法或树状图法说明理由.

1 6 A 8 4 5 B 7

12

【高能100作业13】两人去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案:

甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时, 他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.

如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题: (1) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?

(2) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己乘上等车的可能性大? 为什么? ．．

【高能100作业14】某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．

(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；

(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？

(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，

恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．

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第10讲 旋转综合（上 下）

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第10讲 旋转综合

手拉手模型

【高能100例题1】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（ABG①当正方形AEFG旋转至如图2所示的位值时，求证BE=DG.

ADGADFBCBCE

图1FE图2②当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数.

③如图3，如果α=45°，AB=2，AE=42，求点G到BE的距离.

G

ADCFBE图3

15 【高能100例题2】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG. (1) 猜想线段BG与AE的数量关系是________________. (2) 将正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0360）

①判断(1) 中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若BC=DE =4, 当AE取最大值时，求AF的值.

FGABDC图1FGAEEB

DC图2

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【高能100例题3】如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB=2. ①求证：AD=AE.

②如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：DF-EF=2AF ③请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

17 【高能100例题4】

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC，等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是：___________________

①AD=BE=CF； ②∠BEC=∠ADC； ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60° （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.

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【高能100例题5】如图1，直角△ABC，∠CAB=90°，AC=1，AB=3， △ABD为等边三角形.

（1）CB与AD的交点为M，则BM=__________________；

（2）如图2，△ABD绕点B旋转一定的角度，旋转到A'BD'，E始终为线段A'C1的中点，证明：AECD'

2（3）在（2）的条件下，直接写出AE的最大值；△ABD绕点B旋转一周，直接写出E的运动的路径的长.

DCCMEA'A图1BA图2BD'

19 【高能100例题6】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于点E，连接CD.

（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是______________. （2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系.

20

【高能100例题7】

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请补全图形，并求出MN，AM，CN的数量关系.

AMDB

C

（2）如图,正方形ABCD的边长为1, 点M, N分别在AD, CD上,若△DMN的周长为2, 则△MBN的面积最小为__________________.

21 课后作业

【高能100作业1】如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC上（不与点B，C重合）.

操作1：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G； 操作2：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H； 依次操作下去……

（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为_____________,求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为____________，此时AE与BF的数量关系是_______________;

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系及面积y的取值范围.

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【高能100作业2】

如图1，有一组平行线l1//l2//l3//l4，正方形ABCD的4个顶点分别在l1、l2、l3、l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2、l4于F、G，DF=2, EF=DG=1. （1）AE=_____________,正方形ABCD的边长=______________.

（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE'D'，旋转角α（0°<α<90°），点D’在直线l3上，以AD'为边在ED’左侧作菱形AB'C'D',使B’和C’分别在直线l2、l4上.

①写出B'AD'与α的数量关系并给出证明; ②若α=30°，求菱形AB'C'D'的边长.

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第12讲一元二次方程

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第12讲 一元二次方程

一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式为：ax2bxc0(a0) . 其中ax2称为二次项，

bx 称为一次项，c称为常数项. 相应的，a是二次项系数，b是一次项系数。  一元二次方程的三个条件：

①有且仅有一个未知数； ②最高次数为2； ③分母中没有未知数.

【高能100例题1】下列方程中，一元二次方程有___________. ①x21 2

②x2x2x ③3x26x9 ④y3x2x2y3 ⑤

1 2x【高能100例题2】已知关于x的方程(a3)x|a1|(a1)x30 是一元二次方程，则参数a的值为___________.

【高能100例题3】x=2是方程__________的解. A. x22x30 C. 2x2x100

B. x23x150 D. x24x40

【高能100例题4】将方程3x(x1)5(x2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

25 一元二次方程的解法

常用解法有：直接开平方、配方法、公式法、因式分解法

直接开平方

解方程x225 ，则x15, x25

 小心负数解

 为了书写规范，要写成x15,x25，而不是x5  熟记下表

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 𝑥2 1 4 9 16 25 36 49 81 100 121 144 169 196 225 256 2 324 361 【高能100例题5】解方程 ①4x29

1②x23 3

(5x)2225

26

配方法

核心：凑完全平方式 解方程x26x160

解：x26x160 x26x16 x26x9169 (x3)225 x12, x28【高能100例题6】

①一元二次方程x28x10 配方后可变形为（ ） A. (x4)217 C. (x4)217

B. (x4)215 D. (x4)215

②用配方法解方程2x28x150 ，配方后的方程为（ ） A. (x2)219 C. (x2)2

B. (x4)231 D. (x4)223 231 2【高能100例题7】用配方法解方程 ①2x212x80

③3x26ax150

④ax28axb0(a0, b0)

11②x2x50 32

27 公式法

bb24ac一元二次方程axbxc0(a0)的解为x ，其中b24ac

2a2叫做方程判别式。

bb24ac①当0 时，方程有两个不等的实数根x1, x2，且x1,2；

2a②当0 时，方程有两个相等的实数根x1, x2，且x1x2③当0 时，方程无实根.

b； 2a【高能100例题8】解一元二次方程2x23x10 ，结果正确的是（ ） A. x317 2317 4 B. x317 2317 4C. x D. x【高能100例题9】用公式法解方程 ①x26x70

③4x212x110

②x28x10

④x22ax10

28

因式分解法

特点：好用，但适用范围有限 解方程x25x60

解：x25x60 (x2)(x3)0 x12, x23【高能100例题10】对于方程(x1)(x2)x2 ，下面给出的说法不正确的是（ ）.

A. 与方程x244x的解相同 B. 两边都除以x2，得x11 ，解得x=2 C. 方程有两个相等的实数根 D.移项分解因式(x2)20 ，可以解得x1x22 【高能100例题11】用分解因式法解方程 ①4x22x20

③(2y1)28(2y1)150

【高能100例题12】

①等腰三角形两边长分别是方程x27x100的两根，则该等腰三角形的周长为___________.

②如果x2x1(x1)0 ，那么x的值为____________.

②(x3)(x7)9

29 思维拓展

解方程(8x7)2(4x3)(x1)

9 2课后作业

【高能100作业1】方程x2ax10 和x2xa0 有一个公共解，则a的值为（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

m0）【高能100作业2】若关于x的方程m(xh)2k0 （m、h、k均为常数，

的解是x13, x22，则方程m(xh3)2k0的解是（ A. x16, x21 C. x13, x25

B. x10, x25 D. x16, x22

）

【高能100作业3】定义：如果一元二次方程ax2bxc0(a0)满足

abc0，那么我们称这个方程为“凤凰方程“. 已知ax2bxc0(a0)是

凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ A. a=c

B. a=b

C. b=c

） D. a=b=c

【高能100作业4】已知方程x26xn0可以配方成(xm)25，则以m、n为两边长的直角三角形的第三边长为____________.

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第13讲 一元二次方程进阶

31 第13讲 一元二次方程进阶

判别式

一般地，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式. 通常用希腊字母““（读作delta）来表示，记作b24ac. 因此，一元二次方程的求根公式也可以表示为：xb 2abb24ac①当0 时，方程有两个不等的实数根x1, x2，且x1,2； 2a②当0 时，方程有两个相等的实数根x1, x2，且x1x2③当0 时，方程无实根. 方程无实根方程无解，有虚根（不讨论），也可以表述为：方程在实数范b； 2a围内无解. 【高能100例题1】

①已知a是实数，则关于x的一元二次方程x2ax40的根的情况是（ A. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 根据a的值来确定

）

C. 有两个不相等的实数根

②已知ac<0，关于x的一元二次方程ax2(a3c)xc0的根的情况是（ ） A. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定

C. 有两个不相等的实数根

32

【高能100例题2】求证：不论m取任何实数，关于x的方程x2(m3)xm0 都有两个不相等的实数根.

【高能100例题3】

求证：不论k取何值，关于x的方程(k1)x2(3k1)x2k20 总有实数根.

【高能100例题4】已知某直角三角形的三边为a、b、c，且∠B=90°，判断关于x的方程a(x21)2cxb(x21)0的根的情况（ A. 没有实数根

）

B. 有两个相等的实数根 D. 需分情况讨论

C. 有两个不相等的实数根

33 韦达定理

弗朗索瓦·韦达（10~1603） 法国数学家 “现代数学之父” 主要工作：《方程论》，最早系统引入代数符号，推进了方程论的发展 最早发现代数方程的根与系数之间的关系，因此这个关系被称为韦达定理

对于一个一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根x1, x2，则有：

x1x2cb， x1x2

aa 使用韦达定理时，一元二次方程一定要化成一般式，即ax2bxc0(a0)的

形式

 使用韦达定理一定要以b24ac0为前提

【高能100例题5】

①已知x1, x2是方程x25x20的两个不同的根，则x1x2_________,

x1x2 。

②若关于x的方程x23xa0有一个根为-1，则另一个根为___________. ③若关于x的方程x22x3k0有一个根为零，则k=___________.

【高能100例题6】

①已知方程2x23bx4c0的两个根为4和9，则b=________, c=_______. ②已知方程x2axb0有两个负实数根，则a________0, b________0.

34

韦达定理的应用

利用韦达定理构造一元二次方程

若对于两实数a、b满足a+b=p，ab=q，则a、b分别是关于x的一元二次方程

x2pxq0

例如：已知实数3，4，则以3，4为根的一元二次可写为x27x120 【高能100例题7】已知一元二次方程x24x70 的两根分别为a、b，请构造一个以a2、b2 为根的一元二次方程.

【高能100例题8】

2______. ①设x1, x2是一元二次方程x22x30 的两根，则x12x211②已知a、b是一元二次方程x23x20 的两根，那么________.

ab【高能100例题9】已知a、b是关于x的一元二次方程x26xk0 的两个实数，且a2b2ab115 ①求k的值； ②求a2b28 的值.

35 韦达定理常用的代数式变形 2x12x2(x1x2)22x1x2

11x1x2 x1x2x1x22x2x1x12x2(x1x2)22x1x2 x1x2x1x2x1x2(x1x2)2(x1x2)24x1x2 (x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2 |x1x2|(x1x2)2(x1x2)24x1x2

11(x1x2)22x1x22 22x1x2(x1x2)思维拓展

等腰三角形边长分比为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x26xn1=0 的两根，求n的值.

36

课后作业

【高能100作业1】已知关于x的方程x2xa0 ①如果方程有两个不等的实数根，求a的范围 ②如果方程有两个相等的实数根，求a的范围 ③如果方程没有实数根，求a的范围

【高能100作业2】已知关于x的一元二次方程ax2bx10(a0)有两个相等

ab2的实根，则=_____________.

(a2)2b24【高能100例题3】

①已知x1,x2是方程5x220x10的两个不同的根，则x1x2_________,

x1x2 。

②已知x1,x2是一元二次方程x2px10 的两根，其中x123 ，则的值为___________.

【高能100作业4】若关于x的方程x22mxm23m20 有两个实数根x1,x2，则x1(x1+x2)2x2 的最小值为__________

x2x1 x1x2

37

第14讲 一元二次方程综合

38

第14讲 一元二次方程综合

一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ax2bxc0(a0)a：二次项系数，b：一次项系数， c：常数项，

ax2：二次项，bx：一次项。

配方法

核心：凑完全平方式 解方程x26x160

解：x26x160 x26x16 x26x9169 (x3)225 x12, x28因式分解法

特点：好用，但适用范围有限 解方程x25x60

解：x25x60 (x2)(x3)0 x12, x23 公式法

bb24ac一元二次方程axbxc0(a0)的解为x ，其中b24ac

2a2叫做方程判别式。

bb24ac①当0 时，方程有两个不等的实数根x1,x2，且x1,2；

2a②当0 时，方程有两个相等的实数根x1, x2，且x1x2③当0 时，方程无实根.

b； 2a

39 韦达定理

对于一个一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根x1, x2，则有：

x1x2cb， x1x2

aa一元二次方程一定要化成一般式，即ax2bxc0(a0)的 使用韦达定理时，形式

 使用韦达定理一定要以b24ac0为前提

【高能100例题1】

①用配方法解一元二次方程x26x100时，下列变形正确的是（ ） A. (x3)21 C. (x3)219

B. (x3)21 D. (x3)219

）

②解一元二次方程x22x50 ，结果正确的是（ A. x116,x216 C. x17,x25

）

B. x116,x216 D. x115,x215

③方程x22x3 可以化简为（ A. (x3)(x1)0 C. (x1)22

B. (x3)(x1)0 D. (x1)240

）

④一元二次方程4x214x 的根的情况是（ A. 没有实数根

B. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根

C. 有两个相等的实数根

⑤若关于x的一元二次方程kx24x30有实数根，则k的非负整数值是____________.

40

【高能100例题2】已知关于x的一元二次方程x22x2k20 有两个不相等的实数根 ①求k的取值范围；

②若k为正整数，求该方程的根.

【高能100例题3】已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10 ，若x1,x2 是原方程的两根，且|x1x2|22，求m的值.

一元二次方程的三大法宝：

①判别式与求根公式

②因式分解法

③根与系数法

特殊根：判别式与求根公式法

bb24ac根据求根公式x，如果一个一元二次方程的解为整数，则判别式

2ab24ac是完全平方数.

当m为下列哪个数时，一元二次方程x26xm0的两根均为整数（ A. 5

B. 7

C. 6

D. 4

）

41 特殊根：因式分解法

已知关于x的一元二次方程nx2(n1)x10，n为何整数时，方程有两个不相等的整数根.

特殊根：根与系数法

利用韦达定理，根据根与系数的关系，综合应用因式分解，整除性质解决问题. 已知关于x的方程x2(m1)x70的两根都是整数，求m的值.

【高能100例题4】判断一元二次方程x28xa0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程中的两根均为整数( ) A. 12

B. 16

C. 20

D. 24

1【高能100例题5】已知关于x的方程x24xn0的根都是整数，求正整数

4n的值.

42

【高能100例题6】已知关于x的方程x24x2(k1)0有两个不相等的实数根，且两根都是整数，求正整数k的值.

【高能100例题7】关于x的方程ax22(a3)x(a2)0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.

【高能100例题8】已知关于x的一元二次方程mx2(m+2)x20有两个不相等的正整数根，求整数m的值.

43 【高能100例题9】已知关于x的方程mx2(4m1)x3m30，m为何整数时，此方程的根都是整数.

【高能100例题10】关于x一元二次方程mx2(2mn)xmn0，若m+n=2，m为正整数，且方程有两个不相等的整数根，求m、n.

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课后作业

【高能100作业1】关于x的一元二次方程x22(m1)xm20的两个实数根分别为x1,x2且x1x20,x1x20，则m的取值范围是________________. 【高能100作业2】已知关于x的方程x2(m1)x50 的两根都是整数，求m的值.

【高能100作业3】已知关于x的方程x2(12m)xm10 的两根都是正整数，求m的值.

【高能100作业4】求当a取何整数时，关于x的方(a1)x2(a1)x20的根都是整数.

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